«Площадь многоугольника на решётке»

В тетради мы строим многоугольники на клетчатой бумаге. С помощью данных карты бывает необходимость в вычислении площади того или иного участка. А любая карта, по сути, тоже является клетчатой бумагой. Тогда возникает вопрос: можно ли связать вычисление площади многоугольника с клеткой, есть ли специальные приёмы?
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров
точечной решетки на плоскости.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –узлами решетки.
Объект исследования: многоугольник на решетке.
Предмет исследования: площадь многоугольника на решётке.
Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.
Цель исследования: определение зависимости площади многоугольников на решётке от количества узлов решётки.
Задачи исследования:
1. Вычислить площади треугольников и четырёхугольников на решётке.
2. Исследовать зависимость площади многоугольника от количества узлов решётки.
3. Доказать формулу Пика.
Гипотеза: площадь многоугольника на решётке может быть вычислена через количество её узлов и будет равна площади, вычисленной по формулам планиметрии.