Принципы преподавания математики в старших классах

Вопросы для обсуждения:

1. Структура и содержание обучения математике в старших классах.
2. Дидактические принципы в преподавании математики.
3. Организация обучения математике.

Структура и содержание обучения математике в старших классах

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека, поэтому цели обучения математике в школе сформулированы следующим образом:

• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;
• формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;
• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Цели обучения математике обусловлены назначением математического образования. Исторически сложились две стороны назначения математического образования:

1. практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности;
2. духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразования мира математическими методами.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В постшкольной жизни реальной необходимостью становится непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической.

Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Целью изучения математики является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методах математики, их отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач.

Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идей симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания дает возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.

Федеральным государственным образовательным стандартом среднего общего образования (далее – ФГОС СОО) предлагаются два уровня освоения предмета «Математика» (включая алгебру и начала математического анализа, геометрию) – базовый и углубленный. Цели освоения и требования к предметным результатам освоения базового и углубленного курса математики отражены далее.

Базовый уровень.

Цели освоения.

Выпускник научится:

• Для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики.

Выпускник получит возможность научиться:

• Для развития мышления, использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики.

Требования к предметным результатам:

1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

4) владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;

6) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

7) сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

8) владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

Углубленный уровень.

Цели освоения.

Выпускник научится:

• Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики.

Выпускник получит возможность научиться:

• Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук.

Требования к предметным результатам должны включать требования к результатам освоения базового курса и дополнительно отражать:

1) сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;

2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;

3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;

4) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

5) владение умениями составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования случайных величин по их распределению.

В «Концепции развития математического образования» указывается, что одной из задач математического образования в Российской Федерации является «модернизация содержания учебных программ математического образования на всех уровнях (с обеспечением их преемственности), исходя из потребностей обучающихся и потребностей общества во всеобщей математической грамотности, в специалистах различного профиля и уровня математической подготовки, в высоких достижениях науки и практики».

Важным условием успешного решения этой задачи является достижение преемственности главных компонентов учебно-воспитательной системы. Обеспечению преемственности всех звеньев системы образования способствует внедрение федеральных государственных образовательных стандартов общего и высшего образования. В основе ФГОС СОО лежит системно-деятельностный подход, который предполагает обеспечение преемственности дошкольного, начального общего, основного и среднего общего образования.

Таким образом, в связи с изменившимися требованиями к осуществлению образовательного процесса в средней школе к образовательным результатам выпускников школы возникла острая необходимость разработки теоретических основ и методики обучения математическим дисциплинам учащихся старших классов в условиях преемственности между школой и вузом.

Дидактические принципы в преподавании математики

Дидактические принципы обучения математике – это совокупность единых требований к организации процесса обучения математике, его содержанию, формам и методам.

Система дидактических принципов включает такие принципы, как:

• принцип научности,
• принцип воспитания,
• принцип наглядности,
• принцип сознательности, активности и самостоятельности,
• принцип прочности знаний,
• принцип систематичности и последовательности,
• принцип доступности,
• принцип индивидуального подхода к учащимся.

Принцип научностиобучения в математике заключается в обязательности соответствия содержания и методов преподавания уровню и требованиям математики как науки в ее современном состоянии. Под научностью содержания образования понимают такую его качественную характеристику, которая удовлетворяет трем признакам:

• соответствие содержания образования уровню современной науки;
• создание у учащихся верных представлений об общих методах научного познания;
• показ важнейших закономерностей процесса познания.

Для реализации принципа научности педагог должен следить за корректностью формулировок при определении математических понятий и построении математических суждений; приучать учащихся критически относиться к каждому суждению, не принимать за доказанное то, что не обосновано; требовать от учащихся четко различать определения и теоремы.

Принцип воспитаниязаключается в формировании у учащихся интереса к этому предмету, выработке у них стремления к новым знаниям, к их полному и прочному усвоению, в формировании умения пользоваться полученными знаниями и расширять их за счет самостоятельного изучения.

Принцип наглядностивытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала. Он означает, что в обучении необходимо, следуя логике процесса усвоения знаний, на каждом этапе обучения найти его исходное начало в фактах и наблюдениях единичного или в аксиомах, научных понятиях и теориях, после чего определить закономерный переход от восприятия единичного, конкретного предмета к общему, абстрактному или, наоборот, от общего, абстрактного к единичному, конкретному.

Наглядность применяется как средство познания нового, а также для иллюстрации мысли, развития наблюдательности и лучшего запоминания материала. Практикой обучения математике выработаны специальные средства наглядности, способствующие реализации принципа наглядности.

Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил:

• ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;
• обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;
• показать предмет, по возможности, в развитии;
• предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;
• использовать средства наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.

Принцип сознательности, активности и самостоятельностизаключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмыслении, творческой переработке и применении. Сознательность понимается в дидактике как овладение учащимися данными науки, учебным материалом, глубокое осмысление его, умение пользоваться знаниями на практике в новых условиях, превращение знаний в убеждение, в руководство к действию.

Познавательная активность есть деятельное состояние учащегося, которое характеризуется стремлением к учению, умственным напряжением и проявлением волевых усилий в процессе овладения знаниями.

Познавательная самостоятельность является высшей формой активности и сознательности учащихся в процессе учения. Поэтому осуществление в обучении сознательного и активного процесса учения формирует такое качество личности, как познавательная самостоятельность.

Реализация принципа сознательности, активности и самостоятельности в обучении предполагает выполнение следующих условий:

• соответствие познавательной деятельности учащихся закономерностям процесса учения;
• познавательная активность учащихся в процессе учения;
• осознание школьниками процесса учения;
• владение учащимися методами умственной работы в процессе познания нового.

Принцип прочного усвоения учащимися знаний, умений и навыковобусловливается как задачами школы, так и закономерностями самого обучения. Он заключается в том, что опираться на приобретенные знания, умения и навыки на последующих этапах обучения и пользоваться ими в жизни можно лишь тогда, когда они усвоены твердо, длительное время удерживаются в памяти. В процессе обучения учащиеся не только приобретают знания, умения и навыки, но и закрепляют и совершенствуют их.

Для реализации этого принципа учитель должен умело организовать повторение пройденного материала; осуществлять своевременный контроль знаний и умений учащихся, предупреждение и устранение пробелов в знаниях учащихся; обращать особое внимание на систематический характер предлагаемых учащимся задач и упражнений.

Реализацию данного принципа характеризуют следующие моменты:

• если учащиеся излагают учебный материал ясно и кратко, подкрепляя теоретические упражнения примерами практически реализуемых моделей;
• если учащиеся успешно выполняют различные виды самостоятельной работы;
• если учащиеся умеют четко и быстро воспроизвести в памяти определения основных понятий, теорем, формул и т.д.;
• если учащиеся умеют применять теорию к решению простейших задач.

Принцип систематичности и последовательностив обучении обусловливается и логикой самих наук, изучаемых в школе, и особенностями познавательной и практической деятельности учащихся, протекающей в соответствии с закономерностями их умственного и физического развития. Этот принцип лежит в основе построения учебных программ, определяет систему работы учителя и деятельность учащихся в процессе обучения.

Систематичность в обучении математике предполагает соблюдение определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов и постепенное овладение основными понятиями и положениями школьного курса математики. Последовательность в обучении математике означает, что обучение идет от простого к сложному, от представлений к понятиям, от известного к неизвестному, от знания к умению, а от него – к навыку.

Принцип доступностив обучении вытекает из требований учета возрастных особенностей учащихся. Он требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащихся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу компетенций, а также знаний, умений и навыков.

Реализация принципа доступности предполагает выполнение следующих условий – дидактических правил:

• от простого к сложному;
• от легкого к трудному;
• от известного к неизвестному.

Принцип дифференцированного (индивидуального) подходак учащимся обусловливается особенностями индивидуального развития детей, типов высшей нервной деятельности, а также стремлением наилучшим образом развивать творческие силы и способности учащихся. Этот принцип предполагает оптимальное приспособление учебного материала и методов обучения к индивидуальным способностям каждого школьника. Основным средством реализации принципа индивидуального подхода являются индивидуальные самостоятельные работы, предназначенные для учащихся.

Организация обучения математике

Обучение математике в школе – сложный, многоуровневый процесс, состоящий из целого ряда этапов. Эффективность усвоения знаний, умений и способов действий, изучаемых в рамках данного предмета, в значительной степени зависит от условий, которые позволяют осуществить тесную, органичную внутреннюю связь между этими этапами, обеспечить целостность, непрерывность образовательного процесса. Поэтому одной из обязательных составляющих успешного обучения становится реализация преемственности.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей ее роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приемов решения этих задач.

Принципиальным положением организации учебно-воспитательного процесса при обучении математике в старшей школе становится уровневая дифференциация обучения. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей. При этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью ученика в его учебной работе. В то же время каждый имеет право самостоятельно решить, ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше. Именно на этом пути осуществляются гуманистические начала в обучении математике.

В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играют задачи. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач. Организуя решение задач, целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся, основанный на достижении обязательного уровня подготовки. Это способствует нормализации нагрузки школьников, обеспечивает их посильной работой и формирует у них положительное отношение к учебе.

Следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу. Развитие интереса к математике является целью учителя.

Важным условием правильной организации учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения, ее оптимизация с учетом возраста учащихся, уровня их математической подготовки, развития общеучебных умений, специфики решаемых образовательных и воспитательных задач. В зависимости от указанных факторов учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, оптимизировать применение объяснительно-иллюстративных и эвристических методов, использование технических средств. Критерием успешной работы учителя должно служить качество математической подготовки школьников, выполнение поставленных образовательных и воспитательных задач, а не формальное использование какого-то метода, приема, формы или средства обучения.

Учебный процесс необходимо ориентировать на рациональное сочетание устных и письменных видов работы как при изучении теории, так и при решении задач. Внимание учителя должно быть направлено на развитие речи учащихся, формирование у них навыков умственного труда – планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическую оценку результатов.

Важную роль в учебном процессе играют формы и/или виды обучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогического процесса.

Формы обучения – виды учебных занятий, способы организации учебной деятельности школьников, учителя и учащихся, направленные на овладение учащимися знаниями, умениями и навыками, на воспитание и развитие их в процессе обучения. Основной формой организации учебно-воспитательной работы в школе является урок.

Повысить вероятность интереса на уроке – создать необходимую атмосферу увлеченности. Значительное влияние на развитие математических способностей оказывают коллективные обсуждения и работы. Ввиду этого можно применять специальные уроки: уроки в компьютерном классе, урок вычисления на счётных приборах, кино-урок, математический бой и другие. Учащиеся на таких уроках находят пути решения интересных задач, развивают математическую речь, приобретают навыки составления задач самостоятельно, умения слушать и воспринимать работы товарищей, способности задавать вопросы по существу. Учащиеся с удовольствием работают в группах, советуются между собой, обмениваются мнениями.

Решение отдельных задач позволяет учащемуся совершенствовать свою «инструментальную» базу. Решение последовательных задач позволяет вникнуть в особенности «инструментария» и изучить различные методики его применения.

При решении последовательных задач учащиеся развивают свои компетентностные способности, создают математические модели, которые могут совершенствоваться ими по мере обучения. Чем реальнее будут поставленные задачи, тем более полноценные знания получат обучаемые, как в области математики, так и по другим предметам обучения.

Применение при создании математических моделей компьютерной техники позволяет учителю повысить скорость проверки принятых учащимися решений, а учащимся расширить свои аналитические способности в области исследования математических моделей. Создание и совершенствование математических моделей позволит учащимся в будущей своей учебе более качественно осваивать вопросы программирования.

Организация учебной деятельности в старшей школе должна выполняться в различных формах: фронтальной (совместное действия всех обучающихся под руководством педагога), индивидуальной (самостоятельная работа каждого ученика), групповой (работа по 3-4 человека, задания для групп могут быть одинаковыми или разными).

Упражнения и задачи, требующие использования известных ученикам закономерностей и связей в новых условиях, упражнения геометрического содержания, которые часто требуют переосмысления приобретенных ранее знаний, и другие задания по математике должны быть использованы для постановки обучающимися проблемных задач. Только в этом случае обучение математике будет оказывать действенную помощь в решении образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения, способствуя развитию познавательных способностей учащихся. Проблемные задания ставят человека в ситуацию, в которой у него должно появиться удивление и ощущение трудности, или одно только ощущение трудности, которое, однако, обучающийся намерен преодолеть.

Старшая ступень в процессе модернизации образования подвергается самым существенным структурным, организационным и содержательным изменениям. Эти изменения являются ответом на требования современного общества максимально раскрыть индивидуальные способности, дарования человека, сформировать на этой основе профессионально и социально компетентную, мобильную личность.