Производная

Сценарий видеоурока «Производная функции»

Хронометраж: 15–20 минут
Целевая аудитория: учащиеся 10–11 классов / студенты 1 курса

Блок 1. Вступление и определение производной

Хронометраж:0:00 – 3:30

ВИДЕО:
Камера крупным планом — ведущий у доски. На экране — титульный слайд «Производная функции» с абстрактным фоном (вертикальные полосы и круги).

Переход к слайду с определением производной. На экране — формула в рамке с закруглёнными углами: lim (Δy / Δx) = y′ при Δx → 0. Красная стрелка указывает на y′.

Слайд с другими обозначениями производной. Три рамки: 1) f′(x) 2) ẏ (y с точкой сверху) 3) dy/dx.

ВЕДУЩИЙ:
Здравствуйте! Сегодня мы разберём одну из ключевых тем математического анализа — производную функции. Производная — это не просто формула из учебника. Это инструмент, который описывает скорость изменения чего угодно: от движения автомобиля до роста популяции. Запомните главную фразу: производная — это скорость изменения функции. Мы к ней ещё вернёмся.

Итак, определение. Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. На слайде вы видите это в виде формулы. Штрих над y — это и есть обозначение производной. Само действие нахождения производной называется дифференцированием. А функция, имеющая производную, называется дифференцируемой. Запомните эти три термина — они постоянно встречаются.

Производную можно записывать по-разному. Чаще всего вы встретите обозначение f′(x) — штрих после функции. Также используется y с точкой сверху — это обозначение пришло из физики, оно удобно, когда речь идёт о производной по времени. И третье обозначение — dy/dx — это обозначение Лейбница, оно особенно полезно, когда мы работаем с дифференциалами.

Блок 2. Правила дифференцирования

Хронометраж:3:30 – 6:30

ВИДЕО:
Слайд «Правила дифференцирования». На экране появляются формулы по очереди:
1) (U + V – W)′ = U′ + V′ – W′
2) (C · U)′ = C · U′
3) (U · V)′ = U′ · V + V · U
4) (U/V)′ = (U′·V – U·V′) / V²
5) (U · V · W)′ = U′ · V · W + V′ · U · W + W′ · U · V

На экране выделяется рамкой формула производной произведения. Затем — формула производной частного и два частных случая с красными стрелками.

ВЕДУЩИЙ:
Прежде чем переходить к формулам конкретных функций, давайте разберём правила дифференцирования. Их немного, и они логичны.

Первое правило — производная суммы и разности. Если у нас есть сумма или разность функций, то производная равна сумме или разности производных. Просто дифференцируем каждое слагаемое по отдельности.

Второе правило — постоянный множитель можно выносить за знак производной. Если функция умножена на константу C, то производная равна C, умноженной на производную функции.

Третье правило — производная произведения. Это формула, которую нужно запомнить обязательно, потому что она НЕ работает по интуитивному правилу «производная произведения равна произведению производных». Нет! Правильная формула: производная произведения равна производной первого множителя, умноженной на второй, плюс первый множитель, умноженный на производную второго. Проще запомнить так: «один штрихуем — другой нет, потом наоборот, складываем».

Четвёртое правило — производная частного. Формула чуть сложнее: производная дроби равна дроби, в числителе которой «производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя», а в знаменателе — квадрат знаменателя. Обратите внимание на знак минус — это самая частая ошибка.

Из этой формулы вытекают два частных случая. Если в числителе константа — производная равна минус константа, умноженная на производную знаменателя, делённая на квадрат знаменателя. А если константа в знаменателе — то она просто выносится как одна третья, одна вторая и так далее.

И правило произведения трёх функций — это просто расширение предыдущего правила. Каждый множитель по очереди «штрихуется», остальные стоят как есть, и все три слагаемых складываются.

Блок 3. Таблица производных элементарных функций

Хронометраж:6:30 – 10:00

ВИДЕО:
Слайд «Производные элементарных функций. Степенные функции». Нумерованный список с фигурной скобкой справа:
1) C′ = 0 (C — постоянная)
2) x′ = 1
3) (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
4) (√x)′ = 1 / (2√x)
5) (1/x)′ = –1 / x²

Затем — слайд с показательными и логарифмическими функциями (формулы 6–10). Затем — тригонометрические функции (формулы 11–14).

ВЕДУЩИЙ:
А теперь — самое главное. Таблица производных. Эту таблицу нужно выучить наизусть — без неё никуда. Разобьём её на четыре группы.

Первая группа — степенные функции. Их пять. Производная константы равна нулю — константа не меняется, её скорость изменения ноль. Производная от x равна единице. Главное правило — производная степени: показатель степени выносится вперёд как множитель, а у x степень уменьшается на единицу. Это базовая формула, из которой выводятся остальные.

Из этой формулы получаются производные корня и обратной величины. Корень — это степень одна вторая, поэтому по общему правилу получаем один делить на два корня из x. А один делить на x — это x в минус первой степени, и производная равна минус один делить на x в квадрате.

Вторая группа — показательные и логарифмические функции. Производная показательной функции a в степени x равна a в степени x, умноженной на натуральный логарифм a. Особый случай — e в степени x. Натуральный логарифм e равен единице, поэтому производная от e в степени x равна самой себе. Это единственная функция, производная которой совпадает с ней самой.

Для логарифмов: производная логарифма по основанию a — это один делить на x, умноженный на ln a. Производная натурального логарифма — просто один делить на x. А производная десятичного логарифма — это ноль запятая 4343 делить на x.

Третья группа — тригонометрические функции. Их четыре. Производная синуса — косинус. Производная косинуса — минус синус. Обратите внимание на знак минус у косинуса — это вторая по частоте ошибка после знака минус в производной частного. Производная тангенса — единица делить на косинус квадрат x. Производная котангенса — минус единица делить на синус квадрат x. У котангенса тоже минус.

Блок 4. Математический диктант

Хронометраж:10:00 – 11:30

ВИДЕО:
Слайд «Математический диктант». На экране — набор выражений, производные которых нужно найти: x′, (C · U)′, (ln x)′, (eˣ)′, (cos x)′, (aˣ)′, C′, (xⁿ)′, (1/x)′, (tg x)′, (sin x)′, (U · V)′, (ctg x)′, (U ± V)′, (√x)′, (U/V)′.

Паузы по 5–7 секунд между примерами.

ВЕДУЩИЙ:
А сейчас — небольшая проверка. Перед вами математический диктант. Я буду называть выражение, а вы мысленно называйте его производную. Если не помните — возвращайтесь к таблице.

x′ — это 1. (C · U)′ — константа выносится, C · U′. (ln x)′ — один делить на x. (eˣ)′ — eˣ. (cos x)′ — минус синус x. (aˣ)′ — aˣ · ln a. C′ — ноль. (xⁿ)′ — n · xⁿ⁻¹. (1/x)′ — минус один делить на x². (tg x)′ — один делить на косинус квадрат x. (sin x)′ — косинус x. (U · V)′ — U′ · V + U · V′. (ctg x)′ — минус один делить на синус квадрат x. (U ± V)′ — U′ ± V′. (√x)′ — один делить на два корня из x. (U/V)′ — (U′·V – U·V′) / V².

Если всё назвали правильно — отлично, таблица уже в голове. Если нет — повторите после урока.

Блок 5. Решение примеров — степенные функции

Хронометраж:11:30 – 13:30

ВИДЕО:
Слайд «Вычисление производных элементарных функций». На экране — четыре примера с решениями, появляющиеся по очереди:
1) y = x³ → y′ = 3x²
2) y = x⁷ → y′ = 7x⁶
3) y = x^{2,4} → y′ = 2,4 · x^{1,4}
4) y = x⁻⁵ → y′ = –5 · x⁻⁶

ВЕДУЩИЙ:
Переходим к практике. Начнём с простого — степенные функции.

Пример первый: y равно x в кубе. Применяем формулу — показатель выносим вперёд, степень уменьшаем на единицу. Получаем 3x². Всё просто.

Второй пример: y равно x в седьмой. Производная — 7x в шестой.

Третий пример чуть интереснее: y равно x в степени 2,4. Дробный показатель не должен пугать. Правило то же: выносим 2,4, степень становится 1,4. Получаем 2,4 · x^{1,4}.

И четвёртый пример: y равно x в минус пятой. Минус в показателе — это нормально. Выносим –5, степень уменьшается на единицу, получаем –5 · x⁻⁶.

Блок 6. Решение примеров — правило произведения

Хронометраж:13:30 – 16:00

ВИДЕО:
Слайд «Вычисление по правилу произведения». Формула (U · V)′ = U′·V + U·V′.

Пример 1: y = x · sin x → y′ = sin x + x · cos x
Пример 2: y = x · eˣ → y′ = eˣ · (1 + x)
Пример 3: y = (x² – 3x) · (2x³ – 8) → y′ = 10x⁴ – 24x³ – 16x + 24
Пример 4: y = (1 – 2x) · √x, найти y′(4) – y′(1) → y′(4) = –5,75; y′(1) = –2,5; разность = –3,25

ВЕДУЩИЙ:
Теперь применим правило произведения. Формула: (U · V)′ = U′ · V + U · V′. Напоминаю — один штрихуем, другой нет, потом наоборот, складываем.

Пример первый: y равно x умножить на синус x. Первый множитель — x, второй — sin x. Штрихуем первый: производная x — это 1, sin x остаётся без изменений. Потом штрихуем второй: x остаётся, производная sin x — это cos x. Складываем: sin x + x · cos x. Готово.

Второй пример: y равно x умножить на e в степени x. Штрихуем x — получаем 1, eˣ остаётся. Потом штрихуем eˣ — а это eˣ, сама себя. Итого: eˣ + x·eˣ. Выносим eˣ за скобки — получаем eˣ · (1 + x). Удобно.

Третий пример посложнее — произведение двух многочленов. U — это x² – 3x, V — это 2x³ – 8. Сначала находим производную первого: 2x – 3. Умножаем на второй множитель целиком. Потом находим производную второго: 6x². Умножаем на первый. Раскрываем скобки, приводим подобные — и получаем 10x⁴ – 24x³ – 16x + 24.

Четвёртый пример — вычисление производной в конкретных точках. Функция: (1 – 2x) умножить на корень из x. Сначала находим производную в общем виде: производная (1 – 2x) — это –2, умножаем на √x; плюс производная √x — это 1/(2√x), умножаем на (1 – 2x). Подставляем x = 4: получаем –4 + (–7)/4 = –5,75. Подставляем x = 1: получаем –2 + (–1)/2 = –2,5. Разность: –5,75 – (–2,5) = –3,25. Задача решена.

Блок 7. Решение примеров — правило дроби

Хронометраж:16:00 – 18:00

ВИДЕО:
Слайд «Вычисление по правилу дроби». Формула (U/V)′ = (U′·V – U·V′) / V².

Пример 1: y = (1 + 2x) / (3 – 5x) → y′ = 11 / (3 – 5x)²
Пример 2: y = (2 – 3x²) / (1 + 2x), найти y′(–1) → y′(–1) = –4

ВЕДУЩИЙ:
Переходим к производной дроби. Формула: (U/V)′ = (U′·V – U·V′) / V². В числителе — производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя. В знаменателе — квадрат знаменателя.

Пример: y равно (1 + 2x) / (3 – 5x). Числитель — U = 1 + 2x, его производная — 2. Знаменатель — V = 3 – 5x, его производная — –5. Подставляем в формулу: в числителе 2·(3 – 5x) – (1 + 2x)·(–5). Раскрываем: 6 – 10x + 5 + 10x. Иксы сокращаются! Остаётся 11. В знаменателе — (3 – 5x)². Красивый результат.

И второй пример — производная дроби в заданной точке. y равно (2 – 3x²) / (1 + 2x), найти y′(–1). Производная числителя: –6x. Производная знаменателя: 2. Подставляем в формулу частного, раскрываем скобки: в числителе –6x – 6x² – 4, в знаменателе (1 + 2x)². Подставляем x = –1: числитель — 6 – 6 – 4 = –4, знаменатель — (1 – 2)² = 1. Ответ: –4.

Блок 8. Домашнее задание и заключение

Хронометраж:18:00 – 19:00

ВИДЕО:
Слайд «Д/З». На экране — список заданий:
1) y = 1,2x⁵ + 4x² – 3x³ – 1,2x + 0,007
2) y = –lg x + √3 · ctg x – 9ˣ + 6 · ln x
3) y = (5x² – 2x) · (3x + 2x²)
4) y = 7x – 13x² + 5x³ – √3, x₀ = –6,5
5) y = –4x³ + 1,5x² – 9x – 3/√2, x₀ = 1,4

Камера — ведущий крупным планом. На фоне — слайд с формулой lim (Δy/Δx) = y′ при Δx → 0.

Титры. На экране — благодарность за просмотр, ссылка на материалы, краткое повторение ключевых формул.

ВЕДУЩИЙ:
Домашнее задание. Первое и самое главное — выучить формулы. Без таблицы производных решать невозможно. Задания перед вами: три на вычисление производных в общем виде и два — на вычисление производных в заданных точках.

В первом примере применяете правило суммы — каждое слагаемое дифференцируете отдельно по таблице. Во втором — тоже сумма, но с тригонометрической, логарифмической и показательной функциями. Третий — произведение, вспомните правило (U · V)′. Четвёртый и пятый — найдите производную и подставьте заданное значение x₀.

И напоследок — главное, что нужно унести с этого урока. Производная — это скорость изменения функции. Определение — через предел. Таблицу производных выучить. Правила — четыре: сумма, константа, произведение, частное. И много практиковаться. Удачи с домашним заданием и до следующего урока!