От биквадратных до иррациональных: мастер-класс по уравнениям, сводящимся к квадратным

Вариант I

1) 2х² - х + 13 = 0 (1 балл)

2) 2х² - 9х + 10 = 0 (1 балл)

3) 9х² +6х + 1= 0 (1 балл)

4) х² +5х + 6= 0 (1 балл)

Вариант II

1) 2х² + х + 2 = 0 (1 балл)

2) 3х² - 7х + 4 = 0 (1 балл)

3) 4х² - 4х + 1= 0 (1 балл)

4) х² - 5х - 6= 0 (1 балл)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 3 балла, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 2

Цель: закрепить умения учащихся решать биквадратные уравнения.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать биквадратные уравнения.

Пример. Решите биквадратное уравнение 9х ⁴ – 10х²+ 1 = 0.

Решение. Введем новую переменную, обозначив х²через у:

х²= у.

Получим квадратное уравнение с переменнойу:

9у² - 10 у + 1 = 0,

Решим получившееся уравнение: D = (- 10)² – 4 · 9 · 1 = 100 – 36 = 64, D > 0.

у_1,2 = ;

у₁ = 1; у₂ = .

Отсюда

1. х² = 1

х² – 1 = 0

(х – 1)(х + 1) = 0

x₁ = 1; x₂ = - 1.

2. х² =

х² - = 0

(х – )(х + ) = 0

x₃ = ; x₄ = - .

Итак, уравнение 9х ⁴ – 10х²+ 1 = 0 имеет четыре корня: x₁= 1; x₂ = - 1; x₃ = ; x₄ = - .

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Найдите корни биквадратного уравнения:

Вариант I

1) х ⁴ – 2х² – 3 = 0 (1 балл)

2) 81х ⁴ – 18х²+ 1 = 0 (1 балл)

3) х ⁴ – 7х² + 12 = 0 (1 балл)

Вариант II

1) х ⁴ – 2х² - 8 = 0 (1 балл)

2) 16х ⁴ - 8х²+ 1 = 0 (1 балл)

3) х ⁴ – 11х² + 18 = 0 (1 балл)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 2 балла и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 3

Цель: - закрепить умения учащихся решать уравнения, степень которых выше двух, методом разложения на множители;

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Метод разложения на множители позволяет решать уравнения высших степеней.

Пример. Решите уравнение х³ - 8х² – х + 8 = 0.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:

(х³ - 8х²) – (х - 8) = 0

х² (х - 8) – (х - 8) = 0

(х² – 1)(х - 8) = 0

(х – 1)(х + 1)(х - 8) = 0.

Отсюда найдем корни уравнения: x₁= 1; x₂= - 1; х₃= 8.

Ответ: x₁= 1; x₂= - 1; х₃= 8.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) 15х ³ – 45х² = 0 (1 балл)

2) х³ - 3х² – 4х+ 12 = 0 (1 балл)

3) 2х⁴- 5х³ + 2х² – 5х = 0 (1 балл)

Вариант II

1) 196х - х ³ = 0 (1 балл)

2) 9х³ - 18х² – х+ 2 = 0 (1 балл)

3) 2х⁴+ 3х³ - 8х² – 12х = 0 (1 балл)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 2 балла и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 4

Цель: закрепить умения учащихся решать уравнения, степень которых выше двух, методом введения новой переменной.

Указания учителя

Прочитайте данные ниже пояснения.

Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить, введя новую переменную.

Пример. Решите уравнение (х²– 5х + 4) (х² – 5х + 6) = 120.

Решение. В левой части уравнения переменная х входит только в выражениех² – 5х, которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Обозначим х² – 5х через у:

х² – 5х = у.

Тогда уравнение сведется к уравнению с переменной у:

(у + 4)(у + 6) = 120,

которое после упрощения примет вид:

(у + 4)(у + 6) = 120

у² + 4у + 6у + 24 – 120 = 0

у² + 10у – 96 = 0.

Решим получившееся уравнение:

у₁ + у₂ = - 10;

у₁ · у₂ = - 96.

у₁ = - 16; у₂ = 6.

Отсюда

1. х² – 5х = - 16;

х² – 5х + 16 = 0 - корней нет.

2. х² – 5х = 6;

х² – 5х – 6 = 0

x₁ + x₂ = 5; x₁ = - 1;

x₁ · x₂ = - 6. x₂ = 6.

Ответ: x₁ = - 1; x₂ = 6.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

Вариант I

1) (2х² + 3)² – 12(2х² + 3) = - 11 (1 балл)

2) (х² + х – 1)(х² + х + 2) = 40 (1 балл)

3) (х² - х)² + 3(х² - х) – 4 = 0 (1 балл)

Вариант II

1) (х² – 2х)² – 2(х² – 2х ) = - 3 (1 балл)

2) (2х² + х – 1)(2х² + х - 4) = 10 (1 балл)

3) (х² - х)² + 5(х² - х) + 6 = 0 (1 балл)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали 2 балла и более, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрано меньше баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 5

Цель: - закрепить умения учащихся решать уравнения, степень которых выше двух;

- проверить умения учащихся выбирать метод решения уравнения, степень которых выше двух.

Указания учителя

Вы прошли I уровень усвоения материала. Теперь вы самостоятельно выбираете метод решения уравнения, степень которых выше двух в предложенных заданиях. Для этого вспомните все методы решения уравнения, степень которых выше двух, пройденных в 2 - 4 учебных элементах.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

1) х ⁵ + х⁴ - 6х ³ - 6х² + 5х + 5 = 0 (2 балла)

2) (2 балла)

Вариант II

1) х ⁵ - х⁴ - 2х ³ + 2х² - 3х + 3 = 0 (2 балла)

2) (2 балла)

Указания учителя

Список правильных ответов и критерии оценивания возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Число набранных баллов поставьте в графу «Основные задания» оценочного листа. Если вы набрали менее 4 балла, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Набранные баллы поставьте в графу «Корректирующие задания».

Оцените свои работы.