Элективный курс "Уравнения и системы уравнений"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Ляховская средняя общеобразовательная школа»

Элективный курс

«Уравнения и системы уравнений»

(предпрофильная подготовка)

9 класс

Автор: Муртазина Елена Феофановна

учитель математики

2012-2013 учебный год

2

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем:

И засуху предсказывал, и ливни.

Поистине его познанья дивны.

Чосер Д.

Пояснительная записка

Задача предпрофильной подготовки учащихся заключается в том, чтобы создать условия для воспитания нового поколения, имеющего уровень образования, соответствующий условиям информационного общества, создание возможности самореализации в обществе. Для этого их необходимо увлечь наукой, помочь обнаружить в себе математические способности, пробудить интерес к математике у тех, кто его до сих пор не испытывал. Владеть математикой необходимо, так как в технической, инженерной профессии, в любой отрасли естественнонаучного знания без неё не обойтись, а без интереса к предмету по-настоящему ею не овладеть.

Теория уравнений занимает ведущее место в курсе алгебры и математики в целом. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

Элективный курс «Уравнения и системы уравнений» предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса. Курс предназначен для дополнения и углубления базового образования по математике.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить теорему Виета для уравнений любой степени. Умение выполнять действие деления многочленов облегчит в дальнейшем решение таких задач математического анализа, как нахождение асимптот, вычисление производных и интегралов.

Изучение теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит значительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.

3

Цели и задачи курса:

познакомить учащихся с основами теории многочленов;

сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;

расширить математический кругозор учащихся;

сформировать способность к осознанному выбору дальнейшего профиля обучения в старшей школе.

Освоение содержания программы курса способствует интеллектуальному, творческому развитию школьников. При реализации программы содержания курса учитываются все особенности и индивидуальные возможности учащихся. Все правила и выводы формул без громоздких выкладок. Курс даёт возможность повысить интерес к изучению предмета, приобрести навыки обобщения, навыки самостоятельной работы. Для усвоения курса достаточно базовых знаний учащихся по предмету.

Программа основывается преимущественно на активных методах обучения. Обучение ведется по принципу деятельностного подхода.

Применяются различные формы организации занятий: лекции, практикумы, семинары, работа в группах.

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: самостоятельная работа; срезы знаний и умений в процессе обучения; итоговый контроль. Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы, защиту рефератов.

Во время практикума учащиеся работают в группах, обсуждаю ход решения друг с другом. В результате правильное решение руководитель группы оформляет на доске, учащиеся других групп анализируют решения.

Готовясь к семинарскому занятию, учащиеся получают вопросы для подготовки. Дома идет изучение вопросов семинарского занятия.

Для изучения курса отводится 12 часов (12 учебных недель по 1 часу в неделю).

Ожидаемые результаты:

По окончании изучения курса учащиеся должны уметь:

выполнять действия над многочленами;

4

применять теорию многочленов к нахождению корней рационального уравнения с целыми коэффициентами;

использовать теорему Виета для решения задач;

решать уравнения, используя основные методы решения: разложение на множители, введение новой переменной, переход от уравнения A(x)=B(x) к уравнению вида f(A(x))=f(B(x));

применять алгоритмы решения возвратных уравнений;

решать системы уравнений.

Учебно – тематический план

5

Содержание программы:

Тема 1. Многочлены от одной переменной. Понятие многочлена. Действия над многочленами.

Первое занятие предусматривает собой вводную беседу, рассматриваются основные понятия многочлена и действия над многочленами. Теоретическая часть закрепляется выполнением упражнений по данной теме.

Тема 2. Теорема Безу. Корни многочлена.

Доказать теорему Безу и рассмотреть её следствия. Выполнение практических заданий.

Тема 3. Формулы Виета.

Рассмотреть формулы Виета. Выполнить ряд упражнений на закрепление.

Тема 4. Многочлены с целыми коэффициентами.

Доказать теорему о нахождении целых корней многочлена. Рассмотреть кратность корней многочлена. Выполнить упражнения на закрепление материала.

Тема 5. Решение уравнений.

Данное занятие проводится в форме семинара и практических занятий.

На семинарских занятиях заслушать доклады учащихся по теме «История математики» (Этьен Безу, Франсуа Виет). На практических занятиях закрепить умения и навыки учащихся при решении уравнений.

Тема 6. Уравнения с одной переменной.

Дать основные определения. Рассмотреть следствие уравнения и равносильные уравнения. Теоретическую часть закрепить практическими занятиями.

Тема 7. Основные методы решения уравнений.

Изучить основные методы решения уравнений такие как разложение на множители; введение новой переменной; переход от уравнения A(x)=B(x) к уравнению вида f(A(x))=f(B(x)). Практическая часть.

Тема 8. Иррациональные уравнения.

Дать основные понятия иррациональным уравнениям. Доказать теорему, используемую при переходе от иррационального уравнения к рациональному. Закрепление теоретической части. Выполнение упражнений.

6

Тема 9. Системы уравнений.

Данное занятие проводится как форме семинара, так и форме практикума. На семинарских занятиях рассмотреть основные определения систем уравнений, способы решения систем уравнений. Практикум: решение систем уравнений различными способами.

Тема 10. Решение уравнений и систем уравнений.

Выполнение самостоятельной работы и работы в группах.

Тема 11. Контрольная работа.

Тема 12. Защита курсовых работ и рефератов.

Литература для учащихся:

Галицкий М.А., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов М.Просвещение,2001.

Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс М. Мнемозина, 2009.

Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др.; Под ред. Виленкина Н.Я. Алгебра для 8 кл.: Учебное пособие для учащихся М.: Просвещение, 1995.

Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И.; Под ред. Виленкина Н.Я. Алгебра для 9 кл.: Учебное пособие для учащихся М.:Просвещение,1998.

Литература для учителя:

Деменчук В.В. Многочлены и микрокалькулятор. – Минск: Высшая школа, 1988.

Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. – 2-е изд.- М.: Просвещение, 1990.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 классов средней школы-М.: Просвещение, 1989.

Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9-10 классах)/ Под ред. З.А.Скопеца. –М.: Просвещение, 1971.

7

Приложение 1

Примерные темы курсовых работ и рефератов:

Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

Решение иррациональных уравнений.

О равносильности уравнений.

Многочлены с комплексными коэффициентами.

Графическое решение систем уравнений.

Приложение 2

Методические разработки

Тема 1: Действия над многочленами:

Разделить с остатком следующие многочлены:

а) (х⁵-6х³+2х²-4):(х²-х+1);

б) (х⁴+х²+1):(х+5);

в) (х⁷-1): (х³+х+1);

г) (х⁶-64):(х-3).

2. При каком значении k выполняется без остатка деление (х³+6х²+kх+12): (х+4)?

Тема 2: Теорема Безу. Корни многочлена.

Какую кратность имеет корень х=2 многочлена х⁵-5х⁴+7х³-2х²+4х-8?

Составьте алгоритм для отыскания кратности корня многочлена.

При каких a и b число (-2) является корнем кратности 2 для многочлена х⁵+ах²+bх+1?

Тема 3: Формулы Виета.

Составьте кубический многочлен, имеющий корень 5 кратности 1 и корень -4 кратности 2.

Напишите квадратный трехчлен, корни которого равны квадратам корней трехчлена х²-7х+13.

Напишите квадратный трехчлен, корни которого обратны корням трехчлена х²+11х+3.

Тема 4: Многочлены с целыми коэффициентами.

Найдите целые корни многочлена:

8

а) х⁵-2х³-8х²+13х-24;

б) х⁵+2х³-12х²-38х-24;

в) х⁵+х⁴-6х³-14х²-11х-3.

2. Сократите дробь: х³-х²-х+1

-------------------------.

х⁴–х³-3х²+5х-2

Тема 6: Следствие уравнения. Равносильные уравнения (теоретический материал):

Введем следующие определения:

О п р е д е л е н и е 1. Уравнение C(x)=D(x) (1)

называют следствием уравнения

A(x)=B(x), (2)

если каждый корень уравнения (2) удовлетворяет уравнению (1).

Иными словами, если для некоторого числа а выполняется равенство A(a)=B(a), то выполняется равенство C(a)=D(a).

Уравнение, получаемое из заданного путём приведения подобных членов, раскрытия скобок, сокращения дробей, является следствием данного уравнения.

Пример 1. Уравнение х²+2х-8=0 является следствием уравнения

3х²-2х²+4/х-2 – 4/х-2 + (2х-8)(х+4)/х+4 =0, (3)

так как получается из него с помощью следующих операций: приведение подобных членов 3х² и -2х², приведение к нулю разности 4/х-2 – 4/х-2, сокращение дроби (2х-8)(х+4)/х+4 на х+4.

Если решено уравнение (1), т.е. следствие данного уравнения (2), то корни уравнения (2) содержатся среди найденных чисел. Чтобы отобрать корни уравнения (2), надо проверить найденные корни уравнения (1), подставив их в уравнение (2). В некоторых случаях задача отбора корней облегчается знанием ОДЗ данного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить.

Например, решая уравнение х²+2х-8=0 из примера 1, находим корни х₁=2 и х₂=-4. Но эти корни не удовлетворяют заданному уравнению, так как при х=2 не имеет числового значения слагаемое 4/х-2, а при х=-4 обращается в нуль знаменатель слагаемого (2х-8)(х+4)/х+4. Значит, уравнение (3) не имеет корней.

При решении уравнений полезны следующие утверждения, позволяющие строить уравнения-следствия:

9

Т е о р е м а 1. Пусть выражение С(х) имеет числовое значение для всех х их ОДЗ уравнения A(x)=B(x). (4)

Тогда уравнения A(x)+C(x)=B(x)+C(x), (5)

A(x) C(x) = B(x) C(x) (6)

являютсяследствиями уравнения (4).

Доказательство. Пусть α – корень уравнения (4). Тогда выполняется числовое равенство A(α)=B(α). Поскольку при х=α имеют числовые значения и А(α), и В(α), то α принадлежит ОДЗ уравнения (4). Значит, при х= α имеет числовое значение С(α) и выражение С(х). Прибавляя С(α) к обеим частям равенства А(α)=В(α), получаем верное равенство А(α)+С(α)= =В(α) +С(α). Оно показывает, что α является корнем и уравнения (5). Значит, всякий корень уравнения (4) удовлетворяет уравнению (5), т.е. (5) – следствие уравнения (4). Утверждение об уравнении (6) можно доказать аналогично.

Если нарушено условие существования значений С(х), то при добавлении к обеим частям уравнения слагаемого С(х) может получиться уравнение, не являющееся следствием заданного. Например, уравнение 2х+ 1/х-4 =8 + 1/х-4 не является следствием уравнения 2х=8. В самом деле, число 4 является корнем уравнения 2х=8, но не удовлетворяет уравнению 2х + 1/х-4 = 8 + 1/х-4.

Серьёзной ошибкой, которую часто делают при решении уравнений, является деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Получающееся при этом уравнение не является обычно следствием заданного, т.е. при таком делении происходит потеря корней.

Пример 2. Одним из корней уравнения 6х(х-3)=12(х-3) является число 3. Если разделить обе части уравнения на х-3 (как говорят, сократить уравнение на х-3), то получится уравнение 6х=12. Оно имеет лишь один корень 2. Корень 3 при сокращении потерян.

Проверки корней можно избежать, если при переходе к новому уравнению мы не только не теряем корней, но и не приобретаем новых.

О п р е д е л е н и е 2. Два уравнения называют равносильными, если каждый корень первого из них удовлетворяет второму уравнению, а каждый корень второго уравнения удовлетворяет первому.

Иными словами, два уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.

От уравнения (5) можно вернуться к уравнению (4), прибавив к обеим частям слагаемое – С(х) (которое тоже имеет числовое значение для всех х из ОДЗ). Если, кроме того, С(х) ≠0 в ОДЗ уравнения (4), то от уравнения (6) можно вернуться к уравнению (4), разделив обе части

10

уравнения на С(х) (из-за того, что С(х)≠0, потери корней при этом не произойдет). Поэтому справедлива еще одна теорема.

Т е о р е м а 2. Если С(х) имеет числовые значения для всех х из ОДЗ уравнения (4), то это уравнение равносильно уравнению (5). Если, кроме того, С(х) не обращается в нуль в ОДЗ уравнения (4), то уравнение (4) равносильно уравнению(6).

1. Равносильны ли уравнения:

а) 4х²-2х=1-2х и 4х²=1;

б) 4х-1+2/х+1=3х+2/х+1 и 4х-1=3х.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/10837-jelektivnyj-kurs-uravnenija-i-sistemy-uravnen