Проектирование и применение многоуровневой системы учебных математических задач, как средство реализации фгос

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ УЧЕБНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ,

КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС

Предлагается технология проектирования многоуровневой системы задач по курсу математика, позволяющая ученикам успешно освоить программу как на базовом, так и на углублённом уровнях, эффективно подготовиться к итоговой государственной аттестации в форме единого государственного экзамена. Кратко описана методика применения этой системы.

В предлагаемом подходе предлагается в каждом разделе школьного курса математики выделить максимально полный Перечень элементов содержания образования (понятий, теорем, приёмов решения задач определённого типа и способов общеучебной деятельности) и построить соответствующую этому Перечню многоуровневую систему учебных математических задач с охватом общеобразовательного и углубленного уровней.

Это позволяет на основе задачного подхода разработать методику обучения математике, позволяющую строить для каждого учащегося индивидуальные образовательные траектории, направленные как на формирование специальных, так и универальных учебных действий, на успешную подготовку к итоговому государственному экзамену, к вступительным экзаменам в вузы, тем самым, в рамках учебного курса решить проблему качественного обучения математике в средней школе.

Этапы проектирования и применения МСЗ:

1. выделение уровней внешней (базовый и углублённый) и внутренней дифференциации (знакомая задача, модифицированная задача, незнакомая задача);

2. составление перечня элементов содержания образования и перечня базовых задач темы;

3. матричная модель МСЗ;

4. наполнение матрицы конкретными задачами в соответствии с моделью;

5. методика работы с МСЗ;

6. мониторинг успешности математической деятельности и прогнозирование результатов.

Системно-деятельностный подход в обучении, при котором учебная деятельность учащихся проектируется и реализуется через решение целесообразно подобранных задач, будем назвать задачным подходом. Основное достоинство этого подхода состоит в том, что мотивация введения новых понятий, теорем, алгоритмов и их дальнейшие применения строятся на функциональном уровне (новое понятие, теорема, алгоритм – это средство решения проблемы).

Важнейшими дидактическими средствами функционирования задачного подхода являются целенаправленное создание учебной проблемной (задачной) ситуации, и ее разрешение путем постановки и последующего решения соответствующей математической задачи.

Таким образом, структурной единицей задачного подхода к обучению математике выступает ситуация, возникающая при решении учебно-математической задачи. При этом любая задача является предметной (математической) задачей, и в то же время с помощью нее в обучении достигаются определенные метапредметные (дидактические) цели. Поэтому задача является как единицей членения содержания обучения, так и единицей проектирования и реализации процессуальной стороны обучения (формирования УУД). Из этого, в частности, вытекает, что частью содержания обучения должно стать специальное обучение общим приемам действий в различных учебных ситуациях. В этом реализуется один из аспектов принципа единства содержательной и процессуальной сторон обучения.

ПРИМЕР

Задание1 (Знакомая Задача): выполните действия (репродуктивная деятельность, применение алгоритма в знакомой ситуации. Общеучебные действия: анализ, построение высказывания в устной или письменной форме, построение логической цепи рассуждений).

Задание 2 (Малознакомая Задача): выполните действия; что объединяет примеры из 1-ого и из 2-ого столбцов? УУД: все выше названные Общеучебные действия, плюс ПЛД сравнение, выявление сходства и различий, выявление существенного свойства, выдвижение и проверка гипотезы, выводы, синтез.

Задание 3 (Незнакомая Задача): выполните действия, придумайте 2-3 самостоятельных примера, продолжающие 1-ый, 2-ой столбцы. Общеучебные действия: все выше названные ранее, плюс синтез, самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов, выбор основания для сравнения, классификация примеров.

Пример с квадратным уравнением (И1,И2,И3).

Приходим к важному выводу:

одна и та же предметная задача позволяет решать разные дидактические задачи, и, наоборот, одну и ту же дидактическую задачу можно решить с помощью разных предметных задач. Поэтому учебно-математическую задачу как средство обучения можно представить в виде диады , состоящей из некоторой предметной математической задачи и некоторой общеучебной (дидактической) задачи .

Следовательно,структура системы учебных задач курса может быть задана предметной и метапредметной общеучебной (дидактической) составляющими: актуализированными разноуровневыми внутрипредметными содержательно-логическими взаимосвязями, существующими между задачами и методами их решения, и интегрирующими дидактическими взаимосвязями, с помощью которых реализуются и достигаются заданные цели обучения.

ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ ЭТАПОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И УУД

Рассмотрим фундаментальную дидактическую задачу - задачу обучения решению проблем (задач). При различии методических подходов к обучению решению задач, можно выделить общие действия, которые составляют приём решения проблемы, задачи (в том числе текстовых заданий, уравнений, систем). Это следующие действия:

Анализ условия (что дано, что требуется),введение буквенных обозначений.

Схематическая запись условия в виде таблицы, схемы, графа с использованием введённых обозначений.

Составление модели (уравнения, неравенства, системы);

Решение уравнений (неравенств, систем) или нахождение из системы искомой комбинации неизвестных с помощью замен, преобразований, геометрических интерпретаций уравнений и систем (знаково-символическая деятельность).

Проверка и оценкакорней (все ли имеют смысл в контексте условия задачи? Не появились ли неправдоподобные геометрические, физические и иные величины?).

Исследование, обобщения задачи или способа решения для видоизменённых условий, другие подходы к решению. (А что будет, если «пошевелить» задачу, рассмотреть предельный, «крайний» случай, другие связи, здесь возможны неожиданные эффекты. Эти эвристические приёмы называются «метод крайнего», приём абстрагирования, приём конкретизации).

Рефлексия (какие затруднения встретились мне в решении? почему? как я их преодолел?), полезные выводы на будущее, саморегуляция умственной деятельности.

Располагаем выявляемые на каждом этапе УУД в таблицу 4. Такая форма записи структурирует выявленное соответствие между ключевыми задачами, этапами и универсальными учебными действиями:

Таблица 4

Конечно, если на уроке реализуются отмеченные этапы работы с задачей (проблемой), то происходит формирование соответствующих универсальных учебных действий.

Целесообразность последовательностей задач означает, что задачи в них, выполняя разные дидактические функции, обеспечивают в совокупности достижение требуемых предметных и метапредметных результатов

Требования к уровню обученности (обеспечение предметного и метапредметного результата) выпускников основной и полной средней школы по геометрии, алгебре, началам анализа можно гарантированно удовлетворить, если организовать их учебную деятельность на основе многоуровневой системы задач(МСЗ), адекватно отражающей эти требования. Вашему вниманию предлагается вариант модернизации системы задач УМК, используемого в обучении, реализующий в качестве ведущего системообразующего принципа, принцип единства содержательной и процессуальной сторон обучения (единство формирования специальных учебных математических действий и универсальных учебных действий).

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования (ЭСО) и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой. Подобную матричную модель удобно представить с помощью табл. 1.

Матричная модель системы задач Таблица 1

Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер. Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (анализирует, извлекает информацию, распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий (строит логическую цепь рассуждений), применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач.

При решении задачвторой строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях. Происходит самостоятельное достраивание, выявление существенной и несущественной информации, восполнение недостающей компоненты, выдвижение и проверка гипотез, доказательство.

Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский, творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий. Решение задач соответствующего блока требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; привлечение приёмов и алгоритмов из других разделов, системного видения курса. Востребованными оказываются практически все познавательные универсальные учебные действия. Решение этого типа задач не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличиемлатентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях С4, С5, С6 вариантов ЕГЭ.

Учёт предметно-содержательного и процессуально-деятельностного аспектов системы демонстрирует таблица 2. В ней представлены способы взаимодействия учителя и ученика в зависимости от уровня внутренней дифференциации, на котором находится ученик, а также структура системы задач (по теме Производная).

Структура многоуровневой системы задач. Таблица 2

Наряду смногоуровневостью, предметной и метапредметной (дидактической) полнотой система задач темы должна отвечатьизвестным принципам, вытекающим из закономерностей и принципов обучения:

целевой достаточности;

открытости и пополняемости;

доступности;

непрерывности повторения;

преемственности;

варьирования базовых задач;

однотипности и контрастности;

немонотонного увеличения трудности задач и сложности их решений;

индивидуализации (возможности построения индивидуальных траекторий обучения).

Методика применения многоуровневой системы задач

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.

Благодаря матричной структуре, обеспечивающей движение в предметно-содержательном и процессуально-деятельностном направлениях, МСЗ легко приспособить к конкретному ученику. Именно матричная структура МСЗ является основой для проявления гибкости, обеспечивающей построение индивидуальных траекторий обучения.

Другим основополагающим элементом является работа с базовыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным. На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач. На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения базовых задач темы. На заключительных этапах изучения курса учащиеся выполняют групповые и индивидуальные проекты по самостоятельному составлению системы базовых задач темы.

Еще одним важным моментом методики является совместное составление различных схем, таблиц, графов базовых задач, которые вывешиваются для общего обозрения в классе и фиксируются учащимися в своих тетрадях. Такая деятельность способствует формированию системности знаний.

Построение многоуровневой системы задач по теме

«Показательная функция»

Базовый уровень

Б.З.1.

Задача на вычисление значений показательных выражений.

З.З. Вычислить: а). 2^-1 · 64^2/3; б). (125^-2/3 – 16^1/2 +343^1/3-3)^-1/2.

Ответ: а) 8; б)5.

М.З. Зная, что 0,7^х =5, найти: 0,7^2х+1.

Ответ: 30.

НЗ Вычислить значение выражения: (a^2х + )·b, при a^х + 4, b^х= 8.

Ответ: 56.

Б.З. 2.

Задача на нахождение множества значений, области определения показательной функции, применение свойств показательной функции.

З.З. а) Найти область определения функции: y= 4^{x- 1}

б) Найти множество значений функции: y= 3 · 2^x

Ответ: а) (-∞; +∞), б) (0; +∞).

М.З. Найти область определения функции: у = .

Ответ: х≠1.

Н.З. Пользуясь графической иллюстрацией, определить число корней уравнения: ( )^х = 2-(х-1)² .

Ответ: 2.

Б.З.3.

Задача на построение графиков показательных функций.

З.З. Построить график функции: а). у = 2^х -3, б). у = 2^х-3.

М.З. Построить график функции: у = ( )

Н.З. Построить график функции: у = .

Б.З.4.

Задача на нахождение корней показательных уравнений различного типа.

З.З. Найти корень уравнения: 7^2х+1 = 49. Ответ: х = 0,5.

М.З. Решить уравнение: 5^2х = 13^х. Ответ: х = 0.

Н.З. Найти корень уравнения: = (3-2 ) .

Ответ: х = -1, х = 3.

Б.З.5

Задача о нахождении решений показательных неравенств различного типа.

З.З. Решить неравенство: 6^2x≤. Ответ: (-∞; - 1)

М.З. Найти наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству:

147∙7^x-2- 3∙ 7^2-x≤ 0. Ответ: 1

Н.З. Решить неравенство: 3^2x-1 <11^3-x. Ответ: .

Б.З.6

Задача о нахождении решений системы показательных уравнений.

З.З. Решить систему: Ответ: (1;3)

М.З. Найдите значение выражения 2x₀+y₀, если (x_0;y₀) – решение системы уравнений , Ответ: 3.

Н.З. Решите систему уравнений: Ответ:(1; - 2).

Б.З.7.

Задача о нахождении решений системы показательных неравенств.

З.З. Решить систему неравенств: Ответ: (3,5; +∞).

М.З. Решить систему неравенств: Ответ:(-1;3).

Н.З. Решить систему неравенств: <0. Ответ: (-∞; -4).

Б.З.8.

Задача о нахождении решений показательных уравнений, неравенств и их систем функционально-графическим методом.

З.З. а) Решить графически уравнение: 3^x= 4-x. Ответ: x=1.

б) При каких значениях x, график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции: y = 3^x,y = - x+1.

Ответ:x>0

M.З. Дана функция y = f(x), где f(x) =

1) Вычислитеf(-3),f(-2,5),f(0),f(2),f(3,5);

2) Постройте график функции.

Н.З. Решить графически уравнение: =64 (x). Ответ: x 3,4.

Углубленный уровень

Б.З.1.

Задача на вычисление значений показательных выражений.

З.З.Вычислить:

Ответ: 3,5.

М.З.Вычислить сумму+ зная, что +

Ответ: 5.

Н.З.Найти х (х), если ( +) = 13,5.

Ответ: 3.

Б.З.2.

Задача на нахождение множества значений, области определения показательной функции; применение свойств показательной функции.

З.З.Найти область значений функции: y = .

Ответ: (-∞; +∞).

М.З. а)Найти наименьшее целое значение функции: у = + + 0,25.

Ответ: -2.

б)Найти число целых значений функции: у = .

Ответ: 81.

Н.З. Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при которых область определения функции у = ( · + - - ())

не содержит двузначных натуральных чисел.

Ответ: (1; 10).

Б.З.3.

Задача на построение графиков показательных функций.

З.З. Построить график функции: y = + 1.

М.З. Построить график функции: а). y = ; б) y = ( ).

Н.З. Построить график функции: у = .

Б.3.4.

Задача на нахождении корней показательных уравнений различного типа.

3.3. Найти корень уравнения: 3^х+2- 2·3^х= 63.

Ответ: х = 2.

М.3. Решить уравнение: 3·4^|х-2| + 5·49^|х-2| = 16·14^|х-2|.

Ответ: х = 2 ± .

Н.З. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

- (8а+5)· + 16 + 20а - 14=0 имеет единственное решение.

Ответ: -а .

Б.З.5.

Задача о нахождении решений показательных уравнений, неравенств, используя свойства обратной функции.

З.З. а) Решить уравнение: 3^x+1=14; Ответ: log₃14-1

б) Решить неравенство: 2^x>5. Ответ: (log₂5;+)

М.З. Найти произведение корней уравнения: 4^x- 5∙2^x= - 6. Ответ: log₂3.

Н.З. a) Найти все значения x , при каждом из которых график функции

y= 9^x- 2∙3^x- 13 лежит ниже, а график функции y = 2^1-x- 4^2-x+ 16 лежит выше , чем график функции y = 2. Ответ: (0; log₃5);

б) Решить неравенство: >2^x. Ответ: x[0;+ ) при a(- ; 0);

x(alog₃2)² ; + ) при a[0;+ ).

Б.З.6.

Задача о нахождении решений показательных неравенств различного типа.

З. З. Решить неравенство: ( < 0,00243. Ответ: (1;2) (3;4).

М.З. Найти область определения функции f, если f(x)=

Ответ: [- 0,5; 0) (0; 0,5].

Н.З. Найти а из неравенства x²- 2^a+2 ∙x - 2^a+3+12 > 0, при условии, что оно верно для любых значений х.

Ответ: а .

Б.З.7.

Задача о нахождении решений системы показательных уравнений.

2^х+ 2^у= 12;

З.З. Решить систему: x – y = 1.

Ответ: (3;2)

М.З. Найти решение системы уравнений:

х= 1 + 3log₅y,

y²= y ∙5^x+ 20∙5^2x. Ответ: (-2; 0, 2)

Н .З. Найти все значения а, при которых система 2^3х+y+ 2^x+3y= 4,

8^x+y+ 2^-x-y= 4^y+a

имеет решения. Ответ: a > -1.

Б.З.8.

Задача о нахождении решений системы показательных неравенств.

З.З.Решить систему неравенств:

∙ 5^2х-0,5≥ 1,

0,2^6-9х ≤ 125. Ответ: 0 ≤ х ≤ 1

М .З. Решить систему: y² ≥ 5 ∙ 4^x+ ,

2^х+2+ 2y+1 = 0.

Ответ: (0; - )

Н.З. Решить систему с параметром:

( )^{8 + log x} > ()^{log x},

0 < х < 1.

Ответ: (0; ) при а (1; + ); (0; ) при а (0;1).

Б.З.9.

Задача о нахождении решений показательных уравнений, неравенств и их систем функционально-графическим методом. Нахождение множества точек плоскости, удовлетворяющих неравенству или системе неравенств.

З.З. а) Решить уравнение графически: 5^х= - х + 6. Ответ: 1.

б) Решить неравенство графически: ( )^х > 3х + 1. Ответ: х<0

М.З. Решить графически систему уравнений:

у = 2^x-1;

= y + 1. Ответ: (1;1)

Н.З. На плоскости ХОУ укажите точки, удовлетворяющие неравенству:

≤ ( )^х.

Список используемой литературы:

А.А.Максютин. Проектирование и применение многоуровневой системы учебных математических задач, как средство реализации ФГОС. Курсы повышения квалификации. г.Сызрань. 2014.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Ч.1 учебник, ч.2 задачник. М.: Мнемозина, 2013.

Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактический материал. 10 класс. Базовый уровень. М., 2010.

Рурукин А.Н. и др. Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа. 11 класс. М.: Вако, 2012.

Ковалёва Л.Н. и др. Математика . Тематические тесты 10-11 класс (под редакцией Ф.Ф. Лысенко) « Легион» 2008.

А.Я. Симонов и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике М. « Просвещение»1991.

А.Д. Кутасов и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ( под редакцией Г.Н. Яковлева)М. « наука» 1988.

М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ. М. 2002

В. В. Кочагин, М.Н. Кочагина Математика. Сборник заданий 2012. М. 2011.

И.Х.Сивашинский Элементарные функции и графики. М. « наука» 1968.

Г.И. Ковалёва. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности .Волгоград, 2009.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/111516-proektirovanie-i-primenenie-mnogourovnevoj-si