Система счисления

«Система счисления»

Содержание

Введение……………………………………………………………………..…....….4

1. Методологические основы изучения темы «Система счисления»………..…...6

1.1. Цели и задачи изучения темы…………………….……..……………....6

1.2. Требования к знаниям и умениям…………………………….……...….6

1.3. Формы контроля………………………………………………………… 6

2. История систем счисления …………………………………………………...….7

2.1 Единичная система …………………………………..………………...…8

2.2 Древнеегипетская десятичная непозиционная система………………..8

2.3 Вавилонская шестидесятеричная система …………………..…………9

2.4 Римская система…………..........................................................................9 3. Представление о системах счисления.….……………………………………...103.1. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую……...12

3.2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в

десятичную………………………………………………..…………. 13

3.3 Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную…….………13

3.4 Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную………….….14

3.5 Правила перевода правильных дробей…………………………………14

3.6 Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в

десятичную……………………………………………………..……15

3.7 Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную…………….15

3.8 Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную……………..16

4. Правила выполнения простейших арифметических действий……………….17

4.1 Правила сложения……………………………………………………….17

4.2 Правила вычитания……………………………………………………..18

4.3 Правила умножения……………………………………………………..20

4.4 Правила деления…………………………………………………………21

5. Проектирование урока по требованиям новых образовательных

стандартов..................................................................................................22

5.1. План-конспект урока «Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»…. ...........…....22

5.2. Структура и ход урока «Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»………………....24

5.3. Технологическая карта урока ««Различные позиционные системы

счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую» …26

5.4. Электронная презентация урока ««Различные позиционные системы

счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую» …...30

Заключение …………………………………………………………..…….……..34

Список использованной литературы ……………………………..………….....35

Приложение 1. Карточка ………………………………………………………..36

Приложение 2. Где применяются и используются системы счисления?........ 37

Введение

Модернизация общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определённой суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей.

При таких условиях актуальной становится углубление знаний и умений, направленных на формирование исследовательских, проектных компетентностей учащихся по определенным темам. Одной из таких тем в курсе основной школы, мы считаем, является тема «Система счисления». К сожалению, в средней школе при изучении информатики решение систем счисления рассматриваются недостаточно. Выбор темы методико-математического проекта «Система счисления» определяется возможностью формирования многих универсальных учебных действий на их основе.

Рассматриваемый материал входит в базовый уровень, предлагается на выпускных экзаменах по информатике. Решение систем счисления у учащихся значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение систем счисления можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение.

Цельюпроекта является разработка методики изучения темы «Система счисления» с учетом требований новых ФГОС основного общего образования.

Задачамипроекта являются:

– выделение универсальных и специальных предметных учебных действий, формируемых в процессе изучения темы;

– разработка плана-конспекта и технологической карты урока по теме с выделением формируемых УУД;

– разработать трехуровневую систему заданий по теме, отражающую различные уровни усвоения материала (ЗЗ – знакомая задача, МЗ – модифицированная задача, НЗ – незнакомая задача).

Теория решения систем счисления в научно-методической литературе разработана достаточно подробно. Но пока в этой теории не ставилась задача выделения и формирования учебных действий.

В обязательный минимум содержания программы по информатике профильного уровня входит решение и исследование систем счисления .

Решение систем счисления открывают перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для логического развития личности. Иными словами, «Система счисления» обладают диагностической ценностью, так как с помощью их можно проверить усвоение основных разделов информатики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса информатики в высших учебных заведениях. Трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «систему счисления», смогут успешно справиться с подобными задачами в ГИА и ЕГЭ. Поэтому очевидно, что к решению этих задач необходимо готовить учащихся.

Изучение темы может быть продолжено как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и являющегося развитием системы ранее приобретенных знаний в элективном курсе. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направленных на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.

1. Методологические основы изучения темы

«Система счисления»

1.1. Цели и задачи изучения темы

Изучение темы ««Система счисления» направлено на достижение следующих целей:

– усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задании систем счисления;

– формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной и творческой деятельности, определённых новыми государственными стандартами.

Достижение поставленных целей возможно через решение заданий систем счисления, что позволяет решать следующие задачи:

– обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися основ систем счисления знаний и умений при решении примеров на перевод чисел из одной системы в другую, выполнении арифметических действии различных систем;

– обеспечение прочной подготовки к ГИА;

– накопление базы задач, решаемых с помощью систем счисления.

1.2. Требования к знаниям и умениям

В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять следующие учебные действия:

– исследовать и решать основные понятия систем счисления; 

– исследовать и решать как переводить числа между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления; 

– исследовать и решать перевод чисел из любой системы счисления в десятичную и обратно;

-быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную,

-как выполнять арифметических операции в двоичной системе счисления.

1.3. Формы контроля

При изучении данной темы могут быть предусмотрены следующие формы контроля:

– промежуточные и итоговые тесты;

– выполнение и защита индивидуальных и групповых проектов по проблеме решения задач, моделируемых «Систем счисления»

– самостоятельное решение задач КИМ ГИА.

2. История систем счисления

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

2.1 Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

2.2 Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

2.3 Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации -вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонскаясистема - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

2.4 Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и Mсоответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);

разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);

сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

3. Представление о системах счисления.

Система счисления(далее СС) - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,:,9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленноемножество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

простоту оперирования числами;

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления).Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.
Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.
На практике также используют другие СС:

Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.
Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствуею знак 'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

В позиционной СС число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q:
A=a₁*q⁰+a₂*q¹+...+a_n*qⁿ (1)
Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки:
A=(...((a_n*q+a_n-1)*q+a_n-2)*q+...)*q+a₁
результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.

3.1. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую.

Правила перевода целых чисел системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную: 

исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

П ример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

П ример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

3.2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную.

В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.

Пример 3.4. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления. Имеем:
13₁₆ = 1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19.
Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример 3.5. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Имеем:
10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.
Таким образом, 10011₂ = 19.

3.3 Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: 
исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Пример 3.6. Выполнить перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления. 
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

В соответствии с таблицей 0011₂ = 11₂ = 3₁₆ и 0001₂ = 1₂ = 1₁₆. 
Тогда 10011₂ = 13₁₆

3.4 Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: 
каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 3.7. Выполнить перевод числа 13₁₆ в двоичную систему счисления. 
По таблице имеем: 1₁₆ = 1₂ и после дополнения незначащими нулями 1₂ = 0001₂; 3₁₆ = 11₂ и после дополнения незначащими нулями 11₂ = 0011₂. Тогда 13₁₆ = 00010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆ = 10011₂.

3.5 Правила перевода правильных дробей

Результатом является всегда правильная дробь.
1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную: 

исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби;

оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).

процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Пример 3.8. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.
В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
Таким образом, 0,847 = 0,1101₂.

Пример 3.9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform2/inform2-6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform2/inform2-6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform2/inform2-6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform2/inform2-6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform2/inform2-6.gif" \* MERGEFORMATINET
В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D₂.

3.6 Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную.

В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты a_i принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.

Пример 3.10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,1101₂. Имеем:
0,1101₂ = 1*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 +1*2^-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана. Таким образом, 0,1101₂ = 0,8125.

Пример 3.11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D₁₆. Имеем:
0,D8D₁₆ = 13*16^-1 + 8*16^-2 + 13*16^-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
Таким образом, 0,D8D₁₆ = 0,84692.

3.7 Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: 

исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Пример 3.12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,1101₂. Имеем:
0,1101₂ = 0,1101₂ В соответствии с таблицей 1101₂ = D₁₆.

Тогда имеем 0,1101₂ = 0,D₁₆.

Пример 3.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,0010101₂.
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,0010101₂ = 0,00101010₂. В соответствии с таблицей 0010₂ = 10₂ = 2₁₆и 1010₂ = A₁₆. Тогда имеем 0,0010101₂ = 0,2A₁₆.

3.8 Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей;

незначащие нули отбрасываются.

Пример 3.14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А₁₆.
По таблице имеем 2₁₆ = 0010₂ и А₁₆ = 1010₂. Тогда 0,2А₁₆ = 0,00101010₂.
Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А₁₆ = 0,0010101₂.

3.9 Правило перевода дробных чисел

Отдельно переводится целая часть числа, отдельно - дробная. Результаты складываются.

Пример 3.15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.
Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:
19,847 = 19 + 0,847.
Как следует из примера 3.2, 19 = 13₁₆; а в соответствии с примером 3.9 0,847 = 0,D8D₁₆. Тогда имеем:
19 + 0,847 = 13₁₆ + 0,D8D₁₆ = 13,D8D₁₆.
Таким образом, 19,847 = 13,D8D₁₆.

4. Правила выполнения простейших арифметических действий.

4.1 Правила сложения

Пример 3.16. Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

 5 4 3 2 1
+  1 1 0 1
 1 1 0 1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом: 

    1 1 0 1
+ 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата: 
1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;
11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;
101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2¹ = 32 + 8 = 40.
Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 3.17. Сложить шестнадцатеричные числа 1С₁₆ и 7В₁₆.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:

  2 1
+ 1 С
  7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

разряд 1 формируется следующим образом: С₁₆ + В₁₆ = 12 + 11 = 23 = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

разряд 2 формируется следующим образом: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ - единица переноса.

Таким образом: 

  1 С
+ 7 В
  9 7

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата: 
1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;
7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;
97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.
Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

4.2 Правила вычитания

Пример 3.18. Вычесть из двоичного числа 101₂ двоичное число 11₂.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

  3 2 1
- 1 0 1
    1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

разряд 1 формируется следующим образом: 1 - 1 = 0;

разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как

10 - 1 = 1;

третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом: 

  1 0 1
-   1 1
    1 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице имеем::
101₂ = 5;
11₂ = 3;
10₂ = 2. 
Поскольку 5 - 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 3.19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97₁₆ шестнадцатеричное число 7В₁₆.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:

  2 1
- 9 7
  7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7 меньше В и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ - В₁₆ = 23 - 11 = 12 = С₁₆;

разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8₁₆₆ - 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом: 

  9 7
- 7 В
  1 С

Для проверки результата используем данные из примера 3.17. 
Таким образом, вычитание выполнено верно.

4.3 Правила умножения

Пример 3.20. Умножить двоичное число 101₂ на двоичное число 11₂.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

  3 2 1
* 1 0 1
    1 1

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 10₂ = 1010₂. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 101₂ + 1010₂ = 1111₂.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. таблицу):
101₂ = 5;
11₂ = 3;
1111₂ = 15.
Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

Пример 3.21. Умножить шестнадцатеричное число 1С₁₆ на шестнадцатеричное число 7В₁₆.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:

  2 1
* 1 С
  7 В

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С₁₆ * В₁₆ = 28 * 11 = 308 = 134₁₆;

умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С₁₆ * 7₁₆ = 28 * 112 = 3136 = С40₁₆. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 134₁₆ + С40₁₆ = D74₁₆.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами формирования полного значения числа:
1С₁₆ = 28;
7В₁₆ = 123; 
D74₁₆ = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.
Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = D74₁₆.

4.4 Правила деления

Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.
Пример 3.22. Разделить двоичное число 1111₂ на двоичное число 11₂.
Решение задачи представим схемой:

INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform3/inform3-1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform3/inform3-1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform3/inform3-1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform3/inform3-1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://kuzelenkov.narod.ru/mati/book/inform/inform3/inform3-1.gif" \* MERGEFORMATINET

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 3.20. Они показывают, что деление выполнено верно:

1111₂ / 11₂ = 101₂.

5. Проектирование урока по требованиям

новых образовательных стандартов

5.1. План-конспект урока

«Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

ФИО, место работы, должность: Рыцова Гульсирень Камиловна, учитель информатикиI квал. категории МБОУ СОШ №21 г. Нижнекамска РТ,

Предмет:Информатика

Класс: 10

Тема раздела: Система счисления

Номер урока в теме: 45 минут

Базовый учебник: И.Г. Семакин, Е.К.Хеннер, Информатика и ИКТ, 10-11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: БИНОМ, 2009. – 246с.

Цель урока:

Обобщить и систематизировать понятия по теме: «Системы счисления»

и познакомить учащихся с переводом дробных чисел в разных системах счисления, а также с применением систем счисления в нашей повседневной жизни.

Задачи урока:

– формирование специально-предметных учебных действий:

уметь исследовать и решать записи в разных системах счисления, перевод дробных чисел.

решать переводы любых чисел в десятичную систему счисления, выполнение арифметических действии в двоичной системе счисления;

– формирование личностных УУД:

смыслообразование (установление связей между целями и мотивами решения задании на систему счисления), оценивание личностной ценности изучаемых методов и алгоритмов (решения арифметических задач);

– формирование регулятивных УУД:

постановка учебных задач, выбор способов решения задач в зависимости от конкретных условий, контроль и оценка процесса и результатов деятельности (сопоставлять полученный результат с условием задачи);

– формирование познавательных УУД:

выделение и формулирование познавательной цели, выделение необходимой информации из условий задачи, моделирование (преобразование условий задачи в символьную форму), выбор эффективных способов решения задач, рефлексия способов действия, анализ условий задачи, подведение под понятие (перевод дробных чисел из двоичной системы счисления в десятичную и обратно);

формирование коммуникативных УУД:

формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность.

Тип урока: комбинированный урок.

Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая технология, ИКТ.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор (интерактивная доска), доска, экран,технологическая карта урока для каждого учащегося, электронная презентация в программеPowerPoint.

5.2. Структура и ход урока «Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

5.3 Технологическая карта урока информатики

5.4. Электронная презентация урока:

« Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

Слайд №1 « Различные позиционные системы счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую»

Слайд №2

ВОПРОСЫ:

Что называют системой счисления?

Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел

Какие виды систем счисления вы знаете?

Позиционные и непозиционные системы счисления

Слайд №3

Приведите примеры непозиционной системы счисления

Римская система, в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1),V(5),X(10),L(50),C(100),D(500),M(1000).

А почему она считается непозиционной системой счисления?

В системе значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ цифра Х встречается трижды, а в каждом случае обозначает одну и туже величину 10, а в сумме ХХХ это 30.

Слайд № 4

Какая система называется позиционной?

В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры называется РАЗРЯДОМ. Размер числа возрастает справа налево. Наиболее распространенной в настоящее время являются: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Что называться основанием в позиционной системе счисления?

В позиционной системе счисления основание системы равно количеству цифр, используемых ею, и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов чисел.

Слайд №5

Как можно записать число в позиционной системе счисления?

Любое число в позиционной системе счисления с произвольным основанием можно записать в виде многочлена

А_(s)=a_nsⁿ+a_n-1s^n-1+ …+ a_-ms^-m , где s - основание системы, а степень соответствует разряду цифры а в числе А_(s)

Например: 345₁₀=3· 10²+4· 10¹+ 5·10 ⁰

Слайд №6

Какие примеры вы можете привести позиционной системы счисления?

Например:

101010₂- двоичная (основание 2, используются две цифры –0,1)

345₁₀ – десятичная ( основание 10, используются десять цифр –

0…9)

746₈ – восьмеричная (основание 8, используются 8 цифр – 0…7)

Как можно перевести любое число в десятичную систему счисления?

Нужно воспользоваться многочленом

А_(s)=a_nsⁿ+a_n-1s^n-1+ …+ a_-ms^-m

Например:

4 3 2 1 0

10111=1·2⁴+0·2³+1·2²+1·2¹+1·2⁰= 16+4+2+1=23₁₀

2 1 0

221₃= 2·3²+2·3¹+ 1·3⁰=2·9+2·3+1=18+6+1=25₁₀

Слайд №7

Как можно перевести из десятичной системы счисления в любую систему счисления с произвольным основанием?

Например:

Из 10 2 Из 10 3

13₁₀=1101₂13₁₀=111₃

2 ост. 1133 ост.1

6 2 ост. 043 ост.1

2 ост. 11

1

Слайд №8

Какие действия мы можем выполнять в двоичной системе счисления?

Сложение, вычитание, умножение и деление.

Напишите правило сложения

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 (единица переносится в более старший разряд)

13.Напишите правило вычитания

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1 =1 (единица занимается из более старшего разряда)

Слайд №9

14.Напишите правило умножения

0·0=0

0·1=0

1·0=0

1·1=1

Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили еще две системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную.

Слайд №10

15.В чем же преимущество у шестнадцатеричной системы счисления в отличие от других?

Недостаток двоичной системы счисления в том, что для записи даже небольших чисел приходится использовать много знаков, так как основание мало. Поэтому в современных компьютерах помимо двоичной системы счисления применяются и другие, более компактные по длине чисел системы. Такими являются шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления.

16.Как перевести число, записанное в двоичной системе счисления в шестнадцатеричную?

Для того чтобы перевести в восьмеричную систему счисления двоичное число, его нужно разбить на группы по 3 цифры справа на лево (если количество цифр не кратно 3 , то впереди нужно дописать нужное количество нулей) и заменить каждую группу соответствующей восьмеричной цифрой.

Например:

1 111 101 001 ₂= 011 111 101 001₂= 3754₈

Слайд №11

17.Как перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную?

Для записи шестнадцатеричных цифр используют первые буквы алфавита. Перевод из 16 2 и обратно аналогичен переводу в двоичной системе счисления.

Например:

AOF₁₆= 1010 0000 1111₂ и обратно

11 1110 1001₂= 0011 1110 1001₂ = 3Е9₁₆

Упражнения для снятия утомляемости глаз и кистей рук.

Слайд №12

Дробное число в двоичной системе счисления 1011,011₂ .

Как мы переводили с вами целое число в десятичную систему счисления?

Задание 1

3 2 1 0 -1 -2 -3

1 0 1 1 , 0 1 1₂= 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2+1·2^-3=8+2+1+1/4+1/8=11,375₁₀

Слайд №13

А как же нам перевести число 11,375₁₀ обратно в двоичную систему счисления?

Как мы переводили целую часть?

112ост.1 11,375₁₀= 1011+ 0,011=1011,011₂

52ост.1

22ост.0

1

Слайд №14

375 375:125 3 2 1 1 1 1 1

0,375=------- = ----------- = --- = -- + -- = -- + -- = -- + -- = 2^-2+2^-3=

1000 1000:125 8 8 8 4 8 2^-2 2^-3

= 0·2^-1+ 1·2^-2+ 1·2^-3

Слайд №15

Пример 2:

0,25₁₀= 0,01₂

25 25:25 1 1

0,25 = ---- = --------- = -- = -- = 2^-2=02^-1+12^-2

100 100:25 4 2²

Слайд №16

Составить кроссворд по теме: «НУЛИ И ЕДИНИЦЫ»

Представьте числа в двоичной системе счисления.

ПО ВЕРТИКАЛИ ПО ГОРИЗОНТАЛИ

1. 33₁₀9. 77₈1. 2А₁₆7. 31₁₀

4. 61₈11. F₁₆2. 20₁₆8. 7₈

5. В₁₆3. 76₈10. 5₁₆

Заключение

Сегодня, в условиях перехода к новым образовательным стандартам общего образования, многие учителя задаются вопросами о сущности и отличительных особенностях стандарта нового поколения, о видах универсальных учебных действий, о способах формирования их средствами предмета на своих уроках, наконец, о способах контроля и мониторинга УУД. Учитель хочет точно знать, что следует делать на каждом уроке информатики, чтобы формировать регулятивные, познавательные и другие универсальные учебные действия.

Тема «Система счисления», изучаемая в главе «Системы линейных уравнений», является одной из важных и трудных тем в курсе алгебры основной школы. Проектная работа была посвящена разработке методической системы обучения решению систем уравнений с двумя переменными в условиях внедрения новых образовательных стандартов.

В процессе разработки проекта были:

–выделены универсальные (по четырем блокам: 1) личностные; 2) регулятивные; 3) познавательные; 4) коммуникативные) и специальные предметные учебные действия, формируемые в процессе изучения темы, показана связь УУД и специальных предметных учебных действий;

–разработаны план-конспект и технологическая карта двух последовательных уроков по теме с выделением формируемых УУД;

Многоуровневая система задач является основным дидактическим средством обучения алгебре и началам анализа учащихся основной школы, в ней заложены возможности продвижения учащихся как по содержательной компоненте программы, так и по деятельностной компоненте (приемы решения знакомых, модифицированных, незнакомых задач).

По аналогии с этими образцами учителя смогут проектировать формируемые на каждом уроке универсальные учебные действия, отображать в своей деятельности и в конспектах урока связь универсальных учебных действий и специальных предметных учебных действий, строить системы заданий, формирующие универсальные учебные действия.

Планируется использование различных форм активного обучения и форм контроля, ориентирующих учащихся на приобретение высокого уровня общей и специальной математической подготовки, прочных знаний и умений, необходимых для успешной сдачи государственной итоговой аттестации и продолжения профильного обучения в старшей школе.

Список использованной литературы

И.Г. Семакин, Е.К.Хеннер, «Практикум. Информатика и ИКТ», М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008

И.Г. Семакин «Информатика» Задачник-практикум в 2-х томах для 7-11 классов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008

Н.Д. Угринович, «Информатика и ИКТ», 10 класс, М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008

Н.В. Макарова, «Информатика и ИКТ», 10 класс, С.П.;Питер, 2008

Э.С.Ларина, “Проектная деятельность учащихся 9-11 классов», В.;Учитель, 2009

Д.М.Ушаков, «Паскаль для школьников», С.П.;Питер, 2008

А.А. Чернов, «Контрольные и самостоятельные работы по программированию», В.;Учитель, 2009

Л.А. Залогова, «Компьютерная графика - практикум», М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007

Приложение 1

Карточка №1

1. Переведите число данное в десятичной системе счисления в

двоичную , а затем в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 153,25₁₀б)712,5₁₀

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления:

а) 10110101,1₂б)100000110,10101₂

Карточка №2

1. Переведите число, данное в десятичной системе счисления в

двоичную, а затем в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 670,25₁₀б)162,5₁₀

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления:

а) 1111100111,01₂б)1001011,00101₂

Карточка №3

1. Сложите данные числа:

110010,101₂+ 1011010011,01₂

2. Выполните вычитание:

1101111011,01₂ – 101000010,0111₂

3.Выполните умножение:

1100110₂ х 1011010₂

Карточка №4

1. Сложите данные числа:

111111111,0011₂+ 111111111,0101₂

2. Выполните вычитание:

1101100110,01₂ – 110000010,1011₂

3.Выполните умножение:

1001111₂ х 1000100₂

Приложение 2

Где применяются и используются системы счисления?

В Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Делением часа на 60 минут, а минута на 60 секунд мы обязаны этой системе счисления.

Тот факт, что основанием используемой нами системой счисления является число 10, объясняется тем, что природа наделила нас десятью пальцами на руках и ногах.

Система гадания китайской «Книги перемен» («И-Цзин»), уходящая корнями в глубокую древность, при внимательном анализе обнаруживает в своей основе двоичную систему счисления и позиционный принцип записи числа

На островах Океании используется одинадцатеричная система счисления

Японцы используют пятиричную систему счисления

Измерение времени и градусной меры углов основывается на шестидесятиричной системе счисления древних шумеров

Двенадцатеричная система счисления: на ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а так же сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами времени. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток из 12 часов. В русском языке счет часто идет дюжинами, чуть реже гроссами. О существовании 12ричной системы счисления говорит тот факт, что сервизы, салфетки, столовые приборы продают наборами по 6 или 12 штук.

Изобретение десятичной системы счисления приписывают древним арабам, развитие – индусам. Появление ее в Европе датируется примерно 1200г.н.э. Десятичными цифрами выражается время, номера домов, телефонов, цены, показания приборов, на них базируется метрическая система мер

Двоичная система мер используется в ЭВМ. Однако эта система счисления была предметом пристального внимания. Вот, что писал выдающийся французский математик ПЬЕР СИМОН ЛАПЛАС (1749 - 1807) об отношении к двоичной системе счисления: «В своей двоичной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытиё, и что высшее существо создаёт все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/11705-sistema-schislenija