Элективный курс «Арифметика и наглядная геометрия»

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Муниципальная средняя общеобразовательная школа»

Программа элективного курса по математике

«Арифметика и наглядная геометрия».

Белонина Н.М. – учитель математики

Пояснительная записка

Факультативный курс – «Арифметика и наглядная геометрия» предназначен для обучения решению задач, не входящих в обязательную программу изучения математики для учащихся 7 - 8 классов.

Математика- это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика – это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений.

Цели и задачи курса:

- формирование у учащихся устойчивого интереса к математике;

- выявление и развитие математических способностей;

- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности;

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса;

- подготовка к сознательному усвоению систематического курса алгебра и геометрия;

- формирование навыков перевода различных задач на язык математики;

- ориентация на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Курс построен таким образом, чтобы учащийся смог подключиться к усвоению отдельных разделов курса в течение учебного года.

Курс рассчитан на 30 часов.

Содержание

Логические задачи. Ребусы

Составление уравнений.

Задачи из комбинаторики.

Делимость. Признаки делимости.

Задачи на разливание

Смеси и сплавы.

Проценты в задачах

Старинные задачи.

Дроби.

Сумма и среднее арифметическое.

Задачи со спичками.

Разрезание.

Геометрия вокруг нас.

Тематическое планирование

Литература

Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.И.

Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. Москва.

Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: кн. для учащихся 5 – 7 кл./ 2-е изд. – М. Просвещение, 2005.

Кордемский Б. А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. Москва «Просвещение», 1986.

Нестеренко Ю., Олехник С., Потапов М. Лучшие задачи на смекалку. Москва, «АСТ-ПРЕСС», 1999.

Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад: развитие творческой сущности учащихся / авт.-сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2006.

Ткачёва М.В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 7 кл. сред. шк. – М. Просвещение, 1993..

Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

9. Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982 г.

10. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977 г.

11. Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009 г.

12. Задачи на разрезание, Екимова М.А., Кукин Г.П., 2002

Приложение 1

Задачи – шутки

Три товарища шли в школу на занятия во вторую смену и встретили еще двух товарищей - учеников первой смены. Сколько всего товарищей шло в школу? Ответ: 3 товарища

Зажгли 7 свечей, 2 из них погасли. Сколько осталось свечей?

Ответ: 2 свечи, остальные сгорели.

Что тяжелее - килограмм ваты или килограмм железа?

Ответ: они весят одинаково.

На дорожке сидели 6 воробьев, к ним прилетели еще 5 воробьев. Кот подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьев осталось на дорожке?

Ответ: ни одного, они разлетелись.

Один мальчик шел - пятак нашел. Двое пойдут - сколько найдут?

Ответ: на вопрос задачи ответить нельзя, всё дело случая.

Пара лошадей пробежала 20 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь?

Ответ: 20 км.

Рыболов за 2 мин. Поймал 4 рыбки. Сколько таких же рыбок он поймает за 6 мин? Ответ:

Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

Ответ: Нет, - через 72 часа будет снова полночь.

Один поезд едет из Москвы в С.-Петербург с опозданием 10 минут, а другой - из С.-Петербурга в Москву с опозданием 20 минут. Какой из этих поездов будет ближе к Москве, когда они встретятся?

Ответ: В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от Москвы.

Из гнезда вылетели три ласточки. Какова вероятность того, что через 15 секунд они будут находиться в одной плоскости?

Ответ: 100% , т.к. три точки всегда образуют одну плоскость.

Один оборот вокруг Земли спутник делает за 1 ч 40 минут, а другой - за 100 минут. Как это может быть?

Ответ: 1 ч 40 мин = 100 мин

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой - угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо - в сторону более пологого или крутого ската?

Ответ: Петухи не кладут яйца.

Мальчик упал с 4 ступенек и сломал ногу. Сколько ног сломает мальчик, если упадет с 40 ступенек?

Ответ: Всего одну, т.к. вторая у него уже сломана, либо больше ни одной, если повезёт.

Собака была привязана к десятиметровой веревке, а прошла триста метров. Как ей это удалось?
Ответ: Она ходила внутри круга с радиусом 10м, причём не обязательно по кругу.

Как может брошенное яйцо пролететь три метра и не разбиться?
Ответ: Главное бросать его так, чтобы оно летело больше 3 метров, тогда оно разобьется не когда пролетит 3м, а когда упадет.

Приложение 2

«Всё есть число!» - Пифагор

ИСТОРИЯ СЧЁТА

1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в а мбары.
       И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор я рассказывал об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

деление заканчивается, когда слева появится единица;

вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

2. МЕТОД «РЕШЕТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

Пример: умножим 25 и 63.

Н ачертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

затем квадратные клетки делим по диагонали;

вверху таблицы записываем число 987;

слева таблицы число 12;

теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

п осле заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

результат читаем по стрелке.

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.3. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Д ревние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке. Пример: 8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

УСТНЫЙ СЧЕТ – ГИМНАСТИКА УМА

1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Изучив литературу по данной теме, мною был сделан отбор, из множества приемов быстрого счета, я выбрал приемы умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика. Эти приемы я и включил в памятку (ПриложениеIII), которая будет полезна для учеников 5-6-х классов.

Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.

Например: 72·9=720-72=648.

Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.

Например: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Например:
23·11=253, т.к. 2+3=5, поэтому между 2 и 3 ставим цифру 5;
57·11=627, т.к. 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
Например: 35²=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225.

Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
52²= 2704, т.к. 25+2=28 и 2²=04;
58²= 3364, т.к. 25+8=33 и 8²=64.

3. ИГРЫ

Отгадывание полученного числа.

Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа. Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного результата вычтите задуманное. У вас получилось 1.

Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное. У вас получилось 2.

Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.

Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное. У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

Предложите своим друзьям задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.

Полученную сумму пусть умножит на 3.

От произведения пусть отнимет 7.

Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.

Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).

Приложение 3.

Из истории.

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

ЗАДАЧИ

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ. Перечислим возможные варианты

18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

1 способ.
Перечислим возможные варианты.

2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения,получаем: 5х3=15 .

4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:

Ответ: 25 человек.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем:5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х= 6

8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 - 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
Возможны следующие тройки:
Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,
Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков - = 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 - . По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х =700х

12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 - =126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

13. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

14. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 =303600
Или, зная формулу размещения, получаем

15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192=29030400 способами.

16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120=4320

17. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение

Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет - 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.

18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

1 способ. Обозначим белые - Б1, Б2, Б3, алые - А1,А2, чайные - Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
Перечислим возможные варианты
Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

Ответ: 24 варианта.

2способ. Дерево возможностей

 3 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24

20. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

1 способ. Обозначим СБ - путь из Сосновки в Бытовку, ВГ - путь из Быковки в Масловку, МВ - путь из Масловки в Видово.
По реке -Р, пешком - П, на автобусе - А
Перечислим возможные варианты:
СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА
СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА
СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА
СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА
Ответ: 12 вариантов.

2 способ. Дерево возможностей

Приложение 4

НЕКОТОРЫЕ СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ

1. Купил некто трех сукон 106 аршин (1 аршин да да 71,12 сантиметра), единого взял 12-ю аршин больше перед другим, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было. (Из старинной книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, начало XVIII в..)

2. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей,— отвечает ему вожак стада— если бы нас было столько, сколь­ко теперь, да еще столько, да полстолька, да четверть столька, да .еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стае гусей?

3. Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учени­ков, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Поло­вина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы*. Сколько учеников было у Пифагора?

4. Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, от­ветил: «Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той чело­век имяше денег». (Магницкий.)

5. В клетке находятся фазаны и кролики. У всех живот­ных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?

6. В некоей единой мельнице были трои жерновы, и еди­ны жерновы в сутки могут смолоти 60 четвертей (чет­верть приблизительно 6 пудов, 1 пуд приблизительно 16,38 кг), а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек дате жита 81 четверть, желал в скорости оно смолоти, и насыпа на все три жерновы, и ведательно есть, в колико часов оно жито смолоти-ся и колико на всякие жерновы достоит мельнику насыпати. (Магницкий.)

7. В городе Афинах был водоем, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоем в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, еще более тонкая—три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн. (Анания из Ширака (Анания Ширакаци), армянский математик VII в.)

8. В 336-ведерное водохранилище всякие 2 часа одною трубою втекает воды 70 ведер (1 ведро — 12,3 л), а другою трубою вытекает 42 ведра. Спрашивается, в какое время то во­дохранилище наполнится. (Старинный задачник по арифмети­ке Войтяховского.)

9. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со же­ною выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (Магницкий.)

10. Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа. Сколько бы они скоро, все три — вол, конь и коза — ту копну съели, сочти. (Матема­тические рукописи XVII в.)

11. Четыре плотника у некоего гостя (купца) нанялись двор ставити. И говорит первый плотник так: «Только бы мне одному тот двор ставити, я бы его поставил един годом». А другой молвил: «Я бы его поставил в два года». А третий молвил: «Я бы его поставил в три года», а четвертый так рек: «Я бы его поставил в четыре года». Все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Скольки долго они ставили, сочти. (Математические рукописи XVII в.)

12. Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдут­ся. (Магницкий.)

13. Собака усмотрела в 150 саженях зайца (1 са­жень приблизительно 2,13 м), который перебегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен; спрашивается, в какое время собака догонит зайца. (Задачник Войтяховского.)

14. Одному курьеру приказано прибыть к назначенному месту в 12 дней, к которому он прежде, ехав всякие сутки по 228 верст (1 верста приблизительно 1,07 км), прибыл в 15 дней. Спрашивает­ся, по сколько верст должен он проезжать в сутки, дабы по­спеть к тому месту в назначенное время. (Задачник Войтя­ховского.)

15. Юноша некий пошел с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой пошел после его на следую­щий день, а на всякий день идет по 45 верст. Во сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти. (Математические рукописи XVII в.)

СОФИЗМЫ.
1. 4 p. = 40 000 к. Возьмем верное равенство: 2 р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим : 4 р. — = 40 000 к. В чем ошибка?
2. 5 = 6. Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 — 45 = 424-12 — 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки, Получим : 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). По­лучаем 5 — 6. В чем ошибка?
3. 2-2 = 5. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое равенство (верное): 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1 : 1) = 5(1 : 1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2*2 = 5.
4. 4 = 5. Где допущена ошибка в следующей цепочке равенств: 16 — 36 = 25 — 45, 16 — 36 + 20*1/4 = 25 — 45 + 20*1/4 , (4—9/2)"2 = (5—9|2)"2, 4-9/2 =5-9/2, 4 = 5?
5. 2*2 = 5. Обозначим: 4 = a, 5 = b, (a+b)/2 =d. Имеем: а + b = 2d, a = 2d — b, 2d — а = b. Перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da — а2 = 2db — bг. Умножим обе части получившегося равенства на — 1 и прибавим к ре­зультатам d2. Будем иметь: a"2 — 2da + d2 = b2 — 2db + d2, или (a — d)"2 = (b — d)2, откуда а — d = b — d и а = b, т.е. 2*2 = 5. Где допущена ошибка?
6. 5 = 1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и — 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?
7. Все числа равны между собой. Пусть m не равно n. Возь­мем тождество: Имеем:Отсюдаили 2m = 2n, а значит, m = n. В чем ошибка?
8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска, Пусть a(м) — расстояние от Земли до Солнца, а b(м) - тол­щина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v
Имеем: Перемножив по частям два последних равенства, получаем: Прибавим к каждой частиПолучим: илит. е и, значит, а = b. Где мы ошиблись?
9. Любое, отличное от нуля, число равно противополож­ному ему числу. Какая ошибка допущена в следующих рас­суждениях? Возьмем произвольное, отличное от 0, число а. Обозначим его буквой х, х = а. Обе части этого равенства умножим на -4а. Получим: -4ах = -4а”2, или -4ах + 4а”2 = 0. К обеим частям этого равенства прибавим х”2. Получим: х”2 — 4аx + 4а”2 = х”2, или (х — 2а)”2 = х”2. Значит, х — 2а = x:, но х = а, поэтому а - 2а =а, или - а = а.
10. Любое число равно его половине. Возьмем два равных числа а и b, а не равно b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b”2. Получим: а”2 — b”2 = ab — b”2, или (а + b) (а - b) = b(а - b}. Отсюда a +b = b, или а.+ a = 0, так как b = а. Значит, 2а = а, или а = a/2 . Ка­кая ошибка допущена в этих рассуждениях?
11. Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть а — длина спички (дм) и b — длина столба (дм). Разность между b и а обозначим через с. Имеем: b- a = c, b = a + c. Перемно­жая два эти равенства по частям, находим: b”2 - ab =сa+c”2-bc. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b”2 — аb — bc = са + с”2 -bc, или b(b — а — с) = —с(b — a — с), откуда b = —с, но с = b — а, поэтому b = а —b, или а = 2b.

12. 1 = —1 Начнем с верного числового равенства: 16—24 + 9 = 4 — 12 + 9. Перепишем его в виде: (4 — 3)”2 = (2 — З)”2. Значит, 4 — 3 = 2 — 3, т.е. 1=—1. Где ошибка?

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
1. Сложите три равных квадрата: 1) из 11 спичек; 2) из 10 спичек.
2. Положите 12 спичек так, чтобы получилось: 1) 2 квадрата, 2) 3 квадрата, 3) 5 квадратов, 4) 6 к вадратов.
3. Из 6 спичек сложите 4 равносторонних треугольника.
4. Из спичек сложена фигура, состоящая из 9 равных, треугольников (рис. 42). Уберите 5 спичек так, чтобы остались 5 треугольников.
6. Составьте ту же самую фигуру (рис. 42) и: 1) переложи­те 6 спичек так, чтобы получилась фигура, составленная из 6 равных ромбов; 2) уберите б спичек так, чтобы не осталось ни одного треугольника.
7. Из спичек сложена такая фигура (рис. 43): 1) убери­те 4 спички так, чтобы осталось 5 квадратов: 2) уберите 8 спи­чек так, чтобы осталось 2 квадрата; 3) уберите б спичек так, чтобы осталось всего 3 квадрата.

8 . Из спичек сложена фигура, состоящая из 6 равносто­ронних треугольников (рис. 44). Переложите 4 спички так, чтобы получились 3 равносторонних треугольника.
9. Из 12 спичек сложите 4 равных квадрата. 1) Пере­местите 3 спички так, чтобы получились 3 равных квадрата. 2) Уберите 2 спички так, чтобы из данной фигуры получи­лись: а) 3 квадрата, б) 2 квадрата

Приложение 5

Задачи на переливание

Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей  с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Взгляни на берег – там ты увидишь  две банки. В одну из них помещается ровно два литра воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую банку точно один литр? Укажи два способа.

Располагая двухлитровым и пятилитровыми банками, сделай так, чтобы в одном из них оказался ровно литр воды.

Возьми две стеклянные банки. В одну из них, наполненную до краёв, помещается один литр воды, а в другую – два. Как сделать так, чтобы в двухлитровой банке оказался точно один литр? Сделай это различными способами.

Задача – шутка. Перед тобой двухлитровый и трёхлитровый банки, а также девятилитровая тяжелая бочка. Как бы ты не старался с помощью банок налить в нее ровно один литр воды, у тебя ничего не получится. Как думаешь, почему? Дай хотя бы один верный ответ.

Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай  и каждый раз выпивали  половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что после этого остался всего стакан воды. Сколько воды  было в самоваре перед чаепитием?

Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай  и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды  и еще полстакана, после  чего воды не  осталось. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием?

Имеются две одинаковые чашки, одна с чаем, а другая – пустая. Из первой переливают половину имеющегося в ней чая во вторую, затем  из второй переливают треть  имеющегося в ней  чая в первую,  затем  из первой переливают четверть имеющегося в  ней чая во вторую  и  т.д. Сколько чая окажется  в  каждой из чашек после 100 переливаний?

В два достаточно больших бидона как-то разлили  3 л воды. Из первого переливают  половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают половину имеющейся  в  нем  воды  в первый,  затем  из первого переливают половину имеющейся в  нем воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после  100 переливаний в них будет 2 л и  1 л с точностью до миллилитра.

Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым?

Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину – после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?

Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое вместимостью 16 л?

Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с помощью этих бидонов разделить молоко пополам?

Имея два полных десятилитровых бидона молока и пустые четырехлитровую и пятилитровую кастрюли, отмерьте по два литра молока в каждую кастрюлю.

Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7 л, 8 л, кран с водой, раковина и 6л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками? Решите задачу двумя способами.

Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/120324-jelektivnyj-kurs-arifmetika-i-nagljadnaja-geo