Простое комплексное расширение кольца целых чисел

Простое комплексное расширение кольца целых чисел с порождающим .

В данном материале затрагивается тема из теории чисел и о науке о целых числах. Понятие целого числа, а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.Понятие простого числа является основным в теории чисел. Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучались Евклидом (3 в. до н. э.).

Так рассмотрим комплексное расширение кольца .

Доказать, что - кольцо.

( , +, ) – кольцо:

“+” , “ ” – алгебраические операции в ;

, , ( )+( )=( )+( ) ;

;

, , , (( )+( ))+( )= +( + ).

0=0+ , 0+ + =( ;

( ),+( )=0

+( )= = ;

, , ( )( )=( )( )

, , , (( )( ))( )=( )(( )( ))

, , , (( )+( ))( )=( )( )+( ) ( ).

Обратимые элементы

( )( )=1

, отсюда видно, что и, тогда или .

Обратимые элементы имеют вид .

Числа вида образуют коммутативное кольцо с единицей.

Операции в кольце чисел .

Возьмём два числа:

и , эти числа являются элементами кольца, и , ,c,d произвольные целые числа, , ,c,dZ.

Рассмотрим операции над этими числами:

1. Операция сложения.

2. Операция вычитания.

3. Операция умножения.

4. Операция деления.

Для всякого элемента из определим в этом кольце норму, полагая:. Это действительно является нормой, так как нетрудно проверить, что . Пусть и , то

.

Тогда

.

,

т.е.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/120493-prostoe-kompleksnoe-rasshirenie-kolca-celyh-c