Реферат по математике на тему «Теорема Пифагора просто, сложно, интересно»

Содержание.

1.Введение.

2. Из истории теоремы Пифагора.

3. Различные формулировки теоремы Пифагора.

4. Шесть способов доказательства теоремы Пифагора.

5. Вычисления с помощью Пифагорова равенства.

6. Пифагоровы числа.

7.Применение теоремы Пифагора.

8.Заключение.

1.Введение.

СЛАЙД1.Математика используется в самых разнообразных профессиях – она нужна инженеру, военному, биологу, конструктору, программисту, можно твердо сказать, что она нужна всем. Но всё – таки для одной специальности больше, для другой - меньше. Ведь не секрет ,что математика – предмет не простой.

Изучать математику надо самостоятельно, но очень полезно читать и особенно обсуждать прочитанное в небольшом коллективе.

Вот и я попытался собрать довольно разнообразный материал, относящиися и к геометрии, и к алгебре, и к арифметике и хочу вам расказать- подробно, с примерами, с доказательствами .

Весь этот материал группируется вокруг знаменитой Теоремы Пифагора, одной из замечательнейших теорем школьного курса математики.

(СЛАЙД2)

Перед собой я ставил

Цель: узнать какое отношение Пифагор имеет к этой теореме.

Изучая историю теоремы, я решил выяснить:

Существуют ли другие доказательства этой теоремы?

Каково значение этой теоремы в жизни людей?

Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

2. Из истории теоремы Пифагора.

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и

математику Пифагору (VI век до н.э). (во Франции, а также в некоторых областях Германии ее называют также иногда «мостом ослов» , у математиков арабского Востока эта теорема получила название "теоремы невесты" )

Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.(СЛАЙД3)

Я заинтересовался, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.

Как мы знаем, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо: (СЛАЙД 4)

3. Различные формулировки теоремы Пифагора.(СЛАЙД 5)

Приведу примеры различных формулировок теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

3 .1 У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны,

натянутой над прямым углом, равен квадратам

на сторонах, заключающих прямой угол".

3.2 Латинский перевод арабского текста Аннариции

(около 900 года до нашей эры), сделанный

Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

3.3 В GeometryCulmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

3.4.В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».[4]

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

4. Шесть способов доказательства теоремы Пифагора.

В настоящее время известны свыше 500 доказательств теоремы Пифагора. Мы рассмотрим лишь некоторые из них.

4.1. Древнекитайское доказательство .

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетамиa,b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a² + 2ab +b² = c² + 2ab

a² +b² = c²

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту :

S = (1)

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = (2)

Приравнивая (1) и (2) данные выражения, получаем:

или с² = a² + b²

4.3. Старейшее доказательство

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK,AMDL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

.

4.4. Доказательство простейшее .

4.5. Доказательство древних индусов (Слайд 6)

а) б)

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с² = а² + b².

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

4 .6. Доказательство Евклида.

В течение двух тысячелетий

наиболее распространенным было

доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в

его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

5. Вычисления с помощью Пифагорова равенства.

Приведу некоторые примеры вычислений с помощью теоремы Пифагора.

Задача 1.Одному профессору математике предложили кровать, которая оказалась ему мала. Профессор измерил ее длину а и ширину b, установил при помощи вычисления с точностью до миллиметров, что его собственная длина меньше, чем

и тогда, убежденный в пользе математики вообще и теоремы Пифагора в частности, лег на свою кровать по диагонали.

Пример 1. Воспользуемся прежде всего возможностями, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых известных нам фигур.

Диагональ d квадрата со стороной аможно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетома. Таким образом,

d =а

Упражнение1. В стандартных форматах чертежных листов ширина относится к длине так, как сторона квадрата относится к его диагонали. Ширина листа равна 420 мм. Найдите его длину.

Упражнение 2. Из листа данного формата получают 2 листа меньшего формата, деля большую сторону его пополам. Составьте перечень стандартных форматов, исходя из листа размером 841x1188.

Пример 2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямо-

угольного треугольника с катетами а и Ъ.

Мы имеем d =

Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет ~ (понятно, что вместо «высота» в данном случае можно сказать «биссектриса», или «медиана», или «перпендикуляр, восставленный к стороне в ее середине»). Таким образом, имеем

а²=h²+ ()²

или h²= а²- ()²

Отсюда вытекает h²= а².

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией; применяются и к пространственным телам .

Многие думают, что наши приложения теоремы Пифагора сугубо теоретические. Это — большая ошибка! Если, например, рассматривать четырехугольную пирамиду как крышку башни (или палатки), то речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ.

З аметим, что расчет площади кровли можно сильно

упростить, если воспользоваться одним очень простым

правилом, справедливым во всех случаях, когда все

скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-либо стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.

Мы видели, что теорема Пифагора является одним из важных, если не самым важным предложением теории площадей. Здесь мы рассмотрели ее с другой стороны. Обнаружилось, что эта теорема является основным инструментом при геометрических вычислениях.

Возможно, Пифагор и не открыл первым теорему, названную его именем, но ему

и его школе принадлежит та заслуга, что они первыми обнаружили, что в некоторых достаточно простых случаях невозможно обойтись первоначальным понятием о числе, охватывающим целые и дробные числа, осознали, а может быть, и указали путь их решения.

6. Пифагоровы числа.

Три целых положительных числа х, у и z, удовлетворяющие «уравнению Пифагора» называют пифагоровыми числами. С простейшим примером пифагоровых чисел мы уже знакомы: нам встречался треугольник со сторонами 3, 4 и 5. В самом деле,

3²+4²=5²

Если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4 и 5 ,то этот треугольник – прямоугольный.

Этот факт использовался для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда ещё не было, а для строительства домов., дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь.

Вы , конечно, понимаете, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора : если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны ,то такой треугольник прямоугольный.

7. Применение теоремы Пифагора.

1. Задачи теоретические современные

7.1.1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

7.1.2 . Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

7.1.3. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем

S₁-S₂=112 см², а S₃=400 см². Найдите периметр треугольника. [4]

7.1.4. Дан треугольник АВС, угол С=90⁰,CDAB,AC=15 см., AD=9 см.

Найдите АВ. [4]

7 .2. Задачи практические старинные

Для крепления мачты нужно установить

4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? [19]

Задача индийского математика XII века Бхаскары

« На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого[19]

 "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

    И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Задача из китайской "Математики в девяти книгах" [19]

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Заключение

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Мы изучили ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидели, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые нами в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b². Поэтому для её доказательства часто используют наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Более того, по мере развития математики растет её проникновение в самые различные области жизни человека. Значит, растет и важность её изучения в школе, в вузе и особенно важность самостоятельной работы над нею. .Правда, легче она от этого не становится – лёгкой математики вообще не бывает. И чем больше её изучаешь , тем больше остается неизученного, чем больше работаешь над страницами учебника, тем больше остается за его страницами. Наука неисчерпаема, этим она и интересна. Познание её приносит человеку настоящую, ни с чем не сравнимую радость. Именно такую радость мы и желаем Вам.

Литература.

Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982г.

И.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов, Москва, Просвещение 1989г.

В. Литцман .Теорема Пифагора, М. 1955.

А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.

Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М. 1990.

П. И. Алтынов «Тесты. Геометрия 7 – 9 кл.» М. 1998.

Газета «Математика» 17/1996.

Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В Никитин, А. И. Санкин «Сборник задач по элементарной математики». М. 1963.

Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике». М. 1973

А. И. Щетников “ Пифагорейское учение о числе и величине “. Новосибирск 1997.

М.С. Атанасян “Геометрия” 7-9 класс. М: Просвещение, 2010г.

www.moypifagor.narod.ru/

http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/123755-referat-po-matematike-na-temu-teorema-pifagor