Методическая разработка по математике «Пропедевтика графического метода решения квадратных неравенств»

Муниципальное автономное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 47» города Рязани

Методическая разработка учителя математики высшей квалификационной категории Бояхчян Натальи Евгеньевны

Тема: «Пропедевтика графического метода решения квадратных неравенств»

2015 год

Пропедевтика графического метода решения квадратных неравенств

При изучении способа графического решения неравенств с одной переменной, многие учащиеся испытывают затруднения в записи множества решений данного неравенства в виде числового промежутка или объединения числовых промежутков. Одной из причин этих затруднений, можно назвать неумение учащимися применять те знания, которые были получены в результате изучения темы «Функции».

Учащиеся должны уметь:

- свободно решать простейшую задачу аналитической геометрии по данной точке находить координаты и по координатам строить точку;

- изучить понятие функциональной зависимости, существующей между аргументом и функцией;

- уметь строить график линейной и квадратичной функции.

Только после усвоения данного материала можно поставить перед учениками более сложные вопросы, связанные с решениями квадратных неравенств.

Перед изучением графического способа решения квадратных неравенств я предлагаю учащимся для решения следующиеупражнения:

График функций y=ƒ(x) представлен на рисунке.

Найти по графику ƒ(0), ƒ(1), ƒ(-3), ƒ(-2), ƒ(3), ƒ(0,5), ƒ(-1). Сравнить найденные значения с нулем.

Записать множество значений х,при которых верно равенство ƒ(х) = 0.

Построить график функции y=-3x+7. Используя график: а) Сравнить с нулем значение y приx, принимающих значения -3; -1; 0; 2; 6.

б) Выяснить положительные или отрицательные значения будет принимать выражение -3x+7, если x[2,5;7);x[-8;1).

В одной и той же системе координат построить график функций y=x²иy=-x+2. Используя графики:

Сравнить соответственные значения выраженийx²и -x+2 при x, равном 0; -3; -1; 1; 4.

Найти те значения переменной x, при которых соответственные значения функции равны.

Найти те значения переменной x, при которых значение выражений x²больше (меньше) соответственных значения выражения -x+2.

Решить неравенство ƒ(x)>0 (или ƒ(x)<0) (см. рисунок).

Этапы графического решения неравенства:

Отметить на координатной плоскости точки, в которых выполняется равенство ƒ(x)=0.

Найти координаты этих точек.

Выделить на чертеже части графика функции ƒ(x), которые соответствуют положительным (отрицательным) значениям функции.

Выделить на чертеже множество абсцисс, которые соответствуют положительным (отрицательным) значениям функции.

Записать полученное множество абсцисс в виде числового промежутка или их объединения.

Пользуясь графиком, назовите те значения x, при которых функция y=ax²+bx+c принимает: а) значения, равные нулю; б) положительные значения; в) отрицательные значения.

Назовите промежутки постоянства функции y=ax²+bx+c, если график расположен указанным образом

На следующем рисунке изображены графики функций y=ax²+bx+c.

Определите знаки коэффициента а и дискриминанта;

Назовите значения переменной x, при которых функция:

-принимает значения равные нулю, больше нуля, меньше нуля;

-возрастает, убывает;

-принимает наибольшее или наименьшее значение.

Далее, предлагаю учащимся выполнить графический диктант на 10 минут. При этом один ученик работает на закрытом крыле доски для оперативного контроля и проверки.

Делаем три заготовки системы координат.

Задание 1: изобразить схематично параболы в системе координат, предварительно проведя мысленно анализ зависимости положения параболы от а, с, D.

а) а>0, c<0,D>0

б)a<0,c<0,D<0

в) а<0, c=0,D=0

Задание 2: по графикам определить параметры а, с, D.

(Ответы: a) a<0, D>0, c>0; б) a>0, D<0, c>0; в) a>0, D=0, c>0.) Далее идет проверка правильности выполнения заданий.

После такого графического диктанта несложно ввести алгоритм решения квадратного неравенства, который записывается в тетрадь, при этом задача о решении неравенства, например, x²-5x-6<0 может быть переформулирована в задачу о нахождении промежутков, на которых функция y=x²-5x-6 принимает отрицательные значения. Данная задача легко решается с помощью эскиза графика. Отсюда вытекает один из основных способов решения квадратных неравенств, использующих эскиз графика. При решении квадратных неравенств анализируют расположение параболы относительно оси абсцисс и в зависимости от знаков коэффициента а и и дискриминанта рассматривают разные решения квадратного неравенства.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/127394-metodicheskaja-razrabotka-po-matematike-prope