Метод рационализации для решения неравенств при подготовке к ЕГЭ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Борисоглебская средняя общеобразовательная школа № 2

Методическая разработка.

«Метод декомпозиции. Метод рационализации»

п. Борисоглебский, 2015

Содержание
1. Вступление
2. Решение логарифмических неравенств
а) Традиционный метод
б) Метод рационализации
3. Решение методом рационализации логарифмических неравенств, содержащих произведение
4. Решение методом рационализации неравенств, содержащих корни
5. Задания для самостоятельного решения
6. Справочные материалы
7. Заключение

8. Литература

Вступление

Чтобы получить на экзамене больше баллов необходимо решать хорошо задания, особенно из второй части. Особенное внимание я уделяю последнее время заданию №17. Это решение различных уравнений и неравенств и их систем. Данные задания требуют достаточно большого количества времени.

Цель:
научиться решать трудные задания наиболее оптимальными способами

Задачи:
- Упростить решений логарифмических неравенств
- Познакомится с новым методом решения логарифмических неравенств
- Обосновать применение метода рационализации теорией
- Научиться применять метод при решении логарифмических неравенств

Рассмотрим решение одного из логарифмических неравенств и решим его традиционным способом , т.е. решим логарифмическое неравенство, содржащее переменную в основании через рассмотрение двух случаев, в зависимости от основания.

1.Решение логарифмических неравенств.
а) Традиционным методом
Пример 1.

Решение данного неравенства достаточно трудоемкое, требующее рассмотрения двух случаев. Возникла идея, а нет ли кроме традиционного метода решений неравенств, других методов. И я натолкнулась на метод рационализации, его ещё называют метод разложения на множители или метод декомпозиции.
Этот метод очень эффективен для решения неравенств. Он позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд "стандартных задач".

б) Решение логарифмических неравенств методом рационализации
Основная идея метода.

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

Где символ "" обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:.

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни.

Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.

Утверждение 1. Функция  есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть, (означает знакосовпадение)

Утверждение 2. Функция  есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть 

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то есть.

Попробуем обосновать на более «простом языке»

на одз! (а-1)(b-с)<0
1)Если а > 1, то b < c , т.к. функция возрастающая
Преобразуем:
а-1 > 0
b-c < 0, тогда их произведение будет меньше нуля
(а-1)(b-c) < 0
т.е. неравенство log_ab<log_ac
имеет те же знаки что и неравенство (а-1)(b-с)<0
2) Если а < 1, то b > c
Преобразуем:
а-1 < 0
b-c > 0, тогда
(a-1)(b-c) < 0
т.е. неравенство log_ab<log_ac
имеет те же знаки что и неравенство (а-1)(b-1)<0
То есть сложное неравенство log_ab<log_ac можно заменить более простым

(а-1)(b-1)<0 которое можно решить методом интервалов.

log_ab<log_ac (а-1)(b-1)<0

Решу это же неравенство методом рационализации

Можно заметить, что этот способ более простой, и удобный.

Попробую применить его к другим примерам.

2 Пример:

Решить неравенство:

По свойствам логарифмов заменим 1

1 случай (основание больше единицы, т.е. логарифмическакя функция возрастает)
Если, то

Не подходит под ОДЗ, система не имеет решения на ОДЗ
2 случай (основание меньше единицы, т.е. логарифмическакя функция убывает)
Если

Применю для решения метод рационализации

По свойствам логарифмов заменим 1

Пример 3.
Решить неравенство:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/140243-metod-racionalizacii-dlja-reshenija-neravenst