Образовательная программа элективного курса по алгебре и началам анализа в 10 классе «Элементарные функции и их свойства»

Ф.И.О. автора: Савинова Елена Михайловна.

Должность: учитель математики.

Наименование образовательного учреждения:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа

с. Преполовенка муниципального района Безенчукский

Самарской области

Город: Самарская область муниципальный район Безенчукский с.Преполовенка

Название материала:

Образовательная программа

элективного курса

по алгебре и началам анализа в 10 классе

«Элементарные функции и их свойства»

«Элементарные функции их свойства»

Пояснительная записка.

Математическое образование занимает одно из ведущих мест, что определяется практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Одним из основных понятий, изучаемых в школе, является понятие функции и функциональной зависимости.

Предлагаемый курс посвящен систематическомуизложению этих понятий, рассмотрению наиболее важных функций и их свойств. Он ориентирован на учащихся, перешедших в 10-11 классы. В отличие от стандартных методов исследования функций, основанных на использовании производной, учащиеся познакомятся с элементарными методами и их применением к изучению как достаточно простых, так и весьма сложных функций.

После изучения курса слушатели:

должны знать основные элементарные функции и их графики, такие понятия как монотонность, четность – нечетность, разрывность, уход на бесконечность,

должны уметь использовать элементарные методы преобразования графиков функций, основанные на сдвиге, симметрии, сжатии-растяжении.

Решение задач будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

Цели курса.

Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщённых умственных умений.

Задачи курса.

Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

Выделять логические приёмы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

Тематическое планирование

элективного курса

по алгебре и началам анализа в 10 классе

«Элементарные функции их свойства».

Текст пособия

Функции: определения и способы задания

Пусть даны два числовых множества Х и Y.

Если каждому элементу из множества Х поставлен в соответствие один элемент из множества Y, то говорят, что задана функция.

Закон, по которому элементу из множества Х ставится в соответствие элемент из множества Y, называется функцией.

При этом множество Х называется областью определения функции.

Множество всех значений, которые принимает функция, называется областью значений.

Обычно тот факт, что задана функция обозначается:

Следует заметить, что в определение функции участвуют два понятия, соответствие (или закон) и область определения функции.

Способы задания

Наиболее естественный способ задания функции (задание закона, соответствия) является описание функции на естественном языке.

Например. Числу поставлен в соответствие его квадрат.

Такой способ описания функции называется словесным.

Достаточно часто для сокращения записи определения функции используют символы и обозначения математических операций.

Такой способ называется аналитическим.

Например,у = х².

Если множество Х содержит конечное числоэлементов,то можно расположить в таблице соответствующие значения

Такой способ представления функции называется табличным.

Если функция у = f(х) задана на множестве X, то каждомузначениюх соответствует значение у. Каждую пару х и у будем рассматривать какабсциссуиординату точки М в некоторой прямоугольной системе координат.

(Геометрическое множество таких точек называется графиком функции).

Такой способ называется графическим.

Простейшая классификация функций

Определение. Множество Х называется симметричным относительно точки О (ноль), еслииз условия следует, что .

Определение. Функция у = f(x) называется четной, если ее область определения симметрична и выполняется равенство

Из симметричности области определения и из того, что наряду с точкой (х,у)графику функции принадлежит точка (-x,y), следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например,у = х² функция четная, так как

а область определения R (множество всех действительных чисел) симметричное.

Определение. Функция y=f(x) называется нечетной, если область ее определения симметрична и выполняется равенство

д ля всех х из области определения.

Из симметричности области определения и из того, что вместе с точкой (х,у) графику функции принадлежит точка(-х,-у), следует, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (т.е. не изменяется при вращении его относительно начала координат на 180°.

Пример,у = х³. Функция нечетная, так как

и область определения R симметричная.

Большинство функций не являются четными или нечетными.

Но любая функция, заданная на симметричном множестве, представима в виде суммы четной и нечетной функций.

Действительно,

Периодические функции

Определение. Функция у = f(x) называется периодической, если существует число такое, что для каждого значения аргумента х из области ее значения имеет место равенство

ЧислоТ называют периодом функции.

Из определения следует, что числа (k = 0,±1,±2,...) также являются периодами.

Наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом.

Замечание 1. Если Т - основной период функции у = f(х), то число является основным периодом функции

Замечание 2. Если и основные периоды функций и ( и целые числа).

то наименьшее общее кратное также является периодом (не обязательно основным).

График периодической функции с основным периодом Т достаточно построить на любом отрезке длины Т, а затем сдвигать эту кривую вправо и влево на отрезки Т,2T,....

Ограниченность функции

Определение. Функция у = f(х) называется ограниченной сверху в области своего задания X, если существует такое положительное число М, что для всех выполняется неравенство

Пример. Функция у = - х² ограничена сверху, так как для всех ,то есть 0 = М.

Определение. Функция у = f(x) называется ограниченнойснизу, если существует такое число М, что для всех х из области определения функции выполняется неравенство

Например,у = х² ограничена снизу, так как для всех .

Определение. Функция ограничена, если она ограничена и сверху, и снизу.

Например,у = sin х ограничена, так как

Монотонность функции

Определение. Функция у = f(х) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значенийх из этого промежутка следует, что

Определение. Функция у = f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значенийхиз этого промежутка следует, что

Возрастающие и убывающие функции обычно называют монотонными.

Задачи

1. Заданы функции, определить являются ли они четными, нечетными, периодическими, возрастающими, убывающими.

а) у = х² +2; д) у = {+ х} - дробная часть числа х; б) е)

в) ж) г)у = [х]- целая часть числа х; з)

Обзор некоторых элементарных функций и их графики

В данной части нас будут интересовать некоторые элементарные функции иихграфики.

Мы будем акцентировать внимание на следующем:

- область определения и значения функции;

- четность, нечетность функции;

- периодичность;

- монотонность;

- ограниченность;

- точки пересечения с осями координат;

- график функции.

Линейная функция y = kx + b.

la. Рассмотрим вначале частный случай функций y = kx + b при b = 0.

Функция определена при всех

Областью значения является множество R (так как уравнение kx = c имеет решение при всех с).

Функция является нечетной, f(—x) = - kx = - f(x).

Функция не является периодической, так как k(x+T) = kx => kx + kT = kx => кТ= 0 => Т = 0.

Функция не ограничена.

Функция монотонная (при к > 0 возрастающая, k < 0 убывающая).

Е
слиу = 0, то х = 0.

1 б. Рассмотрим частный случай функции y = kx + b при k = 0.

у = b.

Эта функция определена при всех

Областью значения является одна точка b.

Функция четная.

Функция периодическая (периодом является любое число, основного периода нет).

Функция ограничена.

Ф
ункция постоянная.

1 в. Функция y = kx + b.

Функция y = kx + b является суммой двух функций y = kx и у = b. Следовательно область определения R (множество действительных чисел).

Область значения R.

Функция общего вида при

Функция не является периодической.

Функция не ограничена.

Функция монотонна (k > 0 возрастающая, k < 0 убывающая).

Г
рафик функции получается из графика функцииy = kx сдвигом по оси ординат на величину b.

Дробно - линейная функция

а,b, с, d - постоянные, причем (иначе мы имели бы линейную функцию) и (иначе произошло бы сокращение и мы получили бы постоянную функцию).

la. В начале рассмотрим функцию

Функция определена всюду, кроме х = 0, то есть область определения интервалы.

Область значения также интервалы .

Функция нечетная, так как

Функция убывающая (при к > 0) и возрастающая (при k < 0) на интервалах .

Функция неограниченная.

Полученная кривая называется гиперболой.

1б. Общий случай

Полагая получаем

С ледовательно график функции легко получить из графика функции с помощью сдвига на - т вдоль оси Ох и на n единиц вдоль оси Оу.

Свойства функции получаемиз свойств функции

Квадратный трехчлен

(, иначе функция линейная).

1а. Квадратная функция у=ах².

Функция определена при всех х.

Область значения неотрицательныечисла (при a > 0) неположительные числа при а < 0.

- функция четная

- функция не является периодической

- функция ограничена снизу при а > 0, ограничена сверху при а < 0

- функция убывает на интервале ( ; 0) при a > 0

возрастает при a < 0

возрастает на интервале (0; ) при а > 0

убывает при а < 0.

1б. Общий случай .

Получим : Полагая получим

График данной функции получается из графика функции у = ах²

сдвигом на - т по оси Ох и сдвигом на п по оси Оу.

Степенная функция у = хⁿ.

1а. Рассмотрим случай n = 2k.

Функция определена на всей числовой оси.

Функция четная, так как

Функция не является периодической.

На интервале (- ; 0) функция убывает,на интервале (0; + ) функция возрастает.

Функция ограничена снизу.

1б. Случай n = 2k + 1, y = x^2к+1 .

Функция определена всюду.

Функция нечетная.

Функция не является периодической. Возрастает на всей числовой оси.

Функция не ограничена.

Преобразование графиков

Правило 1. График функции у = f(x- а)(у = f(x + а)) получается из графика функции у = f(x) сдвигом последнего вдоль оси Охна а единиц вправо (влево), а > 0.

Правило 2. График функции y = f(x)+b (у = f(x)-b) получается из графика функции у = f(x) сдвигом вдоль оси Oу на b единиц в
верх (вниз), b > 0.

Правило 3. График функции y = kf(x), где k > 0, получается из графика y = f(x)растягиванием последнего вдоль оси Оу с коэффициентами k.

Правило 4. График функции у = f(ax), где а > 0, получается из графика у = f(x) сжатием последнего вдоль оси Ох с коэффициентом, равным а.

Правило 5. График функции у = f(- х) получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением последнего относительно оси Oу.

Правило 6. График функции у = -f(x) получается из графика функции у = f(x)симметричным отображением последнего относительно оси Ox.

Правило 7. График функции y = f(|x|)совпадает с графиком функции f(x) в правой полуплоскости ( ),а в левой полуплоскости (х < 0) симметричен этой части графика относительно оси Оу .

Правило 8. График функции у = |f(х)| совпадает с графиком функции у = f(х) для тех участков оси Ох, где , и является симметричным отображением его относительно оси Ох для тех участков,

гдеf(x) < 0.

Обратная функция

Пусть на некотором множестве Х задана функцияу = f(x) и Y - область значения данной функции.

Возьмем некоторое число . Тогда найдется такое число (возможно не единственное), что Таким образом, каждому значениюпоставлено в соответствие число (возможно не единственное). Если такое число - единственное, то говорят, что задана функция х = g(y).

/Для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы функция у = f(x) осуществляла взаимно-однозначное соответствие между множествами Х и Y./

Графики функции у = f(х) и обратной для нее функции х = g(y) совпадают, только аргумент обратной функции рассматривается на оси Оу.

Но если, следуя нашим привычкам, аргумент обозначить буквой хи откладывать его на оси Ох, то есть вместо х = g(y) писать у = g(x), то график функции у = g(x) отличается от графика функции у = f(х).

Легко показать, что графики функции у = f(x) и обратной к ней функции

у = g(x)симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Заметим, что и свойства прямой, и обратной функций связаны между собой.

1. Область определения функции у = f(х)Х является областью значений функции .

Область значения функции у = f(x)Y является областью определения функции .

3. Если функция у =f(х) возрастает (убывает),то функция y = g(x) возрастает (убывает).

4. Если функция у = f(х) дифференцируема в точке , то функция у = g(x)дифференцируема в точке

Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция, ее свойства и график

Определение. Функция, определяемая равенством

,

где а - постоянное положительное число не равное единице.

Свойства показательной функции непосредственно вытекают из свойств степени.

1. Показательная функция определена на всей числовой оси, то есть на интервале.

2.a⁰ = 1, при любом основании.

3. При а > 1, а^x > 1 для х > 0 и а^x< 1 для х < 0.

4. При 0 < a < 1,а^x < 1 для х > 0 и а^x> 1 для х < 0.

5. Область изменения (значений) функции у = а^xявляется множествоположительных чисел, то есть интервал (0; ).

6. Функция монотонна

6.1. Если а > 1, тоа^xвозрастающая.

6.2. Если 0 <а < I,тоа^x убывающая.

7. Если а < b, то а^x < b^xпри х > 0иа^x < b^x при х < 0.

8. Производная функции у = а^x

Используя вышеперечисленные свойства, получаем график функции у = а^x.

Логарифмическая функция

Показательная функция монотонна на всей области определения, следовательно, она имеет обратную. Так как монотонная функция определяет взаимно - однозначное отображение.

Определение. Функция, обратная показательной функции у = а^x, называется логарифмической функцией и обозначается

у = log_ax.

Свойства логарифмической функции следуют из свойств показательной функции.

1. Областью определенияявляется множество положительных чисел, то есть (0; ).

2. Областью значений является множество действительных чисел, то есть

(-;+).

3. log_a 1 = 0 при любом a.

4. Функция log_ax монотонна.

4.1. При а > 1 функция возрастает.

4.2. При 0 < а < 1 функция убывает.

5. Если а > 1, то log_a х > О при х > 1 и log_a х < V при 0 < х < 1.

6. Если а < 1, то log_a х < 0 при х > 1 и log_a х > 0 при 0 < х <1.

7. Производная функции у = log_a х

8. График функции

Исследование функций с помощью производной

Находим производную функции у = f(х)и определяемте точки, в которых производная равна нулю или не существует.

/Эти точки называют «подозрительными» на экстремум/.

2. Полученными точками разбивают область определения функции на интервалы, где производная имеет постоянный знак.

3. Если в интервале производная меньше нуля, то функция убивает наэтом интервале.

4. Если производная больше, то функция убывает на этом интервале.

5. Если при переходе точки «подозрительной» на экстремумпроизводная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум.

6. Если при переходе точки «подозрительной» на экстремумпроизводная меняетзнак сминуса на плюс, то в данной точке функция имеет минимум.

7. Если производная знак не меняет, то экстремума в данной точке нет.

Пример исследования функции и построение ее графика

1. Область определения функции является множество действительных чисел.

2. Функция нечетная

3. Функция не является периодической. Предположим, что

следовательно

отсюда

Так как период не равен нулю (по определению) и не зависит от аргумента х, то у данной функции нет периода.

4. Функция ограничена, так как

5.у=0при х=0.

6.

Точких₁ = 1, х₂ = - 1 подозрительные на экстремум.

7. а) На (- ; - 1) у' < 0, следовательно, функция убывает.

б) На (-1; 1) у' > 0, следовательно, функция возрастает.

в) На (1; + ) у' < 0, следовательно, функция убывает.

8. а) При переходе через точку х = - 1, у' меняет знак с минуса на плюс, в точке х = - 1 минимум.

б) При переходе через точку х = 1, у' меняет знак с плюса на минус, следовательно, в точке х = 1 функция имеет максимум

9. График функции

Задачи

Задания по курсу «Функции и их графики»

Исследовать и построить графики следующих функций:

Определить некоторые свойства функций:

,

Найти периоды данной функции.

,

Определить точки разрыва функции.

.

Определить точки, в которых функция имеет производную.

III. Дан треугольник, требуется заштриховать данный треугольник непересекающимися отрезками ненулевой длины (стороны треугольника должны быть заштрихованы).

IV. Привести примеры функций, обладающих свойствами:

1. Периодическая и возрастающая.

2. Ограниченная и возрастающая.

3. Четная, периодическая, ограниченная.

4. Нечетная, ограниченная, периодическая.

5. Ограниченная снизу и возрастающая.

6. Имеющую производную во всех точках области определения.

7. Не имеющую производную в двух точках.

8. Имеющую производную только в одной точке.

Методические пособия:

«Алгебра и начала анализа 10-11 кл» А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамцев, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд. Издательство «Просвещение» 2007

«Алгебра и начала анализа 10-11 кл» А.Г. Мордкович. Издательство «Мнемозина».

«Алгебра и начала анализа 10-11 кл» Задачник. А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова и др. Издательство «Мнемозина» 2000г.

Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. Издательство «Просвещение» 2007 г.

Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. Л.О. Денищева, М.Б. Миндюк, Е.А. Седова. Издательский Дом «ГЕНЖЕР».

Задачи по алгебре и началам анализа. С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.Б. Денисов. Издательство «Просвещение» 1997 г.

Алгебра и начала анализа. Сборник заданий для подготовки к письменному экзамену по алгебре и началам анализа за курс средней школы. Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, В.К. Смирнова. Издательство «Дрофа».

Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.

В.С. Крамор. Издательство «Просвещение». 1990г.

Готовимся к ЕГЭ. Математика. Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко и др.

Издательство «Дрофа»2003г.

Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ. По ред. Г.Н. Яковлева. Издательство «Наука» 1981г.

Математика для подготовительных курсов техникумов. Г.И. Богатырёв, О.А. Боковнев. Издательство «Наука» 1988г.

Математика. Справочные материалы. В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.

Издательство «Просвещение» 1986 г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/142561-obrazovatelnaja-programma-jelektivnogo-kursa-