Центральные и вписанные углы в задачах ОГЭ

Пронина Наталья Петровна

МАНОУ «Гимназия №2» г.Мариинск

Учитель математики.

Центральные и вписанные углы в задачах ОГЭ.

Рассмотрим очередной тип задач  — на этот раз с окружностью. Многие ученики не любят их и считают сложными. И совершенно напрасно, поскольку такие задачи решаются элементарно, если знать некоторые теоремы. Или не решаются вообще, если их не знать.

Прежде чем говорить об основных свойствах, вспомним определение:

Определение

Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.

Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.

Итак, понятия вписанного и центрального угла неразрывно связаны с окружностью и хордами внутри нее. А теперь — основное утверждение:

Теорема

Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.

Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач B6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.

Задача [Материалы подготовки к ОГЭ]

Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

Решение

Пусть AB — рассматриваемая хорда, O — центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB — радиусы окружности. Получим:

Рассмотрим треугольник ABO. В нем AB = OA = OB — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO — равносторонний, и все углы в нем по 60°.

Пусть M — вершина вписанного угла. Поскольку углы O и M опираются на одну и ту жедугу AB, вписанный угол M в 2 раза меньше центрального угла O. Имеем:

M = O : 2 = 60 : 2 = 30

Ответ

30

Задача

Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение

Введем обозначения:

AB — хорда окружности;

Точка O — центр окружности, поэтому угол AOB — центральный;

Точка C — вершина вписанного угла ACB.

Поскольку мы ищем вписанный угол ACB, обозначим его ACB = x. Тогда центральныйугол AOB равен x + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:

AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 · x;
x = 36.

Вот мы и нашли вписанный угол AOB — он равен 36°.

Ответ

36

Окружность — это угол в 360°

Сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:

К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет360 : 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B6.

Задача

Точки A, B и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC.

Решение

Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x.На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x. В сумме эти дуги дают 360 градусов:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B. Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна 5x = 5 · 40 = 200 градусов.

Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC. Значит, угол ABC в 2 разаменьше AOC. Имеем:

ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100

Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC.

Ответ

100

Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника

Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи  без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений,

Теорема

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Что следует из этой теоремы?

Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы;

Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B6.

Задача :

В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°, а угол B — 60°. Найдитеугол ACD.

Решение:

Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC —равнобедренные.

В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны —. Поэтому искомый угол ACD = A.

Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходномутреугольнику ABC. Обозначим угол A = x. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Ответ

30

Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит,угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/148163-centralnye-i-vpisannye-ugly-v-zadachah-ogje