Обухова Ольга Викторовна

Методические рекомендации
к проведению уроков геометрии в 11 классе.

(из опыта работы)

Тема: «Объёмы тел вращения».

Обухова Ольга Викторовна

Учитель математики

МБОУ СОШ № 26

г. Мытищи Московской области

ТЕОРИЯ ОБЪЁМОВ

(часть 2)

Продолжу изложение теории объёмов в курсе геометрии 11 класса. В учебниках многих авторов формулы для вычисления объёмов цилиндра и конуса выводятся путём оценок объёмов цилиндра и конуса объёмами призм и пирамид. А вот формулы для вычисления объёма шара и его частей выводятся с применением интеграла. Учитывая то, что в курсе алгебры и начал анализа уже изучен интеграл и его применения, формулы для вычисления объёмов тел вращения я так же, как и формулы для вычисления объёмов многогранников в первой части, вывела с применением интеграла.

Общая формула для объёмов тел вращения.

Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам, с центрами на этой прямой.

> 0,

- функция от .

Каждая плоскость, перпендикулярная осиOX и пересекающая отрезок этой оси в точке , даёт в сечении с телом круг радиуса и площади .

Из формулы получаем

.

Объём цилиндра.

0 < ≤ H,H> 0

.

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объём конуса.

0< ≤ Н,Н > 0,

,

,

,

.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объём усечённого конуса.

0< ≤ Н,Н > 0,

,

,

,

, ,

,

,

.

Объём шара.

,

,

> 0,

Пределы интегрирования: –R ≤ ≤ R. Но учитывая свойства интеграла вычислим интеграл с пределами интегрирования: 0 < ≤ R.

.

Объём шарового сегмента.

Ш аровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

,

,

> 0,

R-H ≤ ≤ R.

R – радиус шара,

H – высота шарового сегмента.

Объём шарового сектора.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом: если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента; если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Объём шарового сектора получается сложением или вычитанием объёмов соответствующих сегмента и конуса.

или

Для объёма шарового сектора получается следующая формула:

,

где R – радиус шара,

H – высота соответствующего шарового сегмента.

Такое изложение вывода формул для вычисления объёмов тел вращения мне кажется более интересным для учащихся. Ведь в процессе вывода той или иной формулы учащиеся помогают выполнить мне преобразования, иногда выполняют их самостоятельно. А это значит, что они не просто машинально переписывают вывод формул, а решают поставленную перед ними проблему.

Хочу также отметить, что вывод формул для вычисления объёмов усечённого конуса и шарового сегмента целесообразно рассматривать в классах с хорошей математической подготовкой.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/2134-obuhova-olga-viktorovna