Элективный курс предпрофильной подготовки для учащихся 9-х классов «Кривые второго порядка» (17 часов)

Программа

элективного курса для предпрофильной подготовки

по математике, 9 класс

Автор: Иванова О. В., учитель математики

«Кривые второго порядка» (17 часов)

Пояснительная записка.

Элективный курс предпрофильной подготовки для учащихся 9-х

классов (2-е полугодие) посвящен важнейшей теме геометрии - кривым второго порядка.

Кривые второго порядка (парабола, гипербола, эллипс) интересная, имеющая огромное практическое применение, тема в планиметрии. В школьном курсе с параболой и гиперболой ребята знакомятся на уроках алгебры и рассматривают эти линии как функции. В данном курсе вводится эллипс, а линии определяются как геометрическое место точек, что дает возможность рассмотреть геометрические и оптические свойства кривых, тем самым значительно расширить спектр задач, а, самое важное, рассмотреть их практическое приложение.

Курс дополняет и расширяет базовую программу, не нарушая ее целостности. Все задачи, свойства, доказательства, входящие в элективный курс развивают творческие способности и логическое мышление учащихся. При умелой роли учителя школьники могут самостоятельно сформулировать новые для них свойства и даже доказать их. Новые закономерности будут располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Давая возможность ребятам осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, без которой немыслимо творчество.

При проведении занятий ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. В задачах на построение кривых второго порядка рассматривается новый метод построения (без вычислений и таблиц), опирающийся на геометрические свойства, с использованием циркуля и линейки.

Тематический план

Содержание курса

Кривые второго порядка (2 часа)

Коническая поверхность, кривые второго порядка как сечение конической поверхности плоскостью, определение параболы, эллипса, гиперболы, построение кривых второго порядка.

Парабола (6 часов)

Построение параболы, используя подобие треугольников, Уравнение параболы, вывод. Определение касательной, вывод уравнения касательной к параболе. Решение практических задач. Семейство парабол, огибающая семейства, различное положение параболы относительно оси абсцисс.

Оптическое свойство параболы

Эллипс (4 часа)

Уравнение эллипса, вывод. Касательная к эллипсу, оптическое свойство эллипса. Сжатие плоскости, свойства сжатия. Площадь эллипса

Гипербола ( 4 часа)

Уравнение гиперболы, вывод. Уравнение касательной к гиперболе.

Интересные свойства гиперболы, оптическое свойство гиперболы, гипербола и ряд Фибоначчи.

Заключительное занятие (1 час)

Общее уравнение кривых второго порядка, кривые второго порядка и элементарная геометрия. Из истории кривых второго порядка.

Литература по методике преподавания курса.

Е. Д Куланин М. Е.Степанов. Геометрия Учебное пособие. Москва ИНОС 2002.

Б П. Лаптев. Н. И. Лобачевский и его геометрия. Просвещение 2000.

Математический энциклопедический словарь. Москва «Советская энциклопедия» 1988.

Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1991.

Кривые второго порядка (2 часа)

Цель:

Познакомить с конической поверхностью.

Дать определение кривым второго порядка, как сечение конической поверхности плоскостью.

Научить построению кривых второго порядка

И зучением кривых второго порядка занимались еще древние греки. Они рассматривали эти кривые как сечения конической поверхности плоскостью, поэтому кривые второго порядка часто называют коническими сечениями. При этом эллипс получается в том случае, когда плоскость пересекает лишь одну полость конической поверхности; парабола - когда плоскость параллельна образующей конической поверхности; и гипербола - когда плоскость пересекает обе полости конической поверхности.

Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой l (директрисы).

Обозначим расстояние от точки Fдо прямой 1 через 2d и введем систему координат так, чтобы ось ординат совпала с прямой, перпендикулярной 1 и проходящей через точку F, а ось абсцисс - с прямой, параллельной 1 и равноудаленной от 1 и точки Р

Построим множество точек, удовлетворяющих данному условию.

Воспользуемся известными ранее знаниями.

В ыберем точку K на прямой l

Проведем перпендикуляр h через точку K к прямой l

Найдем середину отрезка KF

Через середину проведем перпендикуляр k к KF

Пересечение перпендикуляровh и k как раз будет искомая точка параболы.

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная и большая чем расстояние между фокусами

Обозначим расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов - через 2а.

Введем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка , Фокусы в этой системе координат имеют координаты (-с; 0) и (с; 0).

Точка М(х; у) принадлежит эллипсу, а M +M =2a.

Построим эллипс, учитывая его свойства. Зафиксируем и для определенности возьмем а=4, а с=2

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами .

Обозначим абсолютную величину разности расстояний от точки, лежащей на гиперболе, до ее фокусов через 2а, а расстояние между фокусами через 2с. Заметим, что из определения гиперболы следует, что2а < 2с, откуда а < с.

Введем прямоугольную систему координат. Тогда, если точкаМ (х; у) лежит на гиперболе, то ,

Построим гиперболу в прямоугольной системе координат. Для определенности возьмем с = 3, а = 2

Прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы при удалении их в бесконечность, называются асимптотами. Греческое слово асимптота в переводе означает несливающийся, несовпадающий. Слово асимптота как научный термин впервые ввел великий древнегреческий геометр Аполлоний из Перги (260—170 гг. до н.э.). То, что ветви гиперболы бесконечно приближаются к своим асимптотам, но никогда не достигают их, дало повод испанскому философу Мигелю де Унамуно сравнить гиперболу с трагическим существом: « Я уверен, что если быт геометр сознавал безнадежное и отчаянное стремление гиперболы соединиться со своими асимптотами, то он охарактеризовал бы гиперболу как живое и трагическое существо».

Гипербола, асимптоты, которой взаимно перпендикулярны, называется равносторонней. В частности, равносторонней является обычная «школьная гипербола»

У этой гиперболы за оси координат приняты ее асимптоты.

Практическое задание.

1. Построить параболу в прямоугольной системе координат, если известно, что один из фокусов имеет координаты F (0:2), а директриса задана уравнением y = -2.

2. Построить эллипс в прямоугольной системе координат по точке

М (0.3) и одному из фокусов F(3,0).

3. Построить гиперболу в прямоугольной системе координат, если известно что расстояние между фокусами равно 4, а точка, принадлежащая одной из ветвей гиперболы имеет координаты (-1,0).

Построение параболы, используя подобие треугольников (1час)

Уравнение параболы имеет вид у = ах². В алгебре начинают изучать кривые, представляющие собой графики функций, следующим образом. В таблице задают значения независимой переменной х, по ним вычисляют значения переменнойу и по точкам строят график. Мы используем геометрические способы исследования парабол. В этом нам поможет следующая простая теорема.

Теорема.

П усть два прямоугольных треугольника

АСВи подобны.

Кроме того, пусть АС =,

а ВС ==

Тогда = ах^2..

Доказательство:

Из подобия треугольников следует, что АС : ВС = или

Из пропорции следует, что:

и , наконец, требуемое равенство:

Этой простой теоремой можно весьма успешно пользоваться. Вся хитрость заключается в том, чтобы правильно расположить треугольникиАСВ и , относительно друг друга и системы координат. Но прежде чем приступить к этому, отметим, что, согласно традиции, буква а обозначает постоянную величину, а х - переменную. И действительно, в дальнейшем катет АС будет иметь постоянную длину, а остальные катеты - переменную. Используя теорему, мы сможем построить любую точку параболы без вычислений и таблиц, для этого зафиксируем на координатной плоскости точку P (0;). Затем, выбрав произвольное значениех, зададим точки Q (x2; 0) и X (х;0).

Первый треугольник POQуже начерчен, далее через точку X проведем вертикальную прямую, а через точку Q до пересечения с этой вертикалью в точкеТ прямую QT, перпендикулярную к прямой PQ. Прямоугольные треугольники POQи QXTподобны, поскольку PQO = QTXкак углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Построить параболу, которая имеет фокус F (0,1) и записать формулу параболы.

Уравнение параболы (1час).

Выведем уравнение параболы в прямоугольной системе координат.

Пусть точка Рс координатами(х; у) принадлежит параболе

и К - основание

перпендикуляра, опущенного из Рна прямуюl.

Тогда РР= РК и, поскольку точка Р имеет координаты (0;d),а точка К (х; -d),по формуле расстояния между двумя точками получаем:

Так как обе части этого уравнения неотрицательны, то после возведения их в квадрат перейдем к равносильному уравнению:

Таким образом, все точки с координатами, удовлетворяющими уравнению, принадлежат параболе. Если же точка не принадлежит параболе, то ее координаты

не удовлетворяют уравнению. Уравнение у = является уравнением

п
араболы в указанной системе координат. Как известно из курса алгебры, график функции у = ах² {а > 0). называется параболой.

Как мы показали, уравнение у = также задает параболу, поэтому = а, откудаd = Таким образом, фокус параболы у= ах² (а > 0), имеет координаты (0;), а уравнение у= - задает директрису этой параболы, т.е. график функции у = ах² (а > 0) является параболой и в смысле данного нами определения - как геометрическое место точек, равноудаленных от точкиF(0;) и прямой у= - . В самом деле, достаточно показать, что PF² = РК²,где К - основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую у= - .

Т еперь осталось только подставить найденное значение kв уравнение (3):

Уравнение и является уравнением касательной к параболе

у= ах²(а>0), в точке М(х₀.;).Найдем координаты точки пересечениякасательной с осью Ох:

Полученный результат означает, что касательная к параболе делит отрезок O

пополам. Из равенства прямоугольных треугольников KON,NM сразу же следует, что KN = NM, т.е. отрезок касательной к параболе от точки касания до точки пересечения с осью Оу делится осью Ох пополам.

Опираясь на равенство ON=N, легко построить касательную к параболеу =ах² (а > 0). в точке М(х₀.;) при помощи циркуля и линейки. В самом деле,

опустим из точки Мперпендикуляр М на ось Ох и разделим отрезок О пополам. Проведя через середину N и точку М прямую, получим касательную MN к параболе.

Практическое задание.

1.Построить параболу у = х²и провести касательные в точках А (2,4); В(-2,4):

2.Составьте уравнение касательной к параболе у = х²в точке М (2; 4). (у=4х-4)

3.Из точки М (4;6) проведены к параболе у =0,5х²две касательные.

Напишите уравнения этих касательных и найдите координаты точек касания.

Решение.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку М(4; 6) в виде у - 6 = k(х - 4), или у = k(х - 4) + 6. Если эта прямая пересекается с параболой у =0,5х² , то

0,5х²=k(х - 4) + 6, откуда х^{2 -}2kх + 8k- 12 = 0 (1). Полученноеквадратное уравнение должно иметь единственный корень, поскольку касательная имеет с параболой единственную общую точку. Поэтому дискриминант уравнения (1) равен нулю:

D = к²- (8k- 12) = к²– 8k+12 = 0, откуда =2,=6Подставив найденные значенияk в уравнение у=k(х - 4) + 6, получим уравнения касательных: у = 2х- 2 и у = 6х - 18. Уравнение касательной к параболе у = ах²в точке(х₀.;)имеет

следующий вид: . В нашем случае а= 0,5, поэтому

. Сравнивая это уравнение с уравнениями касательных, заключаем, что х₀ = 2 либох₀ = 6.

4.Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы,
докажите, что середины параллельных хорд параболы у = ах²лежат на прямой,
параллельной оси ординат..

Решение.

Концы параллельных хорд параболы можно рассматривать как точки пересечения параболы у = ах²с параллельными прямыми у =kx+b, где число kфиксировано, а число bменяется. Тогда абсциссы х₁ х₂точек пересечения параболы у = ах²с прямой у= kх+ bявляются корнями уравнения ах²=kх+b или ax²-kx - b = 0 Абсцисса середины отрезка, концы которого имеют абсциссы х₁ х₂, равна_,

но по теореме Виетапоэтому _,где k постоянно. Итак, абсциссы середин параллельных хорд постоянны и равны _. А это и означает, что середины этих параллельных хордлежат на прямой х=_, параллельной оси ординат.

5.В данной прямоугольной системе координат нарисовали график функции

у = х² , а затем оси координат стерли. При помощи циркуля и линейки восстановите стертые оси координат.

Указание. Постройте две параллельные хорды параболы. Тогда из предыдущей задачи следует, что прямая, проходящая через середины этих хорд, параллельна осиординат, для построения оси ординат достаточно провести две параллельные хорды,перпендикулярные этой прямой, и найти их середины. Прямая, проходящая через эти середины, и будет осью ординат. Вершина параболы определится в результатепересечения построенной оси ординат с самой параболой.

Семейство парабол (1 час).

Мы уже достаточно хорошо представляем себе форму параболы. Она похожа на чашу с выпуклым дном. Нижняя точка этой чаши (или верхняя, если чашу перевернуть) называется вершиной параболы.

Все параболы вида у = ах²при любых значениях аимеют вершину в начале координат. Все они являются результатом сжатия ( при < 1) или растяжения (при >1) параболы: у =х². При а> 0 ветви параболы смотрят вверх, при а < 0 — вниз, при а = 0 парабола вырождается в прямую у= 0.

Если сместить вершину параболы в точку ,то она не изменит формы, но

будет описываться другим уравнением. Преобразование уравнения параболы состоит в том, что у - заменяется на (у-, а х - на (х -).В итоге мы приходим к уравнению:

Раскроем скобки и выразим у через х.В результате получим уравнение:

Для краткости принято обозначать:

Витоге получим уравнение параболы со сдвинутой относительно начала координатвершиной:

М ы видим, что в этом случае парабола является графиком квадратного трехчлена, теснейшим образом связанного с квадратными уравнениями:

треугольникаFMKи, значит, MNсовпадает с биссектрисой этого треугольника, т.е.,

FMN = NMK. что и требовалось доказать.

Оптическое свойство параболы применяется в параболических отражателях для

прожекторов и автомобильных фар.

Уравнение эллипса (1час)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек называемых фокусами, есть величина постоянная и

большая, чем расстояние между фокусами

Обозначим расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов - через 2а.Введем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка