Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств. Подготовка учащихся к ЕГЭ

Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств

1. МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ)

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М, что для любого х из области определения имеем . Тогда уравнение равносильно системе

Пример 1.1. Решите уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

При всех значениях хверны неравенства .

Следовательно, данное уравнение равносильно системе .

Полученная система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму уравнению.

Ответ:

Пример 1.2. Решить уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

Поскольку , равенство выполняется тогда и только тогда, когда.

Решением первого уравнения системы являются значения. При этих х найдем .

Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 1.3. Решить неравенство .

Решение.

Пусть , тогда неравенство примет вид .

Поскольку и , исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: - 1.

Пример 1.4. Решить уравнение .

Решение.

Поскольку при всех х, то данное уравнение равносильно совокупности систем

Решим первую систему:.

Тогда . Следовательно, система несовместна.

Решим вторую систему:.

Тогда . Следовательно, система несовместна.

Ответ:

Пример 1.5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х выражение поэтому .

При всех значения х выражения и . Поэтому .

Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4.

Получаем систему:

Ответ: при

Пример 1.6. Решить уравнение

Решение.

Так как при любых , то их сумма при любых, причем знак равенства будет, лишь, еслии одновременно.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе которая, как легко убедиться, решений не имеет.

Ответ: решений нет.

2. «ВСТРЕЧА НА КРАЮ»

Разновидностью метода мажорант являются задачи («встреча на краю») в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. 

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду: путем разложения на множители, избавлением от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо ещё раз внимательно прочитать задание, попробовать нарисовать графический образ функций входящих в задачу.

П ример 2.1. Решить уравнение .

Решение. Корень уравнения легко угадать – этоx = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея. Преобразуем уравнение:   . Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1. Выражение под логарифмом равно , при x  0; (напомним вывод этого известного неравенства: ). Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.

Пример 2.2. Решить уравнение .

1 способ.

Решение: Заметим, что левая часть уравнения не превосходит единицы, в то время как правая часть не меньше единицы. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ. Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики правой и левой частей уравнения, т.е график функции и график функции . Из рисунка видно, что исходное уравнение имеет решение, только при .

Ответ: .

Пример 2. 3. Решить уравнение .

Решение.

Так как при любом значении х:

то данное уравнение выполняется только в том случае, если выполняется система . Первое уравнение системы имеет единственный корень х = 1, но этот корень не удовлетворяет второму уравнению. Поэтому система решений не имеет.

Ответ: 

Пример 2. 4. Решить уравнение .

Решение:

Так как , то левая часть уравнения принимает значение от до 2. Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено .

Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия . Решая эту систему, получаем

Ответ:

Пример 2. 5. Решить уравнение .

Решение.

Так как и , то сумма равна 2 в том случае, когда и одновременно.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений , решая которые имеем .

Ответ: .

Пример 2. 6. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что ,,.

Перемножив почленно эти неравенства, получаем:

.

Левая часть равна правой, лишь при условии одновременно.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений , отсюда получаем корни уравнения.

Ответ: .

Пример 2.7. Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение.

Решение.

О
ценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат . Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, оно равно 4 и достигается при , то есть при .

Множество значений левой части неравенства составляет промежуток , следовательно, наибольшее значение равно 4.

Значит, неравенство выполняется в случае равенства обоих частей, и только в том случае если (то есть происходит «встреча на краю»).

Ответ:

Пример 2.8. Найдите все значения параметра а при которых уравнение

имеет решение.

Решение.

Оценим обе части уравнения.

Н
айдем множество значений левой части исходного уравнения: так как , то , тогда, следовательно, наименьшее значение равно 5.

В правой части данного уравнения – квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

Выделив, полный квадрат получаем: . Следовательно, наибольшее значение правой части равно 5 и достигается в вершине при , то есть при .

Итак, исходное уравнение имеет решение при .

Ответ: 5.

Пример 2.9. Решить уравнение .

Решение.

Левая часть уравнения не больше 2, так как , значит . Равенство возможно при условии .

Правая часть должна быть положительна, так как , а значит .

Кроме того, .

Тогда равенство обеих частей уравнения возможно лишь при условии .

Отсюда находим, что .

Ответ: .

Пример 2.10. Решите уравнение .

Решение.

Для решения уравнения оценим его части: и . Поэтому равенство возможно только при условии.

Сначала решим второе уравнение.

Получаем: ,,, или . Корни этого уравнения и .

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни.

При получаем: (верное равенство).

Для имеем: (неверное равенство).

Итак, данное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: 0.

Использованные источники

3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.; под ред. проф. Н.А. Бобылева. –М.: Айрис Рольф; 1997.

Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987.

Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Методические указания при подготовке. Тестовые задания: Учебно – методическое пособие / Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов, М.А. Попов. – М.: издательство «Экзамен», 2004, 2006, 2008

Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Варианты тестов. Министерство образования РФ. – М.: Центр тестирования Минобразования России, 2002. / Денищева Л.О. и др.

Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство: 2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/154475-primenenie-svojstv-funkcij-k-resheniju-uravne