Теоретический модуль на тему «Показательные уравнения и неравенства»

Показательная функция, ее свойства и график

Пример 1. Решить уравнение и неравенства:

Функция

С войства функции

1);

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вниз;

Т очно таким же свойством обладает любая функция вида , где.

Ф ункция

Свойства функции

1) ;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет наибольшего и наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вниз.

Рис.1

а) ; б) ; в) ;г) .

а ) Построив в одной системе координат графики функций и, замечаем, что они имеют общую точку (0;1).

Значит, уравнение имеет единственный корень . Итак, из уравнения : получили . Аналогично б) замечаем . Итак, из уравнения : получили .

в) график функции расположен выше графика функции при (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток

г) график функции расположен ниже графика функции при (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 2. Если, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда ; неравенство справедливо тогда и только тогда, когда . (рис 1)

Пример 2. Решить уравнения и неравенства: а) ; б) ; в); г)

а ) Построив в одной системе координат графики функций и, замечаем, что они имеют общую точку (0;1). Значит, уравнение имеет единственный корень . Итак, из уравнения : получили . Аналогично б) замечаем, что графики пересекаются в точке (-1;3), . Итак, из уравнения : получили . в) график функции расположен выше графика функции при (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток . г) график функции расположен ниже графика функции при (см. рис.). Значит, решением неравенстваслужит промежуток . Справедливы следующие теоремы: Теорема 3. Если, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 4. Если, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда ; неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Показательные уравнения и неравенства

Опр: показательным уравнением называют уравнения вида , где

а – положительное число, , и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Теорема 5. Показательное уравнение (где) равносильно уравнению .

Пример 3. Решить уравнения: а) =64; Представим 64 как , перепишем заданное уравнение в виде Это уравнение равносильно уравнению, откуда находим: .

б) ;Представив как, перепишем заданное уравнение в виде, тогда , откуда .

Выделяют основные методы решения показательных уравнений.

Функционально-графический

Метод уравнивания показателей (пример 3).

Метод введения новой переменной (пример 4)

Пример 4.Решить уравнение

Заметив, , а, перепишем заданное уравнение . Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид .

Находим корни . Решаем два уравнения , из первого получаем , второе уравнение не имеет корней. Ответ: 2.

Показательным неравенством называют неравенства вида , где

а – положительное число, , и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Для решения неравенства разделим обе части неравенства наполучим неравенство . Далее имеем: ,т.е. ,где .

Рассмотрим два случая:

Если, то неравенство имеет место тогда и только тогда, когда (см. теорему 2). Значит, , т.е. .

Если, то неравенство имеет место тогда и только тогда, когда (см. теорему 4). Значит, , т.е. .

Теорема 6. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла:

Если, то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:

Пример 5.Решить неравенства:

а) > 64;

Это неравенство равносильно неравенству того же смысла

, откуда находим: .

б) ;Представив как, перепишем заданное неравенство в виде, Здесь основание . Значит неравенство равносильно неравенству противоположного смысла, откуда .

в)

Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла . Найдем корни квадратного трехчленаx₁=2, x₂=4. Решаем неравенство методом интервалов. Находим: