Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме: «Показательная функция»

Воронина Лариса Юрьевна. МАОУ «Ламенская СОШ», п. Ламенский, Голышмановский район, Тюменская область. Учитель математики.

Модульная программа и разработка уроков

алгебры и начал анализа в 10 классе.

Тема. Показательная функция.

Тема. Показательная функция.

Цели и задачи модуля:

Интегрирующая цель: в процессе работы над учебными элементами вы должны:

Знать:

Определение показательной функции.

Свойства и график показательной функции.

Способы решения систем уравнений (способ подстановки, графический способ, способ замены переменных).

Уметь:

Применять свойства степеней к решению показательных уравнений.

Использовать свойства монотонности показательной функции в решении показательных неравенств.

Читать графики показательной функции (иллюстрация свойств функции по графику).

Систематизировать полученные знания, отработать навыки:

Построения графиков показательной функции;

Решения показательных уравнений и неравенств, опираясь на свойства степени, на свойства показательной функции;

Решения систем, содержащих одно или два показательных уравнения.

УЭ – 1.

Свойства показательной функции и её график.

Цель: формирование понятия показательной функции (формула);

трёх основных свойств показательной функции;

умение строить график показательной функции.

?: Что называется функцией?

Определение:Функция вида называется

показательной функцией.

Свойства: 1. D(y): R

2. E (y): R₊

3. a > 1, y = a^x – возрастает

4. 0 < a < 1, y = a^x – убывает.

График: проходит через точку (0;1), расположен выше оси абсцисс

1 1

a > 1 0 < a < 1

Обучающая самостоятельная работа

«Преобразование графиков»

Укажите, какой функции

а) у = х²; б) у = (х-2)²; в) у = х²-2; г) у = (х+2)² соответствует график:

А) Б) В) Г)

-22

-2

и объясните, почему?

Изобразите график функции: а) у = (х-2)²+1; б) у = -х²+2; в) у = - (х+1)²; г) у = 4 - (х-3)².

Ответьте на вопросы:

С помощью каких преобразований можно получить графики функций из основной у = х²

Существуют ли другие способы построения графиков?

Задание: Описать с помощью каких преобразований получается график функции y = f (x) из

графика функции y = g (x), если:

а) f (x) = х+3; g (x) = х;

б) f (x) = (х+5)²; g (x) = х²;

в) f (x) = ; g (x) =;

г) f (x) = ; g (x) = .

УЭ – 2

Цель: выработка умений сравнивать числа, используя свойства монотонности показательной

функции.

Алгоритм сравнения:

Если a > 1, то y = a^x – возрастает ( большему значению аргумента соответствует большее значение функции)

Пример:

Сравнить:и , т. к. и возрастает, то < .

2. Если 0 < a < 1, то y = a^x – убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее

значение функции)

Пример:

Сравнить: и , т. к. и убывает, то > .

Задание.

Используя алгоритм сравнения чисел, сравнить числа:

а) 1,7³ и 1,7⁵; б) и; в) 5 ^{- 0,5} и 5 ^-3,2.

Записать числа в порядке:

а) возрастания ; ; .

б) убывания

При каких положительных значенияха выполняется неравенство:

а); б) .

УЭ – 3

Показательные уравнения.

Знания и навыки:знать вид показательных уравнений, знать алгоритм решения показательных

уравнений, уметь их решать, пользуясь алгоритмом.

Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе

степени.

Ответьте на вопросы:

Запишите формулу правила вынесения общего множителя за скобки.

Перечислите основные свойства решения уравнения.

Перечислите этапы решения квадратных уравнений.

Почему уравнение не имеет смысла.

Задание:

Решите уравнения, применяя следующий алгоритм:

Если показательное уравнение сводится к виду а^х = а^в (1), где а > 0, а = 1, то оно имеет единственный корень х = в;

Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1), необходимо в левой части вынести за скобки общий множитель а^х, например а^х+1- а^х-1=в

а^х(а – 1/а)=в

или разделить обе части уравнения на выражение, не равное нулю, например: а^х = в^х

Некоторые показательные уравнения заменой а^х = tсводятся к квадратному уравнению. Надо помнить, что t>0, т. к. показательное уравнение не может принимать отрицательные значения.

Графическое решение уравнений сводится к построению графиков функций из левой и правой частей уравнения, отысканию по рисунку примерного значения абсциссы точки пересечения графиков.

а) 3^{х – 2} = 3; б) 3^х-2 + 3^х+1= 28; в) 4^х = 9^х; г) 9^х - 6 3^х – 27 = 0; д) 25 5^х = 1.

После выполнения задания ответить на вопрос

?: Как представить 1 в виде степени?

УЭ – 4.

Цель: систематизировать знания, умения и навыки решения показательных уравнений.

Выполнить следующее задание:

Тест.

1. Решите уравнение

а) х =3 б) х = -3 в) х = г) х = -

2. Решите уравнение

а) х = 3 б) х = 4 в) х = г) х = - 3

3. Решите уравнение

а) х = 0 б) х = 0 и х = 2 в) х = 2 г) х = 0 и х = 1

4. Решите уравнение

а) х = б) х = - в) х = 0 г) х =

После выполнения задания ответить на вопрос:

?: Какой способ применили при решении задания № 4 ?

УЭ – 5.

Показательные неравенства.

Цель: выработка умения решать показательные неравенства, применяя свойства монотонности

показательной функции.

Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе

степени.

Проанализировать алгоритм решения неравенств.

Решение показательного неравенства часто сводится к решению неравенства a^x> a^b ( a^x < a^b).Если a > 1, то y = a^x – возрастает и x > b ( x < b).

Если 0 < a < 1, то y = a^x – убывает и x < b (x > b).

Некоторые показательные неравенства заменой а^х = tсводятся к квадратным неравенствам, которые решают, учитывая, что t>0.

Графическое решение неравенства сводится к построению графиков из левой и правой частей неравенства. На интервале большие (меньшие) значения принимает та функция, график которой расположен выше (ниже) графика другой функции.

?: 1. Объясните почему при возрастании показательной функции знак неравенства не меняем, а при

убывании – знак неравенства меняем на противоположный.

В каком случае квадратное неравенство принимает положительные значения, в каком – отрицательные.

a^2x + a^x + k > 0 a^2x + a^x + k < 0

а^х = tа^х = t

t² + t + k > 0 t² + t + k < 0

t t

Задание. Используя алгоритм, решить неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

УЭ – 6 .

Цель:систематизировать ЗУН решения показательных неравенств.

Самостоятельно решить следующие задания:

1. Укажите наименьшее целое решение неравенства .

2. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

Тест.

Решите неравенство:

а) б) ; в) ; г)

2. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решите неравенство: , найдите целое число отрицательных решений неравенства

а) 1; б) 0; в) 5; г) 6.

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Решите неравенство:

а); б) ; в) ; г) .

6. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

УЭ – 7.

Цель:вспомнить способы решения систем уравнений (способ подстановки, способ замены

переменных) и применить эти способы к решению систем уравнений, содержащих одно или

несколько показательных уравнений.

? : Перечислите этапы решения систем уравнений способом подстановки на примере следующей

системы: х + у = 2;

х – 2у = 1.

Задание.

Решите систему уравнений способом подстановки:

а) х +у =2 г) 5^х – 5^у = 100

7^{х + 2у –1}= 1 5^{х – 1}+ 5^{у – 1}= 30

б) 2у – х + 4 = 0 д)

5^{х – у + 2} = 125

в) 2^{х + 5} = у

?: Каким способом решаются системы уравнений г) и д) ? Прокомментировать решение системы д).

УЭ – 8.

Цель:систематизировать ЗУН по теме «Показательная функция».

Самостоятельная работа

1. Изобразить схематически график функции а) ; б)

2. Сравните числа: а) и б)и

3. Решите уравнение: а) б)

4. Решите неравенство: а) б)

5 . Решить систему уравнений: а)

УЭ – 9.

Итоговый.

Цель:

проверить знания, умения и навыки, полученные при изучении темы «Показательная функция».

Применяя определение показательной функции, свойства показательной функции и умение строить график показательной функции, алгоритмы решения показательных уравнений и неравенств решить

Контрольную работу

Изобразите схематически график функции у = 0,5^хи опишите по графику её свойства.

Сравните числа: а) и ; б) и .

Решите уравнение: а) ; б) .

Решите неравенство: а) ; б) .

Р ешите систему неравенств:

Решите графически уравнение: .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/165755-urok-algebry-i-nachala-analiza-v-10-klasse-po