Готовимся к олимпиаде по математике 7 класс

Готовимся к олимпиаде по математике 7 класс.

Задача №1

В школьной математической олимпиаде принимали участие 9 учеников шестого класса. За каждую решённую задачу ученик получил 2 очка, а за каждую нерешённую с него списывалось 1 очко. Всего было предложено 10 задач. Докажите, что среди учеников олимпиады из шестого класса было по крайней мере два ученика, набравших одинаковое число очков. ( Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем зачётных, набрал ноль очков).

Решение: За 10 задач-20 очков; за 9 задач-17 очков; за 8 задач-14 очков; за 7 задач-11 очков; за 6 задач -8очков; за 5 задач -5 очков; за 4 задачи- 2 очка; за 3 задачи- 0 очков; за 2 задачи- 0 очков; за 1 задачу- 0 очков.

Количество очков может быть: 0,2,5,8,11,17,20 ( 8 возможных случаев), а учеников- 9, значит, по крайней мере 2 ученика наберут одинаковое количество учеников.

Задача №2

Перед соревнованием по плаванию каждого из 4-х участников А,Б,В,Г спросили, на какое место он рассчитывает.

А - сказал: « Я буду первым», Б - сказал: «Я не буду последним». В - сказал: «Я не буду ни первым, ни последним», Г - сказал: «Я буду последним».

После заплыва оказалось, что только один ошибочно предсказал результат. Кто из пловцов ошибся?

Решение:

Допустим, что ошибся А, тогда А- второй ( или третий)

Б - первый. Все остальные утверждения верны.

В – третий или второй.

Г – четвёртый.

Если ошибся Б,

А – первый

Б – четвёртый

В – второй или третий

Г – третий или второй – тоже ошибся, чего не может быть.

Если ошибся В: А- первым не может быть

В – первым или четвёртым не может быть

Г – четвёртым не может быть.

Если ошибся Г: А, Б, В - то же

Г-первый, второй или третий.

Если Г первый, то А не может быть первым, если Г- второй или третий, то кто-то из А, Б, В будет последним, чего не может быть.

Ответ: Ошибся А .

Задача №3.

Докажите, что любую сумму, большую 7 копеек, можно уплатить 3-х копеечными или 5-ти копеечными монетами, не получая сдачи.

Решение:

8к=5к+3к; 9к=3к*3; 10к=5к*2; 11к=5к+3к*2; 12к=3к*4; 13к=5к*2+3к; 14к=5к+3к*3; 15к=5к*3;16к=5к*2+3к*2; 17к=5к+3к*4.

Все остальные суммы получаются из одной из указанных сумм прибавлением чётного количества 5-ти копеечных монет.

Например: 35к=20к+15к=5к*3+5к*4

49к=9к+40к=3к*3+5к*8

18к=10к+8к=(5к+3к)+5к*2

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/167054-gotovimsja-k-olimpiade-po-matematike-7-klass