Открытый урок «Элементы комбинаторики»

Этапы урока

Содержание учебного материала

Формирование УУД

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

1.Организационный этап. Слайд 1.

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции.

Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

«Число, положение и комбинация -

три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи»

Английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897)

Обучающиеся настраиваются на урок, приветствуют гостей и друг друга, быстрое включение в деловой ритм, уста­новка внимания всей группы.

Установление обучающимися связи между учебной деятельностью и ее мотивом.

2.Актуализация знаний, умений и навыков.

Сайды 2-9.

Прежде чем перейти к изучению нового материала, проведем небольшую разминку по ранее изученному материалу.

Что называется соединениями?

Группы, составленные из каких-либо элементов.

Дайте определение факториала числа.

Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком.

Факториал 0 и 1 равен единице.

Вычислите факториалы следующих чисел.

3! =6 5! = 120 6! = 720 7! = 5040

Вычислите значения выражений.

5!+6! = 120+720=840

15!/ (13!(15-13)!) = 15*7=105

Как Вы думаете, для чего мы повторили данные понятия?

Обучающиеся работают самостоятельно.

Коррекция знаний обучающихся

3.Этап подготовки студентов к активному и созна­тельному усвоению нового материала

Слайд 10-13.

Настроить на позитив.

Математику, физику и психологу задают одну и ту же задачу:

"Монету бросили 100 раз, и все 100 раз выпала решка.

 Что выпадет в 101-ый раз?"  

 Математик: "С вероятностью 1/2 выпадет орёл"

Физик: "Эксперимент показал, что должна выпасть решка"

Психолог: "Выпадет орёл".

Математик с физиком: "Но почему?"

-Ну, как же, всё решка да решка! Орлу ведь тоже хочется!

Сейчас я предлагаю Вам решить задачу.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Как называются задачи такого типа?

Задачи такого типа называются комбинаторными задачами.

Как называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций?

Комбинаторика.

Как Вы думаете, какова тема нашего занятия?

Какую цель можно поставить? (знакомство с новой темой, применение на практике и в жизни человека)

Каковы задачи нашего занятия?

Студенты работают в парах. Предлагают способы решения данной задачи.

Студенты отвечают на вопросы преподавателя.

Формулируют тему урока «Основные понятия комбинаторики».

Раскрывают подробно, о чем пойдет речь на уроке.

Формулируют задачи на урок.

Самостоятельное выделение, анализ и формулирование познавательной цели и учебной задачи. Развитие умения формулировать тему и задачи урока. Прогнозирование результатов. Формирование умения прогнозировать свою работу.

4.Этап изучения и усвоения новых знаний.

Слайд 14-19

Вы сейчас предложили несколько способов решения выше указанной задачи. Но есть более простой способ решения данной задачи – это решение с использованием основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания). Давайте более подробно остановимся на каждом понятии.

1. Перестановки. Перестановками из n элементовназываются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n и вычисляется по формуле:

P_n = n!

Вернемся к нашей задаче. Нам известно, что туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

P_n = n! = 3! = 1*2*3=6 (способов)

Ответ: 6 способов.

Рассмотрим еще одну задачу.

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

2. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Количество сочетаний обозначается  и вычисляется по формуле

Вернемся к задаче.

Студенты записывают определения в формулу в тетрадь.

Студенты решают задачу с помощью формулы, записывают в тетрадь.

Студенты предлагают способы решения задачи.

Студенты записывают определения в формулу в тетрадь.

Студенты решают задачу с помощью формулы, записывают в тетрадь.

Обучение работе с источниками знаний:

- формирование умений решения простейших комбинаторных задач;

Выявление, идентификация проблемы Самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем поискового характера. Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.

Мы рассмотрели два основных понятия комбинаторики. Скажите, о каком понятии мы еще не говорили.

Размещения.

Совершенно верно – размещения.

3. Размещения. Размещениями изn элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле

Предлагаю Вам составить задачу на нахождения количества размещений.

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр  , причем так, чтобы цифры числа были различны? 
Искомое число чисел  .

Студенты решают задачу с помощью формулы, записывают в тетрадь.

Студенты пытаются составить задачу в парах.

5. Первичный контроль знаний.

Слайд 20-27

1) Решение простейших комбинаторных задач

2) Найти ошибки в решениях задач:

Студенты работают у доски, решают простейшие комбинаторные задачи.

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

 способами. 

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Проверьте, верно, ли решены задачи:

Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

С =

Ответ: 56. (верно)

Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

P₄=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)

А.

Умение применять полученные знания в конкретной ситуации.

Умение применять полученные знания в конкретной ситуации.

Контроль, самооценка.

3) Самостоятельная работа по вариантам.

Студенты работают самостоятельно по вариантам. Взаимопроверка.

1 вариант.

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4  

2 вариант.

В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента: 

=120

Умение применять полученные знания в конкретной ситуации.

6. Подведение итогов занятия

Подведем итоги нашего занятия. Обсуждение и выставление оценок за урок.

Вспоминают, что изучали на данном уроке.

Формирование умения строить речевые высказывания в соответствии с поставленными задачами урока.

7.Рефлексия

Слайд 28

Достиг ли ты своих целей? _____________________

Оцени степень усвоения: ________________________

Продолжи одно из предложений:

“Мне понятно…

“Я запомнил…

“Мне на уроке…

“Я думаю…

Высказывают свое мнение по уроку.

Формировать умение осуществлять познавательную и личностную рефлексию.

8.Домашнее задание

Слайд 29

Творческое. Составить сводную таблицу по изученному материалу.

Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Запись домашнего задания

Саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и преодоления препятствий.

9.Логическое завершение урока.

Слайд 30

Вы молодцы!

Каждый из вас «научился тому, что следует знать».

Спасибо за урок!

Психологический настрой на окончание урока

Формирование положительной мотивации, развитие коммуникативных умений