Решение алгебраических задач геометрическим способом

«Решение алгебраических задач геометрическими методами»

Учитель:

Александрова С.В.

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………….. 3-4

2. Основная часть………………………………………………………………... 5

1) Решение тригонометрических задач…………………………………….. 5

2) Решение систем уравнений……………………………………………….. 6

3) Решение текстовых задач на движение…………………………………. 7

4) Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ………………………………... 8-9

3. Заключение…………………………………………………………………….. 10

1) Заключение………………………………………………………………….. 10

2) Алгоритм решения алгебраических задач геометрическим способом 11

3) Преимущества решения задач геометрическим способом……………. 12

4) Выводы………………………………………………………………………. 13

4. Список литературы………………………………………………………….... 14

Введение

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения не­редко является результатом длительной и кропотливой работы. Уме­ние решать задачу различными способами является одним из призна­ков хорошей математической подготовки.

Существуют способы решения алгебраических задач методами, ос­нованными на наглядно-геометрических интерпретациях.

Необходимо сказать о том, что, например, алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно в геометрическом виде. Выра­жение вида √A вводится как сторона квадрата с площадью А, произве­дение ab — это площадь прямоугольника со сторонами а и b и т.д.

Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй.

Нелишне вспомнить крылатую фразу замечательного французского математика Софии Жермен (1776-1831), которая сказала: «Алгебра - не что иное, как записанная в символах гео­метрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

Геометрия — уникальный школьный предмет, внутри которого за­ложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Почему же этот потенциал, как пра­вило, не используется на уроках алгебры? Зачастую алгебру и геомет­рию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого.

Актуальность:

Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применят такие методы для решения задач, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ЕГЭ из части 2 можно решить геометрическим методом.

Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старин­ных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».)

Цель:

Показать, что преимущество геометрического решения алгеб­раических задач в его

наглядности, так как геометрический подход до­пускает изящное решение;

Рассмотрены в работе несколько типов задач, для которых подобраны решение и алгебраическим и геометрическим методами. Сравнили эти решения и попробовали применить данные способы для решения подобных задач. Мы рассмотрели лишь часть способов, показали лишь часть решенных задач.

Новизна работы: углубленное изучение математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.

Основная часть

1. Решение тригонометрических задач

Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-ни­будь геометрического приема дает короткое решение. «Тригонометри­ческие функции — это испытанный аппарат геометрии и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практичес­ки и возникли — из решения треугольников»?

Пример1:выразить через все остальные аркфункции.

Решение: Так как

то можно рассматривать как радианную меру острого угла прямоугольного треугольни­ка, в котором противолежащий ему катет а = 7, гипотенуза с =√50

По теореме Пифагора другой катет равен:

α

У гол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих чисел

Пример 2. Вычислить arctg2+arctg3+arctg1

Определение: arctg а (арктангенс а) — это такое число из интервала тангенс которого равен а.

Решение: На основании этого определения arctg х = π/4 Что же такое arctg2 ?

Это число из интервала (-π/2:π/2) тангенс которого равен 2. Аналогично и arctg3.

Воспользуемся графической интерпретацией (рис.5). Из рисунка вид­но, что arctg2 = x1 , arctg3 = x2 . Ясно, что числа х1 и х2 иррациональные и ука­зать их значения можно только приближенно. По рис. 6 видно, что arctg2= α, а аrctg3 = β. Однозначно определить ответ невозможно.

И спользование геометрического подхода делает данную задачу практически устной.

Выполним следующие построения: arctg3 = <BAM, arctg2 =<CAN (рис. 7). Тогда arctg1=<ВАС, где <ВАС - острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника ABC (ВС = АС=√5, АВ = √10 ), а по теореме, об­ратной теореме Пифагора, АВ² = АС2²+ВС2², следовательно <ВСА = 90°, а <ВАС = 45°). Таким образом, arctg2 + arctg3 + arctg1 = <ВАМ + <ВАС + <CAN = <MAN = π. Ответ: π .

Геометрическим методом хорошо решаются тригонометрические уравнения и неравенства.

П ример 3: Решить уравнение sin3x + 2 cos3x = 2

Р ешение: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами

ВС = 1 и АС = 2. Тогда АВ = = 3. Пусть<А= φ, где φ – острый угол.

Тогда cos φ=2 /3 и sin φ=1/3.

Имеемsin3x+cos3x = , cos3xcos φ + sin3x sin φ=

сos(3x- φ)= . Решая уравнение получим: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ

Ответ: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ

П ример 4: Найдите значение выраженияtg(arcsin ). А

Решение: По определению арксинуса имеем: - arc , причём если x 0,

то 0 arcsin x . Построим прямоугольный треугольник АВС с углом А,

который равен arcsin . При этом, по теореме Пифагора, прилежащий катет будет

равен . Поэтому tg(arcsin ) = = и tg(arcsin ) = *= 2.

Ответ: 2.

Пример 3: Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18.

Приведём геометрический способ решения (рис 14).

Рассмотрим сектор OAB окружности с центром в точке O и радиуса 1,

Проведём хорду AB, на отрезке OB построим точку C так,

чтобы AC = AB, при этом <AСВ = <ABC= 72°, a <CАВ = 36°.

Таким образом, , следовательно, OC = AC.

Пусть AB = x, СВ = 1-x.

Поскольку АС – биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция = , откуда

х²+х-1=0, (х>0), х=(√ 5-1)/2

П о теореме косинусов:АВ²=ОА²+ОВ² -2ОА*ОВ*cos<АОВ, х²=1+1 – 2cos36º,

х= 2(1-cos36º) = 2(1-cos²18º+sin²18º)= 2sin18º

Тогда sin 18º=(√ 5-1)/4

Ответ: (√ 5-1)/4

2. Решение систем уравнений.

П ример 1: Решить систему уравнений:

Решение:

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х2² + у2² =32² , числа х и у являются катетами АBD ( D – прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у2² + z2² = 16, построимBDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза. Третье уравнение y2² = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках <АВС = 900º АС = ( х + z ) = = 5, тогда

AB2² = AD • AC, 9 = х • 5, х =9/5

BC2 = DC • AC, 16 = z • 5, z = 16/5

BD2² = y2² = x • z = 9/5 • 16/5 и BD =12/5 = y.

Однако,такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

3.Решение текстовых задач на движение.

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях.

Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Решить задачу: Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Читаем с чертежа ответ: 3 часа.

4 . Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ.

Г еометрическим методом хорошо ре­шаются уравнения и неравенства с пара­метрами, а также их системы.

Пример1: При каком a система уравнений |x|+|y| =1

имеет ровно четыре решения? x²+y²=a

Решение: Построим линии, определяемые уравнениями системы.

r=√2/2. Четыре решения могут быть только в двух случаях,

когда a=R²=1, или a=r²=1/2.

Ответ:1;1/2.

П ример2: При каких значениях a система уравнений x²+y²=z;

x+y+z=a

имеет единственное решение?

Р ешение: Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение x²+y²+ x+y=a, полученное из системы x²+y²= z;

x+y+z=a имеет единственное решение.

Преобразуем полученное уравнение:

x²+y²+ x +y=(x²+x+0,25)+(y²+y+0,25)-0,25-0,25=a

(x+0,5)²+(y+0,5)²=0,5+a (*)

Итак, уравнение(*) задает на плоскости окружность с центром(-0,5;0,5)и радиусом R=√0,5+a.

1)Если 0,5+а<0, т.е. при а<-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением(*), пусто, а следовательно, исходная система решений не имеет;

2)Если 0,5+а=0, т.е. при а=-0,5, уравнение(*) имеет единственное решение, т.к. и окружность вырождается в точку(-0,5;0,5);

3)Если 0,5+a>0,т.е. при a>-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением (*), является окружностью с центром(-0,5;0,5) и R√0,5+а. В этом случае уравнение (*), а следовательно, и исходная система, имеет бесконечно много решений.

Ответ: а = - 0,5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.

Попыталась сопоставить задачи и способы их решения, вот какая картина получилась:

Предлагаю свой алгоритм решения алгебраических задач геометрическим способом:

1)Построение геометрической модели задачи, т.е. перевод её на язык геометрии;

2)Решение получившейся геометрической задачи;

3)Перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

Преимущества решения задач геометрическим способом:

При решении задачи этим методом четко определяется начало действия;

Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения;

Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура учеников;

Совершенствуется техника решения уравнений (разделений переменных);

Реализуются внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Выводы

Рассмотрены различные задачи, подобраны для них геометрические способы решения, сравнили алгебраический и геометрический методы решения.

Удобнее и нагляднее всего решать геометрическим методом тригонометрические задачи. Этот метод можно использовать в качестве проверки при решении задач.

Рассмотренные геометрические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.

Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам)

Литература:

1) Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.

2) Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов при решении алгебраических задач.

3) В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992

4) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/184073-reshenie-algebraicheskih-zadach-geometrichesk