Методическая разработка комбинированного занятия для преподавателя по теме «Многогранные углы. Многогранник»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ учреждение среднего профессионального образования новосибирской области «Барабинский медицинский колледж»

Цикловая методическая комиссия общих гуманитарных,

социально-экономических дисциплин

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

комбинированного занятия

для преподавателя

Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Раздел 4 «Геометрия»

Тема 4. 1 «Многогранные углы. Многогранник»

для специальности 34.02.01 Сестринское дело

по программе базовой подготовки

курс 1

Барабинск, 2016 г

Рассмотрена на заседании

ЦМК ОГСЭД

Протокол № ___________

От ____________ 2016 г.

Председатель ЦМК

______________________

(Ф. И. О.)

______________________

(подпись)

Разработчик:

Преподаватель 1 квалификационной категории Вашурина Т. В.

Содержание

Методический лист

Тема 4. 1 «Многогранные углы. Многогранник»

Вид занятия: комбинированный урок.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный с использованием информационных технологий (ЭОР, мультимедийная презентация), репродуктивный, метод дифференцированного обучения.

Уровень усвоения информации: первый (узнавание ранее изученных объектов, свойств) + второй (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)

Образовательные цели: сформировать представления об основных понятиях пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформировать умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире многогранные геометрические фигуры; способствовать формированию умения организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения упражнений.

Воспитательные цели: развивать коммуникативные способности; создавать условия для развития скорости восприятия и переработки информации, культуры речи; формировать умение работать в коллективе и команде.

Развивающие цели: способствовать выработке навыков выполнения упражнений на построение многогранных углов и многогранников.

Формирование требований ФГОС при изучении темы

«Многогранные углы. Многогранник»

Результаты обучения:

владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры;

сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации.

Изучение темы 4.1 способствует формированию у обучающихся следующих общих компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения задач, оценивать их выполнение и качество.

ОК 6. Работать в коллективе и команде.

Выписка из тематического плана

дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

специальность Сестринское дело

Актуальность изучения геометрии

     Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале XXI столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника – все имеет геометрическую форму. Геометрические знания являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли  нам Геометрия?»

     Во-первых, геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира. Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) вызывают изумление у современных ученых, и это несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат.

     Во-вторых, геометрия является одной составляющей общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

     Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.

     Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех изучаемых предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.

Примерная хронокарта занятия по теме: «Многогранные углы. Многогранник»

(время занятия 90 минут)

Блок информации

Изложение учебного материала:

«Многогранные углы. Многогранник»

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека кправильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Форма первоэлемента Земли - куб, Воздуха - октаэдр, Огня - тетраэдр, Воды - икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра. О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само построило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. Земля подобна Вселенной, и у Платона Земля – тоже додекаэдр.

Греческая математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона. 
Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, основатель Академии и родоначальник традиции платонизма. Одним из существенных черт его учения является рассмотрение идеальных объектов - абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона, со времен Евклида изучает именно абстрактные, идеальные объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики вкладывали в термин идеальный не только смысл абстрактный, но и смысл наилучший. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*72°=216 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются Начала Евклида.

Евклид вовсе не собирался выпускать систематический учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное 
на начинающих, в силу этого ему пришлось изложить все необходимые сведения.  д'Арси Томпсон

Существует семейство тел, родственных платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Называют 13 или 14 архимедовых тел(число неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству).

Кроме того, имеют равные многогранные углы и правильные грани нескольких типов тела из двух бесконечных семейств - призмы и антипризмы.

Кеплер Иоганн (Kepler I, 1571-1630г) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. ( «Гармония мира», 1619г.) И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами.

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). М ежду каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.

Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет - именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами.

Однако даже на тот момент эта привлекательная модель имела один существенный недостаток: сам же Кеплер показал, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям (сферам), а по эллипсам (первый закон Кеплера). Нечего и говорить, что позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

Другим выдающимся вкладом Кеплера в геометрию многогранников является открытие им двух звездных правильных тел. (Всего их четыре; два других нашел французский математик Луи Пуансон в 1809 г.)

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному  совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел

Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Вершины + Грани - Рёбра = 2.

Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение.

Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

 Кристаллы — тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) — природная модель додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” — огонь) — сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита часто достигают нескольких сантиметров и являются хорошим коллекционным материалом. От других подобных ему минералов отличается твердостью: царапает стекло.

 Замечено, что наша матушка-Земля последовательно проходит эволюцию правильных объемных фигур. Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с вышеуказанными фигурами. Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозою - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

 Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.

 Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.

В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра. Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласнододекаэдро-икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.).

С позиций изучения симметрии, учитывая представление о додекаэдро-икосаэдрическом силовом каркасе Земли как планеты, следует признать, что в этом смысле Земля является живым существом. С душою, которую П.А. Флоренский назвал “пневматосфера”, со свободой воли и разумом.

Додекаэдрическая структура, по мнению Д. Винтера (американского математика), присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

 Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

 Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене.

 Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры, и если
его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идеальных геометрических фигур.

План самостоятельной работы студентов

Тема: «Многогранные углы. Многогранник»

Приложение №1

Вопросы для фронтальной беседы по предыдущей теме:

Решение задач по теме «Степенная функция и ее производная»

Дайте определение степенной функции.

Ответ: Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x ⁿ , x > 0. Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. 

Перечислите основные свойства степенной функции.

Ответ: К основным свойствам степенной функции y = x ^a при a > 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; +  ).

Область значений функции - промежуток (0; + ).

Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ < a^r₂ .

Изобразите график степенной функции при a > 0.

Изобразите график степенной функции при a < 0.

Свойства степенной функции y = x ^a при a < 0.

Ответ: К основным свойствам степенной функции y = x ^a при a < 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; + ).

Область значений функции - промежуток (0; + ).

Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ > a^r₂ .

Проверка выполнения упражнений из домашней работы:

с.258 упр. 559

Критерии оценки за письменную работу:

«3» - выполнена половина всех заданий, и студент ответил на дополнительный вопрос по теме;

«4» - выполнена большая часть заданий, и студент ответил на дополнительный вопрос по теме;

«5» - выполнены все задания, и студент ответил на дополнительный вопрос по теме.

Приложение №2

Задания для первичного закрепления материала

стр. 67 № 219, 220, 223

Приложение №3

Задания для самостоятельной работы (итоговый контроль)

Тест по теме «Многогранники»

Вариант 1

Многогранник – это тело, поверхность которого состоит из:

параллелограммов

многоугольников и треугольников

многоугольников

многоугольников и параллелограммов

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется

правильной

прямой

наклонной

перпендикулярной

Диагональ многогранника – это отрезок, соединяющий

любые две вершины многогранника

две вершины, не принадлежащие одной грани

две вершины, принадлежащие одной грани

две вершины, одного основания

Количество ребер шестиугольной призмы

18

6

24

12

Наименьшее число граней призмы

3

4

5

6

Вариант 2

Поверхность призмы состоит из

двух многоугольников, расположенных в двух равных плоскостях и конечного числа параллелограммов

двух равных многоугольников и конечного числа параллелограммов

двух равных многоугольников, расположенных в двух плоскостях и конечного числа параллелограммов

двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и конечного числа параллелограммов

Правильная призма – это

призма, основанием которой является правильный многоугольник

призма, основанием которой является равносторонний треугольник

прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник

прямая призма, основанием которой является квадрат

Высотой призмы называется:

отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани

отрезок, соединяющий две вершины, принадлежащие одной грани

расстояние между плоскостями ее оснований

расстояние между двумя боковыми гранями

Количество граней шестиугольной призмы

6

8

10

12

Наименьшее число ребер призмы

9

8

7

6

Критерии оценки: «5» баллов – 5 верно выполненных заданий

«4» балла – 4 верно выполненных задания

«3» балла – 3 верно выполненных задания

Ответы:

Домашнее задание

Цель:Определить объем информации для самостоятельной работы, обратить внимание на значимые моменты.

Работа с учебником Геометрия. Учебник для 10 - 11 классов средней школы / Атанасян Л.С. [и др.], выполнение упражнения [с.60-62 , с.67 зад. 218];

Определения выучить по конспекту лекции.

№218

Перечень оборудования и оснащения

1. Доска

2. Компьютерное и мультимедийное оборудование

3. Учебник с заданиями для первичного закрепления знаний, раздаточный материал с заданиями итогового контроля каждому студенту

4. Электронный учебник

5. Мультимедийная презентация (30 слайдов)

Список использованных источников

Геометрия. Учебник для 10-11классов [Текст] Учебник для 10 - 11 классов средней школы / Атанасян Л.С. [и др.] 18-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 255 с.

ГДЗ - готовое домашние задание по геометрии за 10-11 класс к учебнику Атанасянаонлайн[Электронный ресурс] // Режим доступа:http://ggddzz.ru/reshebnik/gdz-po-geometrii-10-11-klass-atanasjan/list/218/

3. Образовательный портал «Инфоурок» / Тесты по геометрии 10-11 класс [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://infourok.ru/konkurs?dwldurl=http%3A%2F%2Ffs01.infourok.ru%2Fuploads%2F120855060428.doc

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/184704-metodicheskaja-razrabotka-kombinirovannogo-za