Задания для подготовки к олимпиадам

Олимпиада №1.
Задача 1. Кролик строит лестницу
Кролик сделал эту лестницу из кубов.
Сколько всего кубов ему понадобится, чтобы сделать лестницу из 9 ступенек?
(A) 45; (B) 36 ; ©38; (D) 48.
Решение задачи 1
Каждая последующая ступень выше предыдущей на 1 кубик. Отсюда, число кубиков для устройства очередной ступени равно порядковому номеру этой ступени. Общее число кубиков для устройства 9 ступенек равно 1+2+3+4+5+6+7+8+9.
Эту сумму нетрудно подсчитать, заметив, что сумма первого слагаемого с последним равна сумме второго с предпоследним и т.д. - всего 4 суммы по 10 плюс центральная пятерка, оставшаяся без пары. Итого для строительства лестницы из 9 ступенек кролику понадобится (10 • 4) + 5 = 45 кубиков. Верный ответ - А.
вверх ▲

Задача 2. Который час?
Группу ребят из 4-х человек спросили, сколько сейчас времени. Каждый посмотрел на свои часы и дал ответ. Все ответы были разные. Один сказал: "10.03", второй: "9.57", третий сказал: "9.54", и четвертый: "10.02". Каждый считал, что он сказал правильное время. Однако все ошиблись. Величина ошибки ( не по порядку) - 2, 3, 4, 5 минут.
Чему равно правильное время?
(A) 9 часов 52 мин; (B) 9 часов 55 мин; ©10часов 1 мин.; (D) 9 часов 59 мин.
Решение задачи 2.
Максимальная разница в ответах ребят (первого и третьего) составляет 10.03-9.54=9 мин и она равна сумме двух погрешностей: 4 + 5.
Следовательно, истинное время находится между этими двумя крайними показаниями и отстоит от одного из них на 4 мин, а от другого - на 5 мин, т.е. равно 9.59, или 9.58. Вариант 9.58 противоречит условию - в этом случае одна из ошибок была бы равна 1 мин.
Следовательно, верное время - 9часов 59 мин, правильный ответ - D.
вверх ▲

Задача 3. Сколько длился забег?
Вдоль траектории забега поставили на равных расстояниях друг от друга 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через 3 минуты. За сколько минут он пробежит весь путь, если всю дистанцию он бежит с одинаковой скоростью?
(A) 15 минут; (B) 22.5 минуты; © 21 минуту; (D) 18 минут;

Решение задачи 3.
Расстояние от 1-го столба до 15-го в 7 раз превышает расстояние от 1-ого до 3-его столба (14 промежутков вместо 2-х). Следовательно, и времени на преодоление всей дистанции у спортсмена уйдет в 7 раз больше, или 3 мин. • 7 =21 мин. Верный ответ - С.
вверх ▲

Задача 4. Какая площадь больше?
В прямоугольнике провели диагональ из верхнего левого угла в нижний правый угол. Области 1 и 2 - прямоугольники.
Площадь прямоугольника 1:
(A) меньше площади 2; (B) равна площади 2; © больше площади 2; (D) невозможно сравнить с площадью 2.
Решение задачи 4
Так как области 1 и 2 - прямоугольники, то фигура, состоящая из областей 5 и 3 - тоже прямоугольник, следовательно, площади треугольников 3 и 5 равны между собой. Фигура, состоящая из областей 6 и 4 - тоже прямоугольник, а площади треугольников 6 и 4 равны. Площади больших треугольников ( один состоит из областей 5, 4, и 1, а второй - из 3, 6 и 2) - равны между собой. Сумма областей 5 и 4 равна сумме областей 3 и 6. Следовательно, площади областей 1 и 2 равны между собой. Верен ответ В.

Задача 5. Кто больше собрал грибов?
Ира , Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша больше чем Витя. Вопрос: кто собрал грибов больше? Девочки или мальчики?
Какое утверждение верно:
(A) Мальчики собрали грибов больше, чем девочки;
(B) Девочки собрали грибов больше, чем мальчики;
© Девочки и мальчики собрали грибов поровну;
(D) Невозможно определить.
Решение задачи 5
Итак есть две группы : мальчики и девочки.
Сравним: Наташу и Алешу (каждый из них в своей группе более успешный: Наташа собрала больше всех и, следовательно больше Ирины, а Алеша собрал больше Вити).
Наташа собрала больше чем Алеша (так как она собрала грибов больше всех).
Сравним Иру и Витю. Ира собрала не меньше всех, следовательно, не меньше, чем Витя.
Отсюда следует, что если Наташа сложит свои грибы с грибами Иры, то их будет больше, чем сумма грибов, собранных мальчиками. Верен ответ (В).
вверх ▲

Задача 6. Сдаем кросс
Сережа, Олег и Саша бегут с постоянной скоростью по трассе длиной в 1000м. В момент, когда Сережа финишировал, он был на расстоянии 200 метров от Олега и 400 метров от Саши.
На каком расстоянии ( в метрах) от Саши будет Олег в момент финиша?
(A) 250 метров; (B) 150 метров; © 200 метров; (D) 300 метров.
Решение задачи 6. Пробежав 800 метров, Олег опередил Сашу на 200 метров, или на четверть пройденной дистанции. На оставшихся 200 м дистанции Олег удалится от Саши еще на 50 м. В момент финиша Олег будет на расстоянии 250 м от Саши (200+50). Правильный ответ - А.

Олимпиада №2

Задача 1: Существует ли двадцатизначное натуральное число такое, что если его цифры записать в обратном порядке, то полученное число будет ровно в три раза больше первоначального?
Решение: Предположим, что такое число нашлось. Его первая цифра может быть 1, 2 или 3 (потому что иначе в три раза большее число будет одиннадцатизначным).
Если первая цифра 1, то последняя – 7 (так как иначе при умножении на три на конце получится другая цифра – см. таблицу умножения на 3). Но тогда обращённое число получается более чем в три раза превосходит исходное.
Если первая цифра – 2 или 3, то последняя – 4 или 1, поэтому обращённое число получается слишком мало.
Значит такого числа не существует.

Задача 2: Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF и BE длиннее.

Задача 3: Натуральные числа u и v таковы, что для любого натурального k числа ku + 2 и kv + 3 имеют общий натуральный делитель, больший 1. Чему может быть равно отношение ?
Решение:

Предположим, что 3u ? 2v. Тогда n = |3u – 2v| > 0. По условию, числа nu + 2 и nv + 3 делятся на некоторое натуральное число d > 1. Тогда числа 3(nu + 2) – 2(nv + 3) = n(3u – 2v) = ± n? и (nu + 2) – (nv + 3) = n(u – v) + 1 также делятся на d, чего не может быть, так как эти числа взаимно просты.
Значит, сделанное предположение неверно и 3u = 2v. Тогда существует такое натуральное число x, что u = 2x, v = 3x и для всех натуральных k мы имеем

Задача 4: В треугольнике ABC выполняется равенство BC = 2AC. На стороне BC выбрана такая точка D, что ? CAD = ? CBA. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла C в точке E. Докажите, что AE = AB.

Задача 5: В некотором государстве 2001 город, причем любые два города соединены прямым рейсом автобуса или поезда. Пользуясь только одним из этих двух видов транспорта невозможно объехать 16 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно. Докажите, что пользуясь только одним видом транспорта невозможно объехать 17 городов, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться обратно.

Решение:
Предположим противное, пусть существует замкнутый циклический маршрут на одном из видов транспорта, последовательно проходящий по городам A1, A2, …A17. Пусть этот вид транспорта — поезд. Рассмотрим города Ak и Ak + 2 (нумерация циклическая, т.,е. A18 = A1, A19 = A2, и т.,д.). Нетрудно заметить, что города Ak и Ak + 2 не могут быть соединены рейсом поезда (иначе существует цикл из 16 городов A1, …, Ak, Ak + 2, …, A17). Значит, для всех k от 1 до 17 города Ak и Ak + 2 соединены рейсом автобуса и существует замкнутый циклический маршрут на автобусе из 17 городов A1, A3, …, A17, A2, …, A16.

Рассмотрим еще один город B. Если для некоторого k город B соединен с обоими городами Ak и Ak + 3 рейсами поезда, то существует циклический маршрут на поезде из 16 городов: B, Ak + 3, Ak + 4, …, Ak, что противоречит условию. Значит, город B должен быть соединен хотя бы с одним из двух городов Ak и Ak + 3 рейсом автобуса.

Если для некоторого k город B соединен с обоими городами Ak и Ak + 6 рейсами автобуса, то существует циклический маршрут на автобусе из 16 городов: B, Ak + 6, Ak + 8, …, Ak – 2, Ak, что противоречит условию. Значит, город B должен быть соединен хотя бы с одним из двух городов Ak и Ak + 6 рейсом поезда.

Отсюда ясно, что существует город An, соединенный с B рейсом поезда. Тогда рейсы BAn – 3 и BAn + 3 должны выполняться автобусом, что противоречит доказанному выше. Следовательно, не существует замкнутого циклического маршрута на одном из видов транспорта по 17 городам.

Задача 6: Колоду карточек с числами от 1 до 78 дают зрителю. Тот ее перемешивает, отбирает 40 карточек, отдает их первому фокуснику, а остальные оставляет себе. Первый фокусник выбирает из полученных карточек две и возвращает их зрителю. Зритель добавляет к этим карточкам одну карточку из своих тридцати восьми, и, перемешав, отдает эти три карточки второму фокуснику. Второй фокусник показывает, какая из карточек была добавлена зрителем. Объясните, как может быть показан такой фокус.

Решение: Фокусники любым способом разбивают 78 карточек на 39 пар и запоминают это разбиение. Какие бы 40 карт зритель ни отдал первому фокуснику, среди них обязательно окажутся две карты из одной пары (так как пар всего 39). Первый фокусник должен дать зрителю две карты из одной пары. Тогда карта, добавленная зрителем, будет из другой пары, и ее без труда сможет определить второй фокусник.

Олимпиада № 3
1. Газетный лист сложил пополам 5 раз, каждый раз меняя направление сгиба. Затем отрезали от получившегося прямоугольника 4 угла и развернули лист. Сколько в нём дырок?
(A) 21 (В) 25 (С) 32 (D) 45 (Е) 60

2. Периметр квадрата увеличили на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?
(A) 10% (В) 11% (С) 20% (D) 21% (Е) 50%

3. Пять человек сидят за круглым столом. Каждый из них говорит: «Оба мои соседа — лжецы». Сколько лжецов за столом?
(A) 1 (В) 2 (С) 3 (D) 4 (Е) 5

4. 3 утки и 2 селезня вместе весят 32 кг, 4 утки и 3 селезня весят 44 кг. Сколько весят 2 утки и 1 селезень?
(A) 20 (B) 21 © 24 (D) 26 (E) 25,5

5. Имеется 100 маленьких одинаковых кубиков. Из них сооружается самый большой из возможных кубиков. Сколько маленьких кубиков осталось неиспользованными?
(A) 73 (В) 36 (С) 19 (D) 9 (Е) 0

6. Рассказывая о своём дедушке, Оля каждый раз старалась назвать его по-новому: «отец брата отца», «брат отца брата», «отец отца брата», «брат отца отца». Сколько раз Оля ошиблась? (Все братья — родные!)
(A) 0 (В) 1 (С) 2 (D) 3 (Е) 4

7. Перед входом в крепость сложена пирамида из одинаковых пушечных ядер (в основании — правильный треугольник, и ядра каждого следующего слоя лежат в ямках предыдущего слоя). Каким может быть количество ядер в этой пирамиде?
(A) 200 (В) 210 (С) 220 (D) 250 (Е) 256

8. У пиратов в ходу монеты в 1, 2 и 5 пиастров. В кармане у Флинта 10 пиастров. Тогда число монет у него в кармане не может быть равно
(A) 3 (В) 4 (С) 6 (D) 7 (Е) 8

9. Какое из чисел не может быть представлено в виде суммы двух квадратов?
(A) 13 (В) 25 (С) 61 (D) 83 (Е) 101

10. Сколько различных результатов можно получить, расставляя скобки в выражении 10 – 5 ¬– 3 – 1?
(A) 4 (В) 5 (С) 6 (D) 7 (Е) 8

11. Максим родился в воскресенье 29 февраля. Через сколько лет его день рожденья в первый раз снова будет в воскресенье 29 февраля?
(A) 4 (В) 8 (С) 20 (D) 28 (Е) 29

12. Три лыжника, Яша, Федя и Коля, стартовали в таком порядке: Я, Ф, К, то есть сначала Яша, потом Федя, потом Коля. На дистанции Яшу обогнали 3 раза, Федю — 5 раз, а Колю — 8 раз. В каком порядке лыжники пришли к финишу?
(A) Ф, К, Я (В) Я, К, Ф (С) К, Ф, Я
(D) Я, Ф, К (Е) нельзя определить

13. В корзине сидят котята — 4 чёрных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трёх котят разной окраски?
(A) 4 (В) 5 (С) 6 (D) 7 (Е) 8

14. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев?
(A) 2 (B) 3 © 4 (D) 5 (E) 6

15. В шахматном турнире участвовало 8 игроков и каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
(A) 28 (В) 36 (С) 49 (D) 56 (Е) 64