Обмен опытом по теме «Задачи по теории вероятности»

Кицул Татьяна Васильевна

Муниципальное бюджетное

нетиповое общеобразовательное

учреждение «Гимназия №59»

г. Новокузнецка

Учитель математики

Как научиться и как научить решать

задачи по теории вероятностей

В последние годы стала очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе. Подготовку к решению этих вопросов во всем мире осуществляет школьный курс математики. Решение о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования принято и в нашей стране. Все государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики наравне с другими привычными линиями. Но в программах разных авторов подход к изучению этих тем различен. По учебному комплексу Н.Я. Виленкина в 5 и 6 классах вообще по программе не выделяются часы на изучение данных тем, но в течение учебного года в блоках задач на повторение рассматриваются отдельные задачи. У И.И. Зубаревой в 5 и 6 классах выделяются часы на изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей 4 и 6 часов соответственно, а затем эти вопросы изучаются в 9 классе (12 часов). При изучении математики на базовом уровне теория вероятности вновь встречаются в 11 классе.

Во всех классах, в которых изучаются элементы комбинаторики и теории вероятностей, материал запланирован на конец учебного года и зачастую корректировку рабочих программ мы осуществляем за счет этих тем, до сих пор являющихся для нас второстепенными, «неродными». И как результат ученики испытывают трудности при решении задач по теории вероятностей, да и для нас учителей некоторые из задач являются непонятными. Поэтому возникает необходимость спланировать итоговое повторение так, чтобы задачи по этой теме научились решать не только те ученики, которые претендуют на высокий экзаменационный балл, но и желающие преодолеть только минимальный порог.

Систематизацию знаний по данной теме я провожу следующим образом:

I. Изучаем задачный материал, используя различную литературу, открытый банк заданий на сайте ФИПИ и других сайтах в интернете.

Проводим классификацию задач:

Простые задачи, при решении которых, используется только классическое определение вероятности.

Задачи средней трудности – с использованием понятий совместных и несовместных событий, сложения и умножения вероятностей.

Трудные задачи.

Повторяем основной теоретический материал.

Готовлю и раздаю учащихся справочный материал по теории вероятности.

Событием или случайным событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события, обозначаетсяР(А).

Достовернымназывается событие, которое в результате опыта непременно должно произойти, его вероятность равна 1, Р(А) = 1.

Невозможнымназывается событие, которое в результате опыта не может произойти, его вероятность равна 0, Р(А) = 0.

Полной группой событий называются несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий в данном опыте называютсянесовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Несколько событий в данном опыте называютсяравновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

СобытияАиназываютсяпротивоположными, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого.

Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями или «шансами».

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результаты опытов сводятся к схеме случаев, то вероятность события Авычисляется по формуле .

Классическое определение вероятности: вероятностью события А при проведении испытания называется отношение числа тех исходов (благоприятных), в результате которых наступает событиеА, к общему числу равновозможных между собой исходов этого испытания.

Рассматриваем схему решения задач, в которых вероятность находится по классическому определению.

Схема решения задач по классическому определению вероятности:

Уяснить в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

Установить, являются ли исходы испытания несовместными и равновероятными.

Подсчитать число всех возможных исходов испытания, найти n.

Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

Подсчитать число исходов испытания, благоприятных рассматриваемому событию, найти m.

По формуле вероятности вычислить вероятность появления рассматриваемого события.

Решаем задачи, рассматривая дополнительно необходимый теоретический материал.

Простые задачи

При решении простых задач следует обратить внимание учащихся на способы подсчета числа всех исходов события и числа благоприятных исходов.

Задача №1.

Из 35 экзаменационных билетов наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число кратное трем?

Решение.

Испытание состоит в том, что извлекается один билет.

Так как билет вытягивается наудачу, то все исходы испытания равновероятны и несовместны.

Число всех возможных исходов испытания равно 35, n =35.

Событие А означает, что номер взятого билета кратен трем.

Этому событию благоприятны 11 исходов испытания (3, 6, 9, …, 33), m=11.

.

Ответ:.

Задача №2.

На борту самолёта 10 мест рядом с запасным выходом и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста. Пассажир Иванов высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Иванову достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.

Решение.

Испытание состоит в выборе одного места.

Так как на регистрации выбор места осуществляется случайно, то все исходы испытания равновероятны и несовместны.

Число всех возможных исходов испытания равно 200, n =200.

Событие А означает, что пассажиру Иванову досталось удобное место.

Этому событию благоприятны 10 + 15 = 25 исходов испытания, m=25.

Ответ: 0,125.

Задача №3.

Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованных. Эксперт проверяет одну выбранную наугад кофемолку. Найдите вероятность того, что выбранная кофемолка окажется бракованной.

Ответ: 0,007.

Задача №4.

Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытым дефектом. Какова вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным?

Решение.

Эта задача похожа на предыдущую задачу, но формулировка «на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников с дефектами» указывает на то, что дефектные 15 холодильников не входят в 100 качественных, поэтому общее число исходов равно n = 115 (100 + 15 =115).

Ответ:.

Задача №5.

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение.

Решая задачу по предложенной схеме, следует обратить внимание, что является исходом, а что благоприятным исходом.

Испытание состоит в выборе соперника для Максима Зайцева.

Так как участников разбивают на игровые пары случайным образом, то все исходы испытания равновероятны и несовместны.

Число всех возможных исходов испытания равно 15, а не 16 (16 – 1 = 15, так как сам с собой теннисист играть не может), n =16.

Событие А означает, что соперник Максима Зайцева теннисист из России.

Этому событию благоприятны 7 – 1 = 6 исходов испытания (из числа россиян исключаем самого Максима Зайцева), m=6.

.

Ответ: 0,4.

Задача №6.

Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет два раза.

Решение.

Испытание состоит в том, что монету подбрасывают трижды.

Исходы испытания, выпадение орла или решки, равновероятны и несовместны.

В таких задачах, чтобы подсчитать число всех возможных исходов, удобно выписать эти исходы: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Всего таких исходов 8, n =8.

СобытиеА означает, что орел выпал два раза.

Этому событию благоприятны 3 исхода испытания: РОО, ОРО, ООР, m=3.

.

Ответ: 0,375.

Задача №7.

Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет пять очков.

Решение.

Испытание состоит в подбрасывании трёх игральных костей.

Исходами испытания являются тройки чисел, которые могут выпадать на каждой кости. Эти исходы несовместны и равновероятны.

Подсчитать число всех возможных исходов в этой задаче удобно по правилу умножения, так как в отличие от предыдущей задачи все исходы перечислить невозможно. При подбрасывании каждой из костей возможны 6 исходов, а при одновременном подбрасывании трех костей - исходов, n =216.

СобытиеА означает, что в сумме выпало 5 очков.

Этому событию благоприятны 6 исходов испытания, которые лучше найти, перечислив все возможные варианты: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1, m=6.

.

Ответ:.

Задача №8.

В ящике находятся 10 стандартных и 5 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение.

Испытание состоит в том, что наугад вынимают 6 деталей.

Так как детали вынимаются наугад, то все исходы испытания несовместны и равновероятны.

Число всех возможных исходов находим по формуле комбинаторики, число выборов 6 деталей из 15 деталей. , n =5005.

СобытиеА означает взятие из ящика 4 стандартных и 2 нестандартных деталей.

Число благоприятных исходов находим по правилу умножения. .

.

Ответ: 0,42.

Таким образом, при решении простых задач с использованием классического определения вероятности следует обратить внимание на то, что является исходом данного события, а что благоприятным исходом и как правильно подсчитать число таких исходов.

Способы подсчета числа исходов:

Число исходов и число благоприятных исходов дано в условии задачи (№1).

Число исходов и число благоприятных исходов практически дано в условии задачи, следует учесть некоторые условия (№2, №4, №5).

Нахождение числа исходов с помощью перечисления всех возможных исходов и числа благоприятных исходов (№6, №7).

Применение правила умножения (№7).

Применение формул комбинаторики (№8). Здесь следует напомнить правила как найти число способов выбрать m элементов из n без учета порядка следования элементов и с учетом порядка следования элементов.

Правило 1.

Число способов выбрать m элементов из n без учета порядка следования элементов можно найти по формуле .

Правило 2.

Число способов выбрать m элементов из n с учетом порядка следования элементов можно найти по формуле .

Пример:

В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами можно это сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй - по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?

Решение.

В случае а) порядок важен, поэтому .

В случае б) порядок не важен и .

Задачи средней степени сложности

При решении таких задач необходимы формулы вероятности для объединения (суммы) несовместных событий и пересечения (произведения) независимых событий.

Суммой двух событий Аи Вназывается событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий Аили В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событияАи события В.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, Р(А + В) =Р(А) + Р(В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий,

Р(А + В) =Р(А) + Р(В)– Р(АВ).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Схема решения задач с использованием

теорем сложения и умножения

Уяснить в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

Обозначить буквами события, рассматриваемые в задаче.

С помощью введенных обозначений выразить событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

Если требуется найти вероятность суммы событий, то необходимо выяснить, совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же требуется найти вероятность произведения событий, то необходимо выяснить, зависимы или независимы рассматриваемые события

Выбрать соответствующую условию задачи формулу и выполнить необходимые вычисления.

Задача №9.

В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок наугад вынимают по карандашу. Какова вероятность того, что оба карандаша окажутся красными?

Решение.

Испытание состоит в том, что из каждой коробки вынимают по карандашу.

Пусть событие А означает, что карандаш вынутый из первой коробки оказался красным, событие В – карандаш, вынутый из второй коробки, красный.

Тогда событие АВ означает, что оба вынутых карандаша оказались красными.

СобытияАиВ независимы.

Р(АВ) = Р(А)Р(В), Р(А) = 0,4, Р(В) = 0,3, Р(АВ)=0,4 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

Задача №10.

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из может быть неисправен с вероятностью 0,1, независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.

Найдем вероятность события «оба автомата неисправны», противоположного событию, что хотя бы один автомат исправен.

Пусть событие А означает, что первый автомат неисправен, событие В – второй автомат неисправен.

Тогда событие АВ означает, что оба автомата неисправны.

СобытияАиВ независимы.

Р(АВ) = Р(А)Р(В), Р(А) = 0,1, Р(В) = 0,1, Р(АВ)=0,1 0,1 = 0,01.

Событие, что исправен хотя бы один автомат, является противоположным для события «неисправны оба автомата», поэтому .

Ответ: 0,99.

Задача №11.

Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Испытание состоит в том, сколько времени прослужит кофемолка.

Пусть событие А означает, что кофемолка прослужит больше года, но меньше двух лет, а событиеВозначает, что она прослужит больше двух лет.

Тогда событие А + В означает, что кофемолка прослужит больше года.

СобытияАи В несовместны, так как кофемолка не может одновременно прослужить и менее двух лет и более.

Р(А + В) = Р(А)+Р(В), Р(А)= Р(А + В) - Р(В), Р(А + В)=0,93, Р(В)=0,81,

Р(А)=0,93-0,81=0,12.

Ответ: 0,12.

Задача №12.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% таких стекол, а вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется не бракованным.

Решение.

Найдем вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.

Найдем вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.

Пусть событие А означает, что куплено бракованное стекло первой фабрики, а событие Возначает, что куплено бракованное стекло второй фабрики.

Тогда событие А + В означает, что куплено бракованное стекло одной из фабрик.

СобытияАи В несовместны, так как куплено стекло какой-то одной из фабрик.

Р(А + В) = Р(А)+Р(В).

Вероятность купить стекло первой фабрики равна 0,6, вероятность брака в стекле первой фабрики равна 0,04, тогда Р(А) = 0,6 0,04 = 0,024.

Вероятность купить стекло второй фабрики равна 0,4, вероятность брака в стекле второй фабрики равна 0,03, тогда Р(В) = 0,4 0,03 = 0,012.

Р(А + В) =0,024 + 0,012 = 0,036.

Событие, что купленное стекло окажется не бракованным является противоположным событию, сто купленное стекло бракованное, поэтому

Ответ: 0,0964.

Трудные задачи

При решении таких задач необходимы формулы вероятности для объединения (суммы) и пересечения (произведения) зависимых совместных событий.

Если события Аи В совместны, то вероятность их суммыР(А + В) =Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Вероятность произведения двух зависимых событий выражается формулой, Р(АВ) = Р(А) + Р(В) -Р(А + В).

Задача №13.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Испытание состоит в том, останется кофе в автоматах или нет.

Пусть событие А означает, что кофе остался в первом автомате, событие Возначает, что кофе остался во втором автомате,Р(А)=Р(В) = 1 – 0,4 = 0,6.

Тогда событие А + В означает, что кофе остался хотя бы в одном автомате,Р(А + В) = 1 – 0,22 = 0,78, так как событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах».

СобытияАи В зависимые так как 0,40,4 0,22.

Р(АВ) = Р(А) + Р(В) -Р(А + В) = 0,6+ 0,6 – 0,78 = 0,42.

Ответ: 0,42.

Задача №14.

В некоторой местности наблюдения показали:

Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в этот день 0,4.

Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение:

Найдем вероятность события противоположного событию «что в случайно взятый июньский день дождя не будет».

Пусть событие А означает, что ясным утром будет дождь, а событие В – пасмурным утром будет дождь.

Тогда событие А + В означает, что утром будет дождь.

События А и В несовместны, так как утро не может одновременно быть и ясным и пасмурным.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность дождя ясным утром равна 0,1 =0,07.

Вероятность дождя пасмурным утром равна 0,4 .

Р(А + В) =0,07 + 0,12 = 0,19.

Справочный материал для учащихся

Основные понятия и определения теории вероятностей

Событием или случайным событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события, обозначаетсяР(А).

Достовернымназывается событие, которое в результате опыта непременно должно произойти, его вероятность равна 1, Р(А) = 1.

Невозможнымназывается событие, которое в результате опыта не может произойти, его вероятность равна 0, Р(А) = 0.

Полной группой событий называются несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий в данном опыте называютсянесовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Несколько событий в данном опыте называютсяравновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

СобытияАи называются противоположными, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого.

Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями или «шансами».

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результаты опытов сводятся к схеме случаев, то вероятность события Авычисляется по формуле .

Классическое определение вероятности: вероятностью события А при проведении испытания называется отношение числа тех исходов (благоприятных), в результате которых наступает событиеА, к общему числу равновозможных между собой исходов этого испытания.

Схема решения задач по классическому определению вероятности:

Уяснить в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

Установить, являются ли исходы испытания несовместными и равновероятными.

Подсчитать число всех возможных исходов испытания, найти n.

Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

Подсчитать число исходов испытания, благоприятных рассматриваемому событию, найти m.

По формуле вероятности вычислить вероятность появления рассматриваемого события.

Способы подсчета числа исходов события:

Число исходов и число благоприятных исходов дано в условии задачи (№1).

Число исходов и число благоприятных исходов практически дано в условии задачи, следует учесть некоторые условия (№2, №4, №5).

Нахождение числа исходов с помощью перечисления всех возможных исходов и числа благоприятных исходов (№6, №7).

Применение правила умножения (№7).

Применение формул комбинаторики (№8). Здесь следует напомнить правила как найти число способов выбрать m элементов из n без учета порядка следования элементов и с учетом порядка следования элементов.

Правило 1.

Число способов выбрать m элементов из n без учета порядка следования элементов можно найти по формуле .

Правило 2.

Число способов выбрать m элементов из n с учетом порядка следования элементов можно найти по формуле .

Вероятность объединения (суммы) несовместных событий и пересечения (произведения) независимых событий

Суммой двух событий Аи Вназывается событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий Аили В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события Аи события В.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, Р(А + В) =Р(А) + Р(В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий,

Р(А + В) =Р(А) + Р(В)– Р(АВ).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий выражается формулой, Р(АВ) = Р(А) + Р(В) -Р(А + В).

Схема решения задач с использованием

теорем сложения и умножения

Уяснить в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

Обозначить буквами события, рассматриваемые в задаче.

С помощью введенных обозначений выразить событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

Если требуется найти вероятность суммы событий, то необходимо выяснить, совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же требуется найти вероятность произведения событий, то необходимо выяснить, зависимы или независимы рассматриваемые события

Выбрать соответствующую условию задачи формулу и выполнить необходимые вычисления.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/217692-obmen-opytom-po-teme-zadachi-po-teorii-veroja