Система подготовки к ГИА и ЕГЭ на тему «Текстовые задачи»

Тема:

«Система подготовки к ГИА и ЕГЭ на тему «Текстовые задачи»».

Работу выполнила:

Калашникова Вера Анатольевна.

Учитель математики МБОУ СШ №2 р.п. Тумботино.

Введение

Одной из главных целей преподавания математики является интеллектуальное развитие учащихся. Общеизвестна роль задач в достижении этой цели.

Решение задач – одно из основных средств развития математики. Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная цель – развитие творческого и математического мышления учащихся, повышения интереса к математике.

Умения решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве одной и, пожалуй, наиболее трудной части - решение задач.

Цель работы: рассмотреть алгебраический метод решения текстовых задач в системе подготовки к ГИА и ЕГЭ. Сформировать навык в решении текстовых задач алгебраическим методом. Научить пользоваться математическим аппаратом в ходе подготовки к ГИА и ЕГЭ и выполнении задания В13.

Глава 1. Классификация текстовых задач, решаемых в 9-11 классах при подготовке к ГИА и ЕГЭ

Текстовые задачи, как цель и средство обучения математике

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

В процессе обучения математике в школе у учащихся формируются способности к воспроизведению знаний, а так же развиваются их творческие способности. Одни сведения из курса математики должны быть усвоены прочно всеми учащимися, изучение других сведений служит целями развития. Важное значение в достижении всех этих целей, имеет обучение решению задач, однако для достижения каждой из целей нужны свои задачи, своя система задач, соответственно и своя методика обучения их решению. Задачи в обучении должны выполнять свои функции (дидактические, познавательные и развивающие).

Бывают задачи, решение которых требует расширения существующей теории, но школьные задачи обычно решаются на основе известных из теоритической части курса предложений. Вся трудность задач в надлежащем выборе этих предложений, в комбинировании их, во введении разного рода дополнительных преобразований, дополнительных элементов фигуры, делающих возможным применение тех или иных предложений. Иногда вся трудность сводится к математическому оформлению ее условий, к переводу их на общепринятый математический язык (решение задач на составление уравнений). В то время как решение задач – примеров имеет целью либо содействие лучшему усвоению теории, либо тренировке в технике применения того или иного приема. Решение задач в собственном смысле этого слова имеет целью развитие математического мышления и является первичной формой творческой исследовательской работы. В этом и заключается значение задач в школьном курсе математики.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в ее современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличия от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач.

Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности

Задачи на проценты

Слово процент от латинского слова procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста» , а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в финансовых и хозяйственных расчетах, статистике, науке и технике.

Задачи на проценты встречаются в ЕГЭ, в заданиях В1 и В13.

Для решения задач на проценты достаточно хорошо усвоить само понятие процента.

Одну сотую часть величины называют процентом этой величины (1%).

Например, 1% от 24000 рублей – это часть от 24000 рублей:

*24000 = 240 рублей.

Понятно, что сама величина составляет 100 сотых или 100% от самой себя.

Нахождение процента от данного числа.

Найдите 8% от 400кг.

Решите. 8% величины равны от нее:

= 8 *4 =32 кг.

Некоторым удобнее эту задачу решать, не используя в записи дробей: сначала найти 1%, а затем умножить полученный результат на 8, т.е.

400 : 100 *8 =32 кг.

Нахождение числа по его проценту.

3600 рублей составляют 40% цены телевизора. Сколько стоит телевизор?

Решение. Так как 3600 рублей составляют 40% цены телевизора, то 1% цены в 40 раз меньше 3600 рублей:

3600 : 40 =90 рублей.

Цена телевизора в 100 раз больше своего 1% :

90 * 100 = 9000 рублей.

Ответ: 9000 рублей.

Те, кто любит работать с дробями, могут записать это решение короче:

3600 : = = 9000 рублей.

Сколько процентов одна величина составляет от другой величины?

В классе 30 учеников, среди них 18 мальчиков. Сколько процентов от числа учеников составляют мальчики?

Решение. Мальчики составляют всех учеников класса. С другой стороны, все ученики класса составляют 100%. Значит нужно найти от 100%:

=60%

Ответ: 60%.

Рассмотрим еще один пример. В городе два магазина. В первом висит объявление о снижении цен на 60%, во втором – о снижении цен в 2,5 раза.

Спрашивается, в какой магазин пойти покупателю, если цены в обоих магазинах до снижения были одинаковыми? Большинство почему-то выбирает второй магазин, хотя ответ здесь : в ближайший к дому. И впрямь, уменьшение величины, а на 60% дает 0,4а. но уменьшение величины, а в 2,5 раза приводит к тому же результату: получаем

=0,4а.

Отметим еще следующее. Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов, а затем уменьшение результата на тоже число процентов не приводит к начальной величине: ведь второе действие мы совершаем уже с другой величиной. То же самое можно сказать и об обратной последовательности действий. Любопытно, что в любом случае получим в итоге величину, меньшую начальной. Например, увеличив а на 10%, получим 1,1а, уменьшив полученную величину на 10%, получим 0,99а.

Полученная величина меньше начальной на 1%. При этом порядок действий не играет роли: если сначала, уменьшить а на 10%, а затем результат увеличить на 10%, получим те же самые данные.

Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки?

Решение: обозначим через Р стоимость одной рубашки, через К – стоимость куртки. Из условия задачи следует, что 5Р =0,75К, откуда Р = 0,15К, и, следовательно, 7Р = 1,05К. Значит, семь рубашек дороже куртки на 5%.

Ответ: 5.

Задачи на смеси и сплавы

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников и абитуриентов, кажутся многим из них довольно сложными. В таких задачах речь обычно идет о растворах некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания.

При решении задач на смеси и сплавы постоянно приходится работать со следующими понятиями:

а) масса растворенного вещества в растворе;

б) процентное содержание вещества в растворе;

в) масса раствора.

Предполагают, что:

а) все получившиеся смеси и сплавы являются однородными;

б) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

Определения и обозначения из школьного предмета – химии, на которые мы опираемся при решении данных задач при изучении математики.

Массовая доля растворенного вещества в растворе – это отношение массы этого вещества к массе раствора.

W = (1)

ГдеW –массовая доля растворенного вещества в растворе;

m(в-ва) –масса растворенного вещества в растворе;

m(р-ра) – масса раствора.

Следствия формулы (1)

m(в-ва) = W * m(р-ра) (2)

m(р-ра) = (3)

введем обозначения:

m1(в-ва),m2(в-ва),m(в-ва)- массы растворенных веществ в соответствующих растворах.

m1(р-ра),m2(р-ра),m(р-ра) – массы соответствующих растворов.

При решении задач удобно составлять следующую таблицу.

Составляется система уравнений m1 + m2 =m3

0,0a *m1 + 0,0b * m2 = 0,01c(m1 + m2)

Задачи на движение

Данный пункт посвящен текстовым задачам в той их части, которую составляют задачи на движение. Во всех таких задачах допускается определенная идеализация: считается, что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости (в том числе скорость течения) постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах и т.д. Движущиеся тела считаются материальными точками (если не оговорено противное), т.е. не имеющими размеров и массы (вернее, их размеры и масса несущественны для решения задачи). Даже решение задач на движение по окружности не требует применения специальных понятий – угловой скорости и т.п.; здесь точнее было бы говорить о движении по замкнутой трассе. Если расстояние между пунктами, из которых начинают движение два тела, не задано, иногда бывает удобно положить его равным единице.

При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое – приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) и разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение по окружности.

Основными типами задач на движение являются следующие.

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),

Движение по окружности (замкнутой трассе),

Задачи на движение по воде,

Задачи на среднюю скорость,

Задачи на движение протяженных тел.

Рассмотрим более подробно каждый из этих типов задач, выделив, где необходимо, базовые задачи.

Движение на встречу.

Если расстояние между двумя движущимися навстречу друг другу телами равно s, а их скорости v₁и v₂, то время t, через которое они встретятся, находится по формуле

t = . (4)

Задача.

Расстояние между городами А и В равно 435км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В со скоростью 65 км/ч выехал второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение. Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно

435 – 60 = 375(км)

Поэтому автомобили встретятся через время

t = = 3 (ч).

Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и проедет 60 *4 = 240 (км)

Ответ: 240 километров.

Движение вдогонку.

Если расстояние между двумя телами равно s, то они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v₁иv₂ соответственно(v₁ >v₂)так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле

t = .

Задача.

Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение. Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т.е. 0,3 км, находим по формуле

t = = 0,2 (ч)

следовательно, это время составляет 12 минут.

Ответ: 12 минут.

Движение по окружности (замкнутой трассе).

Рассмотрим движение двух точек по окружности длиныs в одном направлении при одновременном старте со скоростями v₁иv₂ (v₁>v₂) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v₁ – v₂, получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку:

t=.

Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁>v₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ – v₂ и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Задача.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть скорость второго автомобиля x км/ч. Поскольку 40 минут составляют часа и это – то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим уравнение

=, откуда 160 – 2х = 42, т.е. х = 59.

Ответ: 59 километров в час.

Задачи на движение по воде.

В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения – вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения.

Задача.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение. Пусть искомая величина равна 2х км. Составим по условию задачи уравнение

++ 5 =30, откуда + =25, = 25, =25, х = 308

308*2= 616( км).

Ответ: 616 километров.

Задачи на среднюю скорость.

Средняя скорость вычисляется по формуле

V= ,

Гдеs- путь, пройденный телом, а t – время, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и все время движения. Например, если путь состоял из двух участков протяженностьюs₁иs₂, скорости на которых были равны соответственно v₁иv₂, то s =s₁ +s₂ , t = t₁+t₂,

Гдеt₁ = , t₂ = .

Задача.

Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Обозначим длину всей трассы через 3s. Тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время t₁ = , вторую треть – за время t₂= , последнюю треть – за время t₃ = . Значит, время потраченное им на весь путь, равно ++ = .

Поэтому искомая средняя скорость находится по формуле

V = 3s : = 16 (км/ч).

Ответ: 16 километров в час.

Задачи на движение протяженных тел.

В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае – расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

Задача.

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длинной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х (м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние

S = 400 + 80 + 120 +600 = 1200(м), поэтому х = 1200 : 12 = 100(м/мин)

Т.е. 6 км/ч

Ответ: 6 километров в час.

Задачи на производительность

В определенном смысле задачи на работу схожи с задачами на движение: роль скорости здесь играет производительность, роль расстояния – объем работы. В тех случаях, когда объем работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равном единице. Существенно, разных задач здесь практически нет, во всех случаях речь идет о выполнении определенной работы, меняются только сюжеты, а «математическая »фабула остается одной и той же. Иногда в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны, решение которых, вообще говоря, не имеет ни каких специфических черт по сравнению с другими задачами на работу.

Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ. Правда, для этого порой приходится прибегать к гипотетическим допущениям.

Задача. Маша и Даша за день могут прополоть 3 грядки, Даша и Глаша – 4 грядки, а Глаша и Маша – 5 грядок. Спрашивается, сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?

Решение. Вообразим , что сначала Маша и Даша работали один день, а потом Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали еще один день. Получается, что каждая из девочек работала два дня или что бригада, состоявшая из Маши, Даши, Глаши, прополола 3 + 4 + 5 =12 грядок за два дня. Значит, за один день эта бригада прополет вдвое меньше грядок, т.е. 6 грядок

Ответ: 6 грядок..

Задачи на работу.

Ключевой в задачах на работу является следующая задача: первый мастер может выполнить некоторую работу за а часов, а второй мастер – за в часов. За какое время выполнят работу оба мастера, работая вдвоем?

Решение. Поскольку объем работы не задан, его можно принять равным единице. Тогда первый мастер за один час выполнит часть работы, равную , второй - , а оба мастера – часть работы, равную + . значит, всю работу они выполнят за время t = .

Задача.

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение. За 3 часа первый рабочий сделал всей работы. Оставшиеся работы рабочие делали уже вместе и потратили на это :=6 (ч).

Значит, время, затраченное на выполнение всего заказа, составляет 9 часов.

Ответ:9 часов.

Задачи на бассейны и трубы.

Как уже отмечалось, задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Модельная ситуация остается той же, только мастерам будут соответствовать насосы разной производительности, а работа будет заключаться в наполнении бассейна или иного резервуара.

Задача.

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба?

Решение. Пусть первая труба пропускает хлитров воды в минуту, х0. Тогда вторая труба пропускает х + 6 литров воды в минуту. Составим по условию задачи уравнение

- =10, откуда, разделив обе части уравнения на 10, получим

- =1

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю =1

Откуда х (х +6) = 36 *6 и х² + 6х -216 = 0

Корнями полученного квадратного уравнения являются числа -18 и 12, из которых только последнее удовлетворяет условию х > 0.

Ответ: 12 литров.

Глава 2. «Алгебраический метод решения текстовых задач в ходе подготовки к ГИА и ЕГЭ»

2.1 Элективный курс «Алгебраический метод решения текстовых задач в ходе подготовки к ГИА и ЕГЭ»

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. Поэтому и возникает необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики. Поэтому возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.Что возможно в рамках элективного курса « Алгебраический метод решения текстовых задач при подготовке к ГИА и ЕГЭ» Курс рассчитан на 34 часа, т.е. на 1 час в неделю в течение учебного года.

Учебно – тематический план ( элективный курс, 34ч.).

Тема 1. Текстовые задачи на смеси и сплавы – 8часов.

Основные понятия -1час.

Решение задач с помощью составления уравнений – 3 часа

Решение задач с помощью составления системы линейных уравнений – 3 часа

Задачи на многократное переливание – 1час.

Тема 2. Текстовые задачи на движение – 13 часов

Основные понятия – 1 час

Задачи на движение по прямой – 4 часа

Задачи на движение по окружности – 1 час

Задачи на движение по воде – 4 часа

Задачи на среднюю скорость – 1 час

Задачи на движение протяженных тел – 2 часа

Тема 3. Задачи на производительность – 6 часов

Основные понятия – 1 час

Решение задач с помощью составления уравнения – 2 часа

Решение задач с составлением системы уравнений – 3 часа.

Тема 4. Задачи на работу – 5 часов.

Основные понятия – 1 час

Решение задач с помощью составления уравнения – 2 часа

Решение задач с составлением системы уравнений – 2 часа.

Тема 5. Задачи на бассейны и трубы – 2 часа

Решение задач с помощью составления уравнения – 2 часа

Итого: 34 часа.

2.2 Решение некоторых задач, входящих в элективный курс «Алгебраический метод решения текстовых задач в ходе подготовки к ГИА и ЕГЭ»

Задачи на смеси и сплавы.

Решение с помощью составления уравнения:

Задача 1.

Сколько надо взять 5%-го и 25%-го раствора кислоты, чтобы получить 4 литра 10%-го раствора кислоты.

Решение.

Пусть первого раствора нужно взять х литров, тогда второго – (4 - х) литров; тогда кислоты будет взято 0,1 * 4 = 0,4 или 0,05х + 0,25(4 - х)литров.

Составим и решим уравнение:

0,05х + 0,25(4 - х) = 0,4

1 – 0,2х = 0,4

0,2х = 0,6

Х = 3.

Надо взять 3 литра первого раствора, и 4 – 3 = 1(л) – второго раствора.

Ответ: 3л и 1л.

Задача 2.

К 40%-ному раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора?

Решение:

Пусть первоначальный вес раствора х г; тогда вес конечного раствора – (х + 50)г. Количество чистого вещества в первом растворе – 0,4х г, а во втором 50 г, а в конечном растворе – 0,6(х + 50)г.

Составим и решим уравнение.

0,4х + 50 = 0,6(х + 50)г

-0,2х = 30 - 50

0,2 х = 20

х = 100.

Поэтому вес первоначального раствора 100 граммов.

Ответ: 100г.

Задача 3.

В сосуд, содержащий 8 литров 30- процентного раствора некоторого вещества добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение. Пусть концентрация получившегося раствора равна – х%. Процентное содержание некоторого вещества в растворах величины обратно пропорциональные. Составим уравнение;

= , 15х = 240, х =16.

Ответ: 16 процентов.

Задачи для факультативных занятий и самостоятельных работ.

Имеется кусок сплава меди с оловом 12 кг содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получился новый сплав содержащий 40% меди?

Из сосуда, содержащего 54л чистой кислоты, вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, осталось чистой кислоты 24л. Сколько кислоты вылили в первый раз?

В сосуд, содержащий 10 литров 24% - ного водного раствора некоторого вещества добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет конценрация получившегося раствора?

Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 3о% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Смешали 14 литров 30 – процентного водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18 – процентного раствора этого вещества.

Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение текстовых задач составлением систем уравнений.

Для решения задач на смеси и сплавы иногда приходится применять системы уравнений.

Задача 1.

Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение.

Пусть 30%-ного раствора взято х г,

а 10%-ного раствора взято у г.

Тогда масса нового раствора – (х + у) г,

По условию задачи - 600г, то есть имеем

х + у = 600.

Так как первый раствор 30%-ный то в х г этого расвора содержится 0,3х г кислоты, а в у граммах 10%-ного раствора содержится – 0,1у г кислоты.

В полученной смеси по условию задачи содержится

600 * 0,15 = 90 (г) кислоты, откуда следует 0,3х + 0,1у =90.

Составим и решим систему уравнений.

х + у = 600

0,3х + 0,1у = 90

х + у =600

3х + у =900

2х =300

х = 150, у= 450 Ответ: 150г первого раствора и 450г второго раствора было взято.

Задача 2.

Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть в первом сосуде содержится х% кислоты, а во втором – у% кислоты.

Для решения задачи по ее условию составим две таблицы, каждая из которых дадут по уравнению для составления системы.

Составим первое уравнение: х + 0,2у = 86,4

Составим второе уравнение: 0,01х +,001у =1,56.

Составим систему двух уравнений:

0,01х =0,01у =1,56

х+ 0,2у = 86,4.

Х=69, у=87

Ответ: 69 килограммов

Задачи для факультативных занятий и самостоятельных работ

В сосуде было 12л чистого спирта. Часть спирта отлили, и сосуд долили водой. Затем отлили еще столько же и опять долили водой. Сколько (в литрах) отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-й раствор спирта?

Имеются два сосуда, содержащие 42 кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора – 4л, а другого – 6л. Если их слить вместе, то получится

35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из них первоначальных растворов?

Задачи на движение.

Задача 1.

Расстояние между пунктами А и В составляет 180 км. Скорость первого лыжника на 3 км/ч больше скорости второго лыжника, поэтому он затрачивает на путь от пункта А в пункт В на два часа меньше второго. Какова скорость первого лыжника?

Решение.

Пусть скорость первого лыжника х км/ч, тогда скорость второго лыжника (х - 3) км/ч.

ч – время, затрачиваемое первым лыжником,ч – время, затрачиваемое вторым лыжником. По условию 180/х < 180/х-3 на 2ч.

Составим и решим уравнение.

-=2 / * х(х - 3),

180х -180(х-3 ) – 2х(х-3) = 0

540 – 2х² + 6х = 0

2х² – 6х – 540 = 0

Х² -3х -270 =0

х₁=18 х₂ =-15 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 18 км/ч.

Задача 2.

Скорость первой машины на 10 км/ч больше скорости второй машины, поэтому расстояние в 480 км первая машина преодолевает на часа быстрее второй. Найдите скорость второй машины?

Решение.

Пусть скорость 2 машины - х км/ч, а скорость 1 машины - (х + 10)км/ч.

Составим уравнение.

- = / 3х(х + 10);

3* 480(х + 10) – 480 *3х - 2х(х + 10) = 0;

1440х + 30 * 480 – 1440х - 2х² – 20х = 0;

х² + 10х – 720 = 0:

х₁= 80 х₂ = -90 – не удовлетворяет условию задачи. Ответ: скорость второй машины 80 км/ч.

Задача 3.

Расстояние в 60 км поезд должен пройти с определенной скоростью за определенное время. Постояв, у семафора 5 минут машинист вынужден увеличить скорость на 10 км/ч, чтобы наверстать потерянные 5 минут. С какой скоростью должен пройти поезд 60 километров по расписанию?

Решение.

Пусть скорость поезда по расписанию равна х км/ч..

Составим таблицу.

Составим и решим уравнение.

- = / 12х(х + 10)

720(х + 10) - 720х = х(х + 10)

х² + 10х – 7200 = 0

х₁ = -90 х₂ = 80

Ответ: поезд должен идти со скоростью 80 км/ч.

Задача 4.

Расстояние между пунктами А и В, расположенными на реке равно 80 км. Катер прошел путь туда и обратно за 8 часов 20 минут. Сколько времени катер затратил на весь путь, если собственная скорость катера 20 км/ч?

Решение.

Пусть скорость течения реки х км/ч., тогда скорость катера по течению - (20 +х) км/ч.,а против течения – ( 20 – х) км/ч.

Составим таблицу.

Составим и решим уравнение.

+ = 8

+ = / 3(20 +х)(20 -х)

240(20 -х) + 240(20 +х) = 25(20 +х)(20 - х)

9600 = 10000 – 25х²

25х² =400

х₁ =16 х₂= -4 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: катер затратит на весь путь 16 часов.

Задача 5.( арифметический метод)

Автомобиль первые 150 км двигался со скоростью 50 км/ч, следующие 300 км со скоростью 60 км/ч , последние 150 км со скоростью 75 км/ч, Найдите среднюю скорость автомобиля?

Решение.

Найдем среднюю скорость автомобиля

== 60 (км/ч). Ответ: средняя скорость 60 км/ч.

Задачи для факультативных занятий и самостоятельных работ.

Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в город В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в километрах в час.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 110 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в километрах в час.

Два велосипедиста одновременно отправились в 110-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в километрах в час.

Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 224 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 99 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой 400м, за 20 с. Найдите длину поезда ( в метрах )

Задачи на производительность.

Задача 1.

Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый делал в день на две детали больше второго и работал 7дней, а второй работал 8 дней. Сколько деталей в день изготовлял каждый рабочий?

Решение.

Зная, что вместе они изготовили 74 детали, составим уравнение

7(х + 2) + 8х = 74

15х = 60

Х = 4 4 +2 = 6

Ответ: 6 деталей, 4 деталей.

Задача 2

Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

Решение.

>на 2 часа.

Составим уравнение.

- = 2 / х(х + 2)

224(х + 2) – 224х = 2х² + 4х

448 = 2х² + 4х

х² + 2х – 224 = 0

х₁ = 14 х₂ = -16 – не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 14 деталей.

Задача 4.

Заказ на изготовление 154 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше?

Решение.

По условию

на 3

Составим уравнение.

- =3

Ответ: 11 деталей.

Задача 5.

На изготовление 21 детали первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 35 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение.

Составим и решим уравнение.

- = 4 / х(х + 2)

35(х + 2) – 21х = 4х² + 8х

35х +70 – 21х = 4х² + 8х

6х – 4х² +70 =0

2х² – 3х – 35 =0

х=5, х=-3,5 –не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 5 деталей

Задача 6.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если за 2 дня выполнит такую же часть работы, как второй за 3 дня.

Решение.

Составим уравнение.

+ = / 12х

12 + 18 = х

х = 30. Ответ: за 30 дней.

Задачи для факультативных занятий и самостоятельных работ.

1.Заказ на 120 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 2 детали больше?

2.На изготовление 20 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

3.Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 396 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

4.Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 572 литра она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 624 литра?

5.На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Заключение

Необходимость рассмотрения классификации и методов решения текстовых задач в 9 – 11 классах обусловлена тем, что умение решать задачи является высшим этапом в познании математики, что очень важно уметь делать выпускникам девятых, одиннадцатых классов, сдающих ГИА или ЕГЭ.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает речь учащихся, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Все методы решения текстовых задач ( в том числе и алгебраический) позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи); истолковать результат каждого действия в рамках условия задачи; проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков. От эффективности использования задач в обучении математике в значительной степени зависит не только качество обучения, воспитание и развитие учащихся, но и степень их практической подготовленности к последующей деятельности в любой сфере. Человеку в его практической деятельности приходится решать не только неоднократно повторяющиеся задачи, но и новые, никогда не встречающиеся, и выпускники средней школы к этому должны быть готовы.

Литература

1 Глазков Ю. А. Варшавский И. К. Гаиашвили М. Я. ЕГЭ математика. Решение задач группы В. Москва, « Экзамен». 2009

2.Кочагин В. В., Кочагина М. Н. ЕГЭ 2010 Математика. Сборник заданий.

Москва, «Эксмо», 2009

3.Высоцкий И. Р. Гущин Д.Д. Захаров П. И. и др. ЕГЭ Универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика. Москва, « Интелект – Центр», 2010

4.Балаян Э. Н.ЕГЭ – это очень просто! Математика. Ростов на Дону, « Феникс», 2007

5.Лысенко Ф. Ф. Кулабухова С. Ю. Математика. Повторение курса в формате ЕГЭ. Рабочая программа 11 класс. Ростов на Дону, « Легион – М», 2011

6. Роганин А.Н. ЕГЭ Математика Универсальный справочник. Москва, « Эксмо», 2010

7.Корешкова Т. А. Мирошин В. В. Шевелева Н. В.ЕГЭ Математика Тренировочные задания. Москва, « Эксмо»,2010

8.Кочагин В. В. Кочагина М. Н. ЕГЭ 2011 математика. Тематические тренировочные задания. Москва, « Эксмо»,2010

9.Высоцкиц И. Р. Ященко И. В.ЕГЭ 2013 Математика Типовые экзаменационные материалы. Москва, « Национальное образование», 2012

10. Семенов А. Л. Ященко И. В.ЕГЭ 3000 задач с ответами по математике. Москва, « Экзамен»,2012

11. Семенов А.Л. Ященко И. В. ГИА 3000 задач с ответами Математика. Москва, « Экзамен»,2013

12.Семенов А. В. Трепалин А. С. Ященко И. В. Захаров П.И . Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме Математика 2013. Москва, « Интеллект –Центр», 2013

13. Шноль Д.Э. «ЕГЭ 2011 Математика Задача В1». Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко Москва Издательство МЦНМО

2011г.

14. С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин «ЕГЭ 2011 Математика Задача В12». Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко Москва издательство МЦНМО 2011г.

15. А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И. Захаров «оптимальный банк заданий для подготовки учащихся, ЕГЭ 2013 Математика» Москва «Интеллект-Центр» 2013г.

17. Мордкович А.Г. «Алгебра 8 класс» Мнемозина, 2009г.

18. Мордкович А.Г. «Алгебра 9 класс» Мнемозина 2009г.

19. Рурукин А.Н. «Поурочные разработки по алгебре к УМК А.Г. Мордковича 7 класс» Москва, «ВАКО» 2011г.

20. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Зеленский Ю.М. «Поурочные разработки по алгебре к УМК А.Г. Мордковича 8 класс» Москва, «ВАКО» 2010г.

21. Рурукин А.Н., Масленникова И.А., Мишина Т.Г. «Поурочные разработки по алгебре к УМК А.Г. Мордковича 9 класс» Москва «ВАКО» 2011г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/219325-sistema-podgotovki-k-gia-i-egje-na-temu-tekst