Задачи на сплавы и проценты

Автор разработки материала:

Потапова Светлана Викторовна

Учитель математики

МБОУ «СОШ №61 г.Владивостока»

Задачи на сплавы и смеси

Очень удобно решать, если составить схему по условию задачи.

1. В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

12 %

0 %

Х %

5 л 7 л 5 л +7 л

По условию задачи составляем уравнение:

5∙12 +7∙0 =(5+7) ∙х; 60 + 0 = 12x; х = 5.

Ответ: 5 %.

2

Х %

15 %

19 %

t л t л ( t + t) л

По условию задачи составляем уравнение:

15t + 19t = (t + t)x;

34 = 2x;

х = 17.

Ответ: 17 %.

3. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?

Решение:

1)Определим содержание сухого вещества:

100%-98%=2%-собранных грибов;

100%-93%=7% - после подсушивания

2

9899299915 %

7 %

2 %

7%

140 кг х кг

По условию задачи составляем уравнение:

140∙2=7х;

х=40.

Ответ: 40кг.

4. В колбе было 200г 80% спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

80%

808%

0 %

60 %

80%

80%

0%

60 %

200 г х г х г 200 г

Составляем уравнение:

200∙80 - 80х +0∙х=60∙200; 80х=200∙20; х=50.

Ответ: 50грамм.

5. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой – 30% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го?

1011 %

3010%

%

25%

10%

30%

25%

Х кг (200 - х ) кг 200 кг

1)По условию задачи составляем уравнение:

10 х + 30 (200 – х) = 200∙ 25; 2 х = 100; х = 50;

2) 200-50= 150 (кг) –масса 2-го сплава;

3)150- 50 =100(кг)-меньше 1-й сплав.

Ответ: на 100 кг.

6. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 12% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

5 %

12%

10 %

5%

12%

10%

х кг ( х + 3 ) кг (х + х + 3) кг

1)По условию задачи составляем уравнение:

5х + 12 (х + 3) = ( х+ х+ 3 ) 10; х = 2;

2) 2+2+3 =7(кг).

Ответ: 7кг.

7. Имеется два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230г золота и 20г меди, а второй слиток- 240г золота и 60г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого из первого слитка.

Решение:

Определим %-содержание золота в каждом слитке.

1) 230 : (230+20)=0,92 – 92% золота в первом слитке;

2) 240 : (240+60)=0,8 – 80% золота во втором слитке;

3) Пусть х г куска взяли из первого слитка, тогда из второго-(300-х)г;

92 %

80%

84 %

92%

80%

84%

х г (300-х) г 300 г

По условию задачи составляем уравнение:

92х +(300-х)∙80 =84∙300;

92х -80х = 84∙300 -80∙300;

12х = 4∙300;

12х=1200;

х=100.

Ответ: 100 грамм.

Подобные задачи:

Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой – 40% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 30% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой – 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой  — 35% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 225 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го?

 Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 12% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

 Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 14% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 7 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Задачи на проценты.

увеличено на р% уменьшено на р %

Новое число

А (1 + 0,01р)^п

Число А

Увеличилось на р % п-раз

Предлагаю решение ряда задач на проценты с помощью данных схем.

1. Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 000 руб­лей, через два года был про­дан за 15 842 руб­лей.

Решение:

х

20 000 руб.

Уменьшилась на х % 2 раза

20 000 (1-0,01х)² =15842

2. Кли­ент А. сде­лал вклад в банке в раз­ме­ре 7700 руб­лей. Про­цен­ты по вкла­ду на­чис­ля­ют­ся раз в год и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. Ровно через год на тех же усло­ви­ях такой же вклад в том же банке сде­лал кли­ент Б. Еще ровно через год кли­ен­ты А. и Б. за­кры­ли вкла­ды и за­бра­ли все на­ко­пив­ши­е­ся день­ги. При этом кли­ент А. по­лу­чил на 847 руб­лей боль­ше кли­ен­та Б. Какой про­цент го­до­вых на­чис­лял банк по этим вкла­дам?

Составим таблицу:

По условию задачи составляем уравнение:

7700(1+0,01х)²-7700(1+0,01х)=847;

Введем новую переменную у=1+0.01х и решим квадратное уравнение:

7700у²-7700у-847 =0; у=1.1;

тогда 1,1=1+0,01х;

х=10.

Ответ: 10%.

3. В 2014 году в го­род­ском квар­та­ле про­жи­ва­ло 40 000 че­ло­век. В 2015 году, в ре­зуль­та­те стро­и­тель­ства новых домов, число жи­те­лей вы­рос­ло на 8%, а в 2016 году на 9% по срав­не­нию с 2009 годом. Сколь­ко че­ло­век стало про­жи­вать в квар­та­ле в 2010 году?

Решение:

40 000 чел.

Увеличилось на 8 %

40 000 (1+0,08) =43 200чел.

х

2

43 200 чел.

Увеличилось на 9 %

43 200 (1+0,09) =47 088чел.

х

Ответ: 47 088 человек.

4. В по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на не­ко­то­рое ко­ли­че­ство про­цен­тов, а во втор­ник по­де­ше­ве­ли на то же самое ко­ли­че­ство про­цен­тов. В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на 4%де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник. На сколь­ко про­цен­тов по­до­ро­жа­ли акции ком­па­нии в по­не­дель­ник.

Р

Первоначальная стоимость акций

А руб.

увеличилась на Х %

Стоимость в понедельник

А ( 1+ 0,01Х)руб.

на 4% меньше

Стоимость во вторник

А(1+0,01Х)(1-0,01Х)

А руб.

А(1+0,01х)(1-0,01х)=А(1-0,01^.4%);

1-0,0001х²=1-0,04;

х=20.

Ответ: на 20%.

5. Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р %. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. Насколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Решение:

Зарплата А

А(1+0,01р)

А(1+0,01р)(1+0,01*2р)

В 1,32 раза больше

По условию задачи составляем уравнение:

А(1+0,01р)(1+0,01*2р)=1,32А;

p²+150р-1600=0;

p=10;

2р=20.

Ответ: на 20%.

6. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили ещё на 10% и, наконец, после перерасчёта произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Зарплата А

А(1+0,25)=1,25А

1,25А(1+0,1)=1,375А

1,375А(1+

0,12)=1,54А

Ответ: на 54%.

Подобные задачи:

1.В 2014 году в районе проживало 50 000 человек. В 2015 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на …%, а в 2016году – на …% по сравнению с 2015 годом. Сколько человек стало проживать в районе в 2016 году?

В среду акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на не­ко­то­рое ко­ли­че­ство про­цен­тов, а во четверг по­де­ше­ве­ли на то же самое ко­ли­че­ство про­цен­тов. В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на …%де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в среду. На сколь­ко про­цен­тов по­до­ро­жа­ли акции ком­па­нии в среду?

Цена телевизора в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена телевизора, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 19800 руб­лей, через два года был про­дан за 16038 руб­лей.

Цена изделия составляла 1000рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Цену товара понизили на…%, затем новую цену понизили ещёна ...% и, наконец, после перерасчёта произвели понижение цены еще на …%. На сколько процентов понизили первоначальную цену товара?

Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 150 000 рублей через 2 года?

Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%,а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

Список использованных источников:

1) https://ege.sdamgia.ru/

2) Решение задач группы В / Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили;

3) ЕГЭ 2008. Математика. Сборник заданий / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/229201-zadachi-na-splavy-i-procenty