Методические рекомендации по организации внеаудиторной самостоятельной работы по геометрии

Министерство образования, науки и молодежной политики

Краснодарского края

ГБПОУ КК «Колледж Ейский»

Методические рекомендации по организации

внеаудиторной самостоятельной работы

по геометрии

Ейск, 2016

Методические рекомендации по геометрии содержат внеаудиторные самостоятельные работы, которые студенты должны выполнить в течение учебного года, подробные инструкции по выполнению заданий для внеаудиторной самостоятельной работы, форму выполнения задания, критерии оценивания работ, подробный перечень литературы для студентов.

Разработчик: преподаватель ГБПОУ КК «Колледж Ейский» Л.С.Черных

Содержание

Введение

Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:

1. Изучение материала по учебнику.

2. Выполнение еженедельных домашних заданий.

3. Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы (ВСР).

В сборнике предлагается перечень внеаудиторных самостоятельных работ, которые должны выполнить в течение учебного года. При выполнении (ВСР) студент может обращаться к преподавателю для получения консультации. Внеаудиторная самостоятельная работа студентов – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.

Целью самостоятельной работы студента является:

обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;

формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;

формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.

Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы студента, в образовательной среде колледжа являются:

систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;

развитие исследовательских умений.

Контроль результатов самостоятельной работы студента может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия и самостоятельную работу по дисциплине математика и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением изделия или продукта творческой деятельности.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы учащегося являются:

уровень освоения учебного материала;

умение использовать теоретические знания и умения при выполнении практических задач;

уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.

Выполнение ВСР способствует формированию общих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес. ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы. ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач. ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности. ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

Указания к выполнению ВСР

1. ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета.

2. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

3. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

4. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.

Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Самостоятельная работа № 1 «Параллельное проектирование»

Цель: научиться выполнять параллельное проектировании и вычислять площадь проекции фигуры.

Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа. С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надотрехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать? Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование.

Возьмем объемное тело. Выберем плоскость проекции. Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

Как строить проекции объемных тел? Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют: Проекцией отрезка будет отрезок.

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.

Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки. Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

цилиндра:

и шара:

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании. С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

Иногда в задачах требуется найти площадь прямоугольной проекции фигуры.

Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S cosφ, где φ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

ЗАДАНИЕ

Дана параллельная проекция треугольника. Построить проекции медиан этого треугольника.

Дана параллельная проекция треугольника. Построить проекции средней линии.

Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричная фигура.

Дана параллельная проекция окружности и диаметра. Построить проекцию перпендикулярного диаметра.

Дан равносторонний треугольник со стороной 4 см. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол:

30°; 2) 45°; 3) 60°

Самостоятельная работа № 2

«Решение задач по теме: Теорема о трех перпендикулярах»

Цель:уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач.

Т еоретический материал

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение:Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

Вопросы для закрепления.

Как найти расстояние от точки до плоскости?

Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?

Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?

Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?

Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах

Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?

Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?

Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?

Что называется углом между прямой и плоскостью?

ЗАДАНИЕ

Вариант 1

Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.

Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.

Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD=1дм, ВС=8 дм?

Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата.SO= 4см.

Докажите равенство углов, образованных прямымиSA,SB,SD с плоскостью квадрата.

Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.

ОтрезокSA длиной 15 см – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором АС=10 см, АВ=6 см.

Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC имеют равные площади.

Вариант 2

Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ=2дм, АВ=8 дм?

Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата.SO= 4см. Точки K,L, M, N – середины сторон квадрата.

Докажите равенство углов, образованных прямымиSK,SL,SM,SN с плоскостью квадрата.

Найдите эти углы, если площадь АВСD равен 64 см².

ОтрезокSA длиной 6 см – перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором АС=8cм.

Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскости квадрата равны.

Самостоятельная работа № 3 «Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями»

Цель: Уметь находить угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.

Теоретические сведения

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Определим понятие угла между плоскостями.

Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

П усть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

ЗАДАНИЕ

Решить. Ответы обосновать.

Вариант 1

Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

В кубе A…D₁ найдите угол между прямой AA₁ и плоскостью AB₁C₁.

В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и CDD₁.

В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ACC₁ и BDD₁.

В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и BC₁D.

В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1,найдите угол между плоскостями ABC и BCD.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB₁C₁.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A₁B₁C.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранямиSABиSBC.

Вариант 2

Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 6. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 18. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

В кубе A…D₁ найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью BCC₁.

В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и CDA₁.

В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и BDD₁.

В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями BC₁D и BA₁D.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBCиABC.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC₁ и BCC₁.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB₁.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SADиSBC.

Самостоятельная работа: «Составление кроссвордов на тему: «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»»

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.

Правила составления кроссвордов

В общем случае определение должно состоять из одного предложения.

Определения должны быть по во возможности краткими. Следует избегать перечислений, не злоупотреблять причастными и деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными. Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью и содержательностью.

Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых слов, даже с различными определениями.

В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.

Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола, деепричастия.

Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.

В работе должна быть изюминка, то есть нечто, отличающее ее от миллионов других.

Запрещается помещать слова без пересечений (встречается и такое).

Не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску.

Образец оформления и составления кроссвордов:

По горизонтали:

1. Сторона прямоугольного треугольника.

4. Он есть у функции и последовательности.

8. Его штаны равны во все стороны.

10. Полный круг вращения.

13. Французский математик, специалист теории вероятностей.

14. Арифметическое действие.

16. Гектар — ... площади.

17. Часть матрицы.

18. Свойство углов.

19. Полупрямая.

22. Нейтральный элемент относительно умножения.

23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.

24. Наибольший общий ...

По вертикали:

2. Бублик как математический объект.

3. Положение, нуждающееся в доказательстве.

4. Поверхность, имеющая 2 измерения.

5. Линейное алгебраическое уравнение.

6. Тригонометрическая функция.

7. Один из двух экстремумов.

9. Функция по своей сути.

11. Часть прямой.

12. Линия.

15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.

17. Полный квадрат первого двузначного числа.

18. Для него необходимы натуральные числа.

20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.

21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.

Ответы:

Самостоятельная работа № 4 «Разложение вектора на составляющие».

Разложение вектора на составляющие

Для двух коллинеарных векторов  и  всегда имеет место соотношение: , где  - некоторое ненулевое число.

Если ввести в рассмотрение единичный вектор (или орт)  , длина которого равна единице:  и который коллинеарен вектору , то последний можно представить в виде: 

Произвольный вектор  можно представить в виде: , где ,  - произвольные числа, а тройка векторов , и  компланарна (рис. 1).

Определение

Представление  называется разложением вектора  по компонентам  и . Если векторы  и  не коллинеарны, то приведенное представление единственно. Для трех попарно неколлинеарных векторов ,  и  и произвольного вектора  существует единственное разложение:

Задание. Зная разложение  по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что .

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:

Выполнить задание:

ЗАДАНИЕ

Закончить решение задачи

Самостоятельная работа № 5 «Действия над векторами, с заданными координатами».

Цель:Знать правила действия над векторами и уметь их применять при вычислениях.

Теоретический материал

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.

Теорема.Вектор имеет координаты (x,y,z) тогда и только тогда, когда он представим в виде

Вариант 1

Вариант 2

Самостоятельная работа № 6 «Многогранники и их поверхности»

Цель: Знать формулы вычисления площади боковой и полной поверхности призмы, пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.

Теоретический материал

Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.

Основные формулы

ЗАДАНИЕ

Вариант 1

Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?

Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

Вариант 2

Объем куба равен 8 м³. Найдите площадь его поверхности.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Самостоятельная работа № 7 «Выполнение моделей многогранников»

Цель: Закрепить понятие правильных многогранников, при изготовлении моделей, используя развертки.

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Мо­дели многогранников можно сделать, поль­зуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.

Самостоятельная работа № 8 «Решение задач по теме: Тела вращения»

Цель: Знать формулы для вычисления площадей поверхности фигур вращения и уметь применять их при решении задач.

Теоретический материал

ЗАДАНИЕ

Вариант 1

Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м². Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?; в)объемы?

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Площадь большого круга шара равна 3 см². Найдите площадь поверхности и объем шара.

Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.

Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.

Прямоугольник вращается вокруг одной из сторон, равной 5см. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 100см². Найдите площадь прямоугольника.

Вариант 2

Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.

Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90^о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей? в)объемы?

Как изменится площадь поверхности и объем шара, если увеличить радиус шара в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм и 3 дм, описан шар. Найдите площадь его поверхности.

Прямоугольник, одна из сторон которого равна 5см, вращается вокруг неизвестной стороны. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 60 см². Найдите площадь прямоугольника.

Самостоятельная работа № 9 «Вычисление площадей плоских фигур»

Цель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;

Теоретический материал

Определение:Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.

.

Образец решения:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

у = 4 - х² и у=0

Решение:

1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: ;

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

ЗАДАНИЕ

Вариант 1

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.1.

1.2..

1.3..

1.4..

1.5..

Вариант 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

1.3. .

1.4. .

1.5. .

Самостоятельная работа № 10 «Объемы и площади поверхностей геометрических тел»

Цель работы: решать задачи на нахождение объемов и площадей поверхности геометрических тел.

Объемы и площади поверхностей тел

Наклонная призма

   Объем наклонной призмы

V=S_псa,

где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности наклонной призмы

S_б=P_псa,

где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности наклонной призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

Прямая призма

   Объем прямой призмы

V=S_оснa,

где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_б=P_оснa,

где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности прямой призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

Прямоугольный параллелепипед

   Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь боковой поверхности параллелепипеда

S_б=2c(a+b),

где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_п=2(ab+bc+ac),

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

V=a³, S_б=4a², S_п=6a²,

где a - ребро куба.

Пирамида

   Объем пирамиды

где S_осн - площадь основания, H - высота.
   Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
    Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.
    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

Усеченная пирамида

   Объем усеченной пирамиды

где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
   Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
   Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_п=S_б+S₁+S₂ ,

где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S₁ , S₂ - площади оснований.
   Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

где P₁ , P₂ - периметры оснований, а l - ее апофема.

Цилиндр

   Объем цилиндра

V=p R ²H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
   Площадь боковой поверхности цилиндра

S_б=2p R H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
   Площадь полной поверхности цилиндра

S_п=2p R H + 2p R²,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

Конус

   Объем конуса

где R - радиус основания конуса, а H - его высота.
   Площадь боковой поверхности конуса.

S_б=2p R L ,

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
   Площадь полной поверхности конуса

S_п=2p R (R+L),

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

Усеченный конус

   Объем усеченного конуса

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.
   Площадь боковой поверхности усеченного конуса

S_б=p L (R+r),

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.
   Площадь полной поверхности усеченного конуса

S_п=p L (R+r)+p R²+p r²,

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

Сфера и шар

   Объем шара

где R - радиус шара
   Площадь сферы (площадь поверхности шара)

S=4p R²,

где R - радиус сферы
   Объем шарового сегмента

где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара
   Объем шарового сектора

где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара

ЗАДАНИЕ

1. Выпишите формулы площадей поверхностей и объемов геометрических тел: призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, корпуса, шара.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 10 см. Боковые грани – квадраты. Найдите площадь поверхности призмы, ее объем.

3. Стороны основания прямого параллелепипеда 5 и 13 см, угол между ними 30º. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если меньшая его диагональ равна 25 см. Найдите объем параллелепипеда.

4. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 45º. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды.

5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 100 π см², его высота 10 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра; площадь полной поверхности и объем цилиндра.

6. Высота корпуса равна 5см. В сечении конуса равносторонний треугольник. Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра.

7. В шаре, радиуса 10 см на расстоянии 8 см от центра проведено сечение плоскостью. Найдите площадь сечения, площадь сферы, объем шара.

8. Треугольник со сторонами 5 см, 6 см, 9 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения и его объем.

9. Найдите объем шара, вписанного в цилиндр, диаметр цилиндра равен 3 см и равен высоте цилиндра.

10. Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое наименьший.

Литература:

Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.

Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.

Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.

Интернет - ресурсы

http://catalog.alledu.ru/predmet/math/

Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htm

Сайт-справочник правил, формул и теорем по математике:

http://matemathik.narod.ru/

Мир Геометрии: http://geometr.info/

Страна Математика: http://ww: http://geometr.info/w.bymath.net/

Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm

Графики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/

Виртуальная школа юного математика
http://math.ournet.md/indexr.html

http://khpi-iip.mipk.kharkiv.edu/library/datastr/book_sod/structura/chapter8.htm

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg26.html

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/236528-metodicheskie-rekomendacii-po-organizacii-vne