Мини учебник по геометрии 7 класс

№

п/п

Рисунок

Краткая запись условия и требования утверждения

Формулировка

утверждения

!

ЗАПОМНИ

1

2

3

4

1.

. В

А. а

А . . В

Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости (аксиомы І)

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну (см. п. 2)

2.

а

а)

b

А а

б) 

b

Две различные прямые на плоскости могут иметь не более одной точки пересечения (п.2, задача 3)

3.

С а



В 

А 

Основное свойство размещения точек на прямой (аксиома ІІ)

!

ЗАПОМНИ

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими (см.п.3)

4

а В

А АВ = а > 0

В

С 

А АВ =АС+СВ

Основные свойства измерения отрезков (аксиомы ІІІ)

!

ЗАПОМНИ

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой (см.п. 4)

Задача

Три точки А,В,С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка лежать между точками В и С.

Решение

Если точка А лежит между точками В и С, то по свойству измерения отрезков должно быть: ВС= АВ +АС. НО 3,2 4,3 + 7,5.

Значит, точка А не лежит между точками В и С.

5

а а

в

Основное свойство размещения точек относительно прямой на плоскости

(аксиома ІV)

!

ЗАПОМНИ

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (см.п.5)

1

2

3

4

6

D

С

A a

M

В N

Свойства разбиения плоскости на две полуплоскости

Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.

И наоборот, если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую (сим.п.5)

7

с b

180

d n a

 (ab)= n, n > 0

 (ad) =180

 (ac) = (ab) + (bc)

Основные свойства измерения углов (аксиомы V)

!

ЗАПОМНИ

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля.

Развернутый угол равен 180.

Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами (см. п. 7)

Задача 7а

Может ли луч с проходить между сторонами угла (ав), если  (ас)=30 , (св)=80 , (ав)=50 ?

Решение

Если луч с походит между сторонами угла (ав), то по свойству измерения углов должно быть:

 (ас) +  (св) = (ав). Но 30  + 80  50 .

Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (ав)

8

А

О m

отрезок ОА = m - единственный

Основное свойство откладывания отрезков (аксиома VI)

!

ЗАПОМНИ

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один (см. п. 8)

9

В

А

С

Д а н о:

Точка С принадлежит полупрямой АВ,

АС>АВ

Доказать:

С лежит между

А и В

если на полупрямой от ее начальной точки отложить два отрезка разной длины, то конец меньшего отрезка будет лежать между начальной точкой полупрямой и концом большего отрезка (задача 30)

10

b

n

О

a

 (ab) = n - единственный

0 < n < 180

Основное свойство откладывания углов

(аксиома VII)

!

ЗАПОМНИ

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один (см. п. 8)

1

2

3

4

11

С С1

А В А1 В1

АВС = А1В1С1

Определение равенства треугольников

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон (см. п.9)

Задача 11а

Треугольник АВС и РQК равны. Известно, что сторона АВ = 10 см, а С=90.

Чему равны сторона РQ и угол К?

Решение

Так как АВС = РQК, то РQ = АВ = 10 см,  К =  С = 90.

Ответ: 10 см, 90

12

В

С

А В1

А1

С1

А1В1С1 = АВС

Основное свойство существования треугольника, равного данному (аксиома VIII)

!

ЗАПОМНИ

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой (см.п.10)

13

а

В b

Основное свойство параллельных прямых (IX)

!

ЗАПОМНИ

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (смс.п.11)

14

а) С

а

А В

М

б ) С а

А М В

Д а н о:

ВАВС прямая а пересекает сторо-ну АВ, Аа, Ва, Са

Д о к а з а т ь:

апересекает только одну из сторон – АС или ВС

Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон (теорема 1.1, п. 12)

1

2

3

4

1

Свойства смежных углов

1.1

b

a1

a2 A

Дано:

(а1b) и (а2b)-смежные

Доказать:

(а1b)+(а2b)=180

Сумма смежных углов равна 180 (теорема 2.1, п.14)

!

ЗАПОМНИ

Задача 1.1 а

Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого

Решение

Так как сумма смежных углов 180, то х + 2х = 180

3х = 180 

х = 60

Значит, смежные углы 60 и 120 .

Ответ: 60; 120 

1.2.

b

a2 a1

d

c2 c1

Дано:

(а1b) и (а2b)-смежные

(с1d)и(с2d) – смежные

(а1b)=(с1d)

Доказать:

(а2b) = (с2d)

Если два угла равны, то смежные с ним углы также равны (следствие из теоремы 2.1, п.14)

1.3.

b

a2 A a1

b

a2 A a1

1) Дано:

(а1b) и (а2b)-смежные;

(а1b) = 90

Доказать:(а2b) = 90

2) Дано:

(а1b) и (а2b)-смежные;

(а1b) < 90

Доказать: 90 < (а2b) < 180

3) Дано:

(а1b) и (а2b)-смежные;

90<(а2b) < 180

Доказать:(а1b) < 90

Угол, смежный с прямым углом, является прямым углом; угол, смежный с острым углом, тупой; угол, смежный с тупым углом, острый (следствие из теоремы 2.1, п.14)

1.4.

b

1

3

a2 а1

b

2 4

a2 A a1

Дано:

1 и 3 – смежные;

2 и 4 – смежные;

1 > 2

Доказать:

3 <4

Чем больше угол, тем смежный с ним угол меньше, и наоборот (см. приложение, с.101)

1

2

3

4

2

b

a

О

Дано:

(аb) – не развернутый

Доказать:

(аb)<180

Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180 (следствие из теоремы 2.1, п.14)

3

а2 b1

b2 a1

Свойство вертикальных углов

Дано:

(a1b1) и (a2b2) - вертикальные

Доказать:

(a1b1) = (a2b2)

Вертикальные углы равны (теорема 2.2, п.15)

!

ЗАПОМНИ

Задача 3 а

Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50. Найдите эти углы.

Решение

Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные. Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50, а сумма смежных углов равна 180 . Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50, то каждый из углов равен 25.

Ответ: 25; 25

4

b

a

A

Определение перпендикулярных прямых

!

ЗАПОМНИ

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (см. п.16)

5

b

a

A

Дано: А а

Доказать:

1) через точку А можно провести прямую b такую, что bа;

2) b – единственная

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, причем только одну (теорема 2.3, п.16)

6

а

с

b

(ас) = (bс) =

Определение биссектрисы угла

!

ЗАПОМНИ

Биссектрисой угла называют луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (см. п. 18)

Задача 6а

Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный 75.

с Решение

а

в

Так как луч С – биссектриса угла (ав), то (ав) = 2  (ас) = 2  75 = 150

Ответ: 150 

1

2

3

4

1.

С В

А

С1

А1

В1

Первый признак равенства треугольников

Дано:

В АВС и А1В1С1

АВ = А1В1,АС= А1С1

 А = А1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними) (теорема 3.1, п.20)

!

ЗАПОМНИ

Задача 1а

Отрезки АF и ДЕ пересекаются в точке В так, что АВ =ВД, FB =BE. Доказать равенство треугольников АВЕ и ДВF

Решение

А Д

В

Е F

АВЕ = ДВF по первому признаку равенства треугольников. Действительно, у них АВ = ВД, FВ = ВЕ – по условию ,  АВЕ = FВД – как вертикальные.

2.

С В

А

С1

А1

В1

Второй признак равенства треугольников

!

ЗАПОМНИ

Дано:

В АВС и А1В1С1

АВ = А1В1,АС= А1С1

 А = А1 ,

 В = В1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (по стороне и прилежащим к ней углам) (теорема 3.2., п.22)

Задача 2а

Доказать равенство углов С и F, если СДВ = FВД и СВД = FДВ.

Решение

С F Действительно, у них СДВ = FВД , СВД =

FДВ – по условию, ВД – общая.

Из равенства СВД и FДВ следует

равенство углов С и F.

В Д

1

2

3

4

3

С

АВ

основание

Определение равнобедренного треугольника

!

ЗАПОМНИ

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (см.п.23)

Задача 3а

В Дано: АВС, АВ =ВС, АС – АВ = 3 см, Р=15,6см

Найти: Ас, АВ, ВС

Решение

А С АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АС.

Пусть АВ =ВС = х см, а АС = х + 3 (см).

Получим уравнение

х + х + х + 3 = 15,6

3 х = 12,6

х = 4,2

Значит, АВ = ВС = 4,2 см, АС = 7,2 см

Ответ: 4,2 см, 4,2 см, 7,2 см

4

С

АВ

Свойство углов равнобедренного треугольника

!

ЗАПОМНИ

Дано:

В АВС АС= ВС

Доказать:

В АВС  А= В

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (теорема 3.3, п.23)

5

С

АВ

Определение равностороннего треугольника

!

ЗАПОМНИ

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (см. п.23)

6

С

АВ

Свойство углов равностороннего треугольника

Дано:

В АВС АВ= АС= ВС

Доказать:

В АВС А = В = С

У равностороннего треугольника все углы равны (задача 12)

!

ЗАПОМНИ

1

2

3

4

7

С

А В

Признак равнобедренного треугольника

!

ЗАПОМНИ

Дано:

В АВС А = В

Доказать:

В АВС АС = ВС

Если в треуголь-нике два угла равны, то он равнобедренный (теорема 3.4, п.24)

8

С

АВ

Признак равностороннего треугольника

!

ЗАПОМНИ

Дано:

В АВС А = В = С

Доказать:

В АВС АВ= АС= ВС

Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний (задача 16)

9

С

А D B

A

C

C B D A B

Определение высоты треугольника

Высотой треугольника, опущенный из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из данной вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (см. п.25)

10

A

A B

Определение биссектрисы треугольника

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (см. п.25)

11

C

A M B

Определение медианы треугольника

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (см.п.25)

1

2

3

4

12

С С1

1 )

D D1

А В А1 В1

С С1

2)

А М В А1 М1 В1

Дано:

АВС = А1В1С1;

ВD =DC,DBCB1D1=D1С1

Доказать:AD = A1D1

Дано:

АВС = А1В1С1;

ACM=BCM,MАВ

Доказать:CM = C1M1

В равных треу-гольниках:

1) медианы, прове-денные из соот-ветствующих вершин, равны;

2) биссектрисы, проведенные из соответствующих вершин, равны (задача 21)

13

C

A D B

Свойство медианы равнобедренного треугольника

!

ЗАПОМНИ

Дано:

B АВС =AC =BC;AD=DB

где DAB

Доказать:1)ACD=BCD

2)CD  AB

В равнобедренном треугольнике ме-дианы, проведен-ная к основанию, является биссект-рисой и высотой (теорема 3.5, п. 26)

14

1 ) С

А D B

2 ) С

А D B

С

3)

А D В

Признаки равнобедренного треугольника

1 ) Д а н о:

В АВС AD=DB; СDAB,DAB

Д о к а з а т ь:

АС = ВС

2) Д а н о:

В АВС СDAB;

АСD=BCD,DAB

Д о к а з а т ь:

АС = ВС

3) Д а н о:

В АВС АD=BD;

АСD=BCD,DAB

Д о к а з а т ь:

АС = ВС

Треугольник будет равнобедренным, если у него:

1) медиана является высотой;

2) высота является биссектрисой;

3) биссектриса является медианой (задача 25)

15

C

A D B

Д а н о:

В АВС АС=BС;

АСD=BCD,DAB

Д о к а з а т ь:

АD = DB; CD AB

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой (задача 28)

1

2

3

4

16

С В

А С1

А1

В1

Третий признак равенства треугольников

!

ЗАПОМНИ

Д а н о:

В АВС и А1В1С1

АВ= А1В1,AС = А1С1,

ВС =В1С1

Д о к а з а т ь:

АВС = А1В1С1

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (по трем сторонам) (теорема 3.6, п.27)

Задача 16а

АД = АК, СД =СК. Доказать, чтоАДС =АКС

Решение

Д АДС = АКС по третьему признаку равенства треугольников.

Действительно, у них АД = АК, СД = СК – по условию, АС – общая.

А С

К

17

Д а н о:

В АВС АС = ВС; СD AB;DAB

Д о к а з а т ь:

AD = DB;ACD =BCD

В равнобедренном треугольнике высо-та, опущенная на основание, явля-ется медианном и биссектрисой (задача 30)

1

2

3

4

1.

a

b

c

Дано: а с, b c

Доказать:

a b

Две прямые, параллельные третьей, параллельны (теорема 4.1, п. 29)

!

ЗАПОМНИ

2.

с

А а

b

Дано: а b,

c пересекает а

Доказать:

с пересекает b

Если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (задача 1)

3.

Признаки параллельности прямых

3.1

с

А а

1

3 2

b

Д а н о:

1 = 3 или 1 + 2 = 180

Д о к а з а т ь:

а b

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180, то прямые параллельны (теорема 4.2, п. 31)

!

ЗАПОМНИ

3.2

с

а 1

2

b

Д а н о:

1 = 2

Д о к а з а т ь:

а b

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны (следствие из теоремы 4.2, п. 31)

!

ЗАПОМНИ

3.3

а b

с

Д а н о:

ас , bс

Д о к а з а т ь:

а b

Две прямые перпендикулярные третьей, параллельны (следствие из теоремы 4.2, п.31)

!

ЗАПОМНИ

4

С b

а

Д а н о:

С  а

Д о к а з а т ь:

1) существует прямая b такая, что С  b, b а;

2) b - единственная

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну (аксиома IX, п.11; задача 8)

!

ЗАПОМНИ

5.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

5.1

А а

1

3 2

b

В

Д а н о:

а b; 1 и 3 – внут-ренние накрест лежащие при а,b и секущей АВ; 1 и 2 – внутренние односторонние

Д о к а з а т ь: 1=3;1 + 2 = 180

Если две парал-лельные прямые пере-сечены третьей пря-мой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внут-ренних односторонних углов равна 180 (теорема 4.3, п.32)

!

ЗАПОМНИ

1

2

3

4

5.2

а

1 А

в

2

В

Дано: а b; 1 и 2 – соответственные углы при а, b и секущей АВ

Доказать: 1 = 2

Если две парал-лельные прямые пересечены третьей прямой, то соот-ветственные углы равны (см. прило-жение, с. 101)

!

ЗАПОМНИ

5.3

1

2

а

4 3

5

b 6 7

8

Дано: а b; с – секущая; 1 = а

Доказать:

4=5=8 = а;

2=3=6=7=180 - а

Если при пересе-чении двух парал-лельных прямых третьей один из образовавшихся восьми углов равен а, то каждый из оставшихся семи углов либо равен а, либо дополняет его до 180, т.е. равен 180 - а (обобщение задачи 15)

!

ЗАПОМНИ

Задача 5,3 а

Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, равен 117. Найдите градусные меры всех остальных образовавшихся углов.

Решение

6 с

7 а

117 5 8

1 2

4 в

3

 8 и  1 внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и в и секцией с, значит,  8 =  1 = 117 .

 1 и  5 - внутренние односторонние при параллельных прямых а и в и секцией с, значит,  1 +  5 = 180 . Отсюда  5 = 180 -  1 = 180  - 117 =63,  7 =  5 = 63, 6 =  8 = 117, 4 =  2 = 63, 3 =  1 = 117 - как вертикальные.

Ответ: 63, 117, 63, 63, 117, 63, 117

6

с а

b

Дано: а b; с  а

Доказать:

сb

Если прямая перпен-дикулярна одной из параллельных прямых, то она перпенди-кулярна и другой (следствие из теоремы 4.3, п.32)

!

ЗАПОМНИ

7

b d

с

а

Дано: а b; с а, db

Доказать:

сb

Две прямые, парал-лельные перпенди-кулярным прямым, сами перпендику-лярны (задача 17)

!

ЗАПОМНИ

1

2

3

4

8

С

Теорема о сумме углов треугольника

!

ЗАПОМНИ

Д ано: АВС

Доказать:А + В +

С = 180

Сумма углов треу-гольника равна 180 (теорема 4.4, п. 33)

Задача 8 а

Найти углы треугольника, если их градусные меры относятся на 4 : 5 : 6

Решение

Пусть к – коэффициент пропорциональности, тогда углы треугольника 4к, 5к, 6к. Так как сумма углов треугольника 180, то 4к + 5к + 6к = 180

15к = 180 

к = 12

Итак, углы треугольника 48, 60, 72

9

С

А В

У любого треугольника хотя бы два угла острые (следствие из теоремы 4.4, п.33)

10

1 ) С

60

А В

2 ) С

60

А В

1) Дано:

В АВС АС = ВС; С = 60

Доказать:

АС = ВС=АВ

или

2) Дано:

В АВС АС = ВС;А = 60

Доказать:

АС=ВС=АВ

Если один из углов равнобед-ренного треуголь-ника равен 60, то этот треугольник равносторонний (задача 26)

!

ЗАПОМНИ

11

С

А В

Дано:

В АВС АВ = ВС = АС

Доказать:

А=В=С =60

Каждый из углов равностороннего треугольника равен 60 (задача 30)

!

ЗАПОМНИ

12

B

внешний угол

А С D

Определение внешнего угла треугольника

!

ЗАПОМНИ

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (см. п.34)

1

2

3

4

Задача 12а

В

 F = 70

 ВАС = 150

Найти: В,  ВАF

F

А С

Решение

ВАС – внешний, значит,  В + F = 150 (свойство внешнего угла). Отсюда,  В = 150 - 70 = 80.

 ВАС +F +  В = 180,  ВАF = 180 - F -  В = 30 (сумма углов треугольника равна 180).

Ответ: 80; 30

13

Свойства внешнего угла треугольника

!

ЗАПОМНИ

13.1

С 3

2

А 1 В

Да н о :

В АВС 3-внешний угол; 1и2-внутренние углы, не смежные с 3

Доказать:3=1+2

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (теорема 4.5, п.31)

13.2

С 3

2

А 1 В

Да н о :

В АВС 3-внешний угол; 1и2-внутренние углы, не смежные с 3

Доказать:3>1,3>2

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним (следствие из теоремы 4.5, п. 34)

!

ЗАПОМНИ

14

С

А

D B

Да н о :

В АВС CDAB,A>90,B<90

Доказать:

D принадлежит стороне АВ

Основание высоты треугольника принадлежит стороне треугольника, к которой она проведена, если углы, прилежащие к этой стороне острые (задача 35)

15

C

А В D

Д а н о :

В АВС CDAB,A>90,B<90

Доказать:

D принадлежит стороне АВ

Основание высоты треугольника принадлежит продолжению стороны треугольника, на которую она опущена, если угол, прилежащий к этой стороне, тупой (задача 36)

16

В

А С

катет

Определение прямоугольного треугольника

Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямоугольный угол (см.п.35)

!

ЗАПОМНИ

1

2

3

4

17

В

С А

Дано:

В АВС С = 90°

Доказать:

А +В=90°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (следствие из теоремы 4.4, см. п. 35)

!

ЗАПОМНИ

Задача 17 а

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34. Найти второй острый угол треугольника.

34

Решение

 В = 90 -  А = 90 - 34 = 56 (острые

углы прямоугольного треугольника дополняют

друг друга до 90 )

С А Ответ: 56

18

B

β

D

α

β α

C A

Дано:

В АВС СD = 90°,CDAD,A =α, B =β

Доказать:

DCB =α,DCA=β

Высота прямоугольного треугольника, прове-денная из вершины прямого угла к гипотенузу, разбивает данный прямоугольный треугольник на два других прямоугольных треугольника, острые углы которых равны соответственно острым углам данного прямоугольного треу-гольника (обоб-ение задачи 41)

!

ЗАПОМНИ

19

В

А С

Дано:

В АВС С = 90°,AС =ВС

Доказать:

DCB =α,DCA=β

В прямоугольном равнобедренном треугольнике каждый из острых углов равен 45° (задача 44)

!

ЗАПОМНИ

20

Признаки равенства прямоугольных треугольников

21

В1

А

А1 С1

С В

Дано:

В АВС и А1В1С1С = С1=90°,AС= А1С1; ВС= В1С1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам) (следствие из теоремы 3.1, п.20)

1

2

3

4

20.2

А1

А

С1

С В1

В

Дано:

В АВС и А1В1С1

С=С1=90°,AС= А1С1; ВС= В1С1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треуголь-ники равны (задача 29 парграф3, п.27)

!

ЗАПОМНИ

20.3

А

А1

С

С1 В

В1

Дано:

В АВС и А1В1С1

С=С1=90°,AВ= А1В1;

А=А1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу) (следствие из теоремы 3.2. п.22)

20.4

С

В

А1 А

В1

С1

Дано:

В АВС и А1В1С1

С=С1=90°,AС= А1С1;

А=А1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катете и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (по катету и прилежащему острому углу) (следствие из теоремы 3.2, п.22)

20.5

В1

А1

С1

С

А В

Дано:

В АВС и А1В1С1

С=С1=90°,AС= А1С1;

В=В1

Доказать:

АВС = А1В1С1

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (по катету и противолежащему острому углу) (следствие из теоремы 3.2, п.22)

1

2

3

4

21

В

30°

А С

Дано:

В АВС С=90°,А=30°

Доказать:

ВС=½ АВ

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы (задача 43)

22

C

A

C1 D B

A1B1

D1

Дано:

В АВС = А1В1С1

СDAB,D єАВ;

С1D1A1B1;D1єA1B1

В=В1

Доказать:

СD = C1D1

У равных треуголь-ников высоты, про-веденные из соот-ветствующих вершин, равны (см. приложение, с.101)

23

А

О

С В

Дано:

В АВС СО – медиана.

(АО = ОВ), СО = ½ АВ

Доказать:

С=90°

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник - прямоугольный (задача 47)

24

b

A

a

B

Дано: А а

Доказать:

из точки А можно опустить АВ  а (Вє а)

АВ-единственный

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпен-дикуляр, и только один (теорема 4.6, п.36)

25

А а

О

в

В

Дано

a║b,Oa,O b, OA a

(Aє а), OBb (Bєb)

Доказать:

O,A и B лежат на одной прямой

Если из точки, не лежащей ни на одной из двух параллельных прямых, опущены перпендикуляры на эти прямые, то данная точка и основания перпен-дикуляров лежат на одной прямой (см. приложение, с.102)

26

А

а

В

Определение расстояния от точки до прямой

!

ЗАПОМНИ

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой (см. п. 36)