Тригонометрические уравнения

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx=a, достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (- /2;/2) есть arctga.Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде

х= arctga+n,n Z.

Пример: Решите уравнение tgx = 3/3

Составим формулу для решения х= arctg 3/3 +n,n Z.

Вычислим значение арктангенсаarctg 3/3= /6, тогда

х= /6+n,n Z.

Вывод формулы для решения уравнения сtgx=aможно предоставить учащимся.

Пример.

Решить уравнениеctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n,n Z,

х = /4 + n,n Z.

В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

«Решение тригонометрических уравнений».

Упражнения для закрепления изученного материала.

(Устно ) Какие из записанных уравнений можно решить по формулам:

а) х= ( -1)ⁿarcsina+n, n Z;

б) х=+ arcos a+2n?

cos x = 2/2, tg x= 1 , sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3 , cos x = 2.

Какие из перечисленных уравнений не имеют решений?

Решите уравнения:

а) sinx = 0; д) sinx = 2/2;з) sinx = 2;

б) cosx = 2/2;е) cosx = -1/2; и) cosx = 1;

г) tgx = 3;ж) ctgx = -1;к) tgx = 1/ 3.

3. Решите уравнения:

а) sin 3x = 0; д) 2cosx = 1;

б) cosx/2 =1/2;е) 3 tg 3x =1;

г) sinx/4 = 1;ж) 2cos(2x+/5) = 3.

При решении данных уравнений полезно записать правила для решения уравнений вида sinвx =a, и сsinвx =a, |a|<1.

Подведение итогов занятия:

Сегодня на занятии мы вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Разобрали примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

Заполнили таблицу, которую будем использовать для решения уравнений.

Домашнее задание.

№2 Решение тригонометрических уравнений

Цель: Изучить методы решения тригонометрических уравнений:1) приводимых к квадратным;2) приводимых к однородным тригонометрическим уравнениям.

Развивать у учащихся наблюдательность при применении различных способов решения тригонометрических уравнений.

Фронтальная работа с учащимися.

Назовите формулы корней тригонометрических уравненийcosx=a,sinx=a,tgx = a,ctgx = a.

Решите уравнения (устно):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, ctg x=1, cos x=1,5, sin x=0.

Найдите ошибки и подумайте о причинах ошибок.

cos x=1/2,х=+/6+2k, kZ.

sin x= 3/2,х=/3+k, kZ.

tgx =/4,x=1+k, kZ.

2. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены некоторые наиболее часто встречающиеся методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй.

Например, еслиcоsх входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin²x, если sin²x, то его заменяем на 1-cos²x.

Пример.

Решить уравнение: 8sin²x - 6sinx -5 =0.

Решение: Обозначим sinx=t, тогда 8t²- 6t – 5=0,

D= 196,

t₁= -1/2, t₂= -5/4.

Выполним обратную замену и решим следующие уравнения.

sinx=-1/2,

х=(-1)^к+1 /6+k, kZ.

sinx=-5/4.

Так как -5/4>1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: х=(-1)^к+1 /6+k, kZ.

Решение упражнений на закрепление.

Решить уравнение:

1)2sin² x+ 3cos x = 0;

2) 5sin² x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin² x+ 3cos² x = -2sin x;

4) 3tg²x +2 tgx-1=0.

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение:1) Уравнение вида asinx +bcosx=0, (а=0, в=0) называется однородным уравнением первой степени относительно sinx и cosx.

Решается данное уравнение с помощью деления обеих его частей на cosx 0. В результате получается уравнение atgx+b=0.

2) Уравнение вида asin²x +bsinxcosx +ccos²x =0 называется однородным уравнением второй степени, где a, b, c какие-либо числа.

Если а=0, то уравнение решаем делением обеих частей на cos²x 0. В результате получаем уравнение atg²x+btgx+с =0.

Замечание: Уравнение вида asinmx +bcosmx=0 или

asin²mx +bsinmxcosmx+ccos²mx =0 также являются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на cosmx=0 или cos²mx=0

3) К однородным уравнениям могут быть сведены различные уравнения, которые первоначально не являются такими. Например, sin²mx +bsinmxcosmx +ccos²mx =d,иasinx +bcosx=d. Для решения этих уравнений необходимо умножить правую часть на « тригонометрическую единицу» т.е. на sin²x + cos²x и выполнить математические преобразования.

Упражнения на закрепление изученного материала:

1)2sin x- 3cos x = 0;5) 4 sin²x – sin2x =3;

2)sin 2x+ cos2x = 0;6) 3 sin²x + sinx cosx =2 cos²x ;

3)sin x+ 3cos x = 0;7)3 sin²x- sinx cosx =2;

4) sin²x -3 sinx cosx +2 cos²x =0

3.Подведение итогов урока . Домашнее задание.

На данном занятии в зависимости от подготовленности группы можно рассмотреть решение уравнений вида asinmx +bcosmx=с, где а, b,с не равны нулю одновременно.

Упражнения на закрепление:

1. 3sin x + cos x=2;

2.3sin2x + cos 2x= 2;

3. sinx/3 + cosx/3=1;

4. 12sinx +5 cosx+13=0.

№ 3 Решение тригонометрических уравнений

Цель: 1) Изучить метод решения тригонометрических уравнений разложением на множители; научиться решать тригонометрические уравнения с использованием различных тригонометрических формул;

2) Проконтролировать: знание учащимися формул для решения простейших тригонометрических уравнений; умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

План занятия:

Проверка домашнего задания.

Математический диктант.

Изучение нового материала.

Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

Самостоятельная работа.

Подведение итогов занятия. Домашнее задание.

Ход занятия:

Проверка домашнего задания (решение тригонометрических уравнений кратко записаны на доске).

Математический диктант.

В-1

1. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

2. Как называется уравнение вида asinx +bcosx=0? Укажите способ его решения.

3.Запишите формулу корней уравнения tgx = a (ctgx=a).

4. Запишите формулы корней уравнений вида cosx=a, где а=1,а=0,а=-1.

5. Запишите общую формулу корней уравнения sinx=a, |a|<1.

6. Как решаются уравнения вида acosx=b, |b|<1? Запишите формулу корней.

В-2

1. Запишите формулы корней уравнений cosx=a,|a|<1.

2. Запишите общую формулу корней уравнения

=a, |a|<1.

3. Как называются уравнения вида sinx=a,tgx = a,sinx=a?

4.Запишите формулы корней уравнения sinx=a,если а=1,а=0,а=-1.

5.Как решаются уравнения вида sinax=b, |b|<1? Запишите формулу корней.

6. Какие уравнения называются однородными уравнениями второй степени? Как они решаются?

Изучение нового материала.

Метод разложения на множители.

Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители.

Если уравнениеf(x) =0 можно представить в виде f₁(x)f₂(x) =0 , то задача сводится к решению двух уравнений f₁(x)=0,f₂(x) =0.

( С учащимися полезно вспомнить правило «Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл»)

Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

(sin x-1/2)( sin x+1)=0;2) (cosx- 2/2)( sin x+ 2/2)=0;(самост.)

3) sin² x+ sin x cosx=0;4) sin² x- sin x =0;

5 ) sin 2x – cosx=0;6) 4 cos²x -1 =0; (2-мя способами)

7)cosx+ cos3x=0;8) sin 3x= sin 17x;

9)sin x+ sin 2x+ sin 3x=0;10)cos3xcos5x

11)sin x cos5x =sin 9x cos3x sin 2xsin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos ²x=0(самост.)

13) 2 cos²x - sin (x- /2)+ tgx tg (x+/2)=0.

Самостоятельная работа.

Вариант-1Вариант-2

1) 6sin² x+ 5sin x -1=0;1) 3 cos ²x+2 cosx -5=0;

2)sin 2x – cos2x=0;2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5sin² x+ sin x cosx -2 cos²х=2;3) 4sin² x- sin x cosx +7cos²х=5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x;4) sin x-sin 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.

8. Подведение итогов урока. Домашнее задание.