Элемент геометрической культуры грамотный чертеж при решении задач

Автор: Парыгина Лена Николаевна

Место работы: МБОУ «Хамагаттинский саха-французский лицей»

Должность: учитель математики

Элемент геометрической культуры –

грамотный чертеж при решении задач.

Элементарная геометрия неразрывно связано с наглядным содержанием, не следует пренебрегать очевидностью аксиом: хорошо, чтобы они были, возможно, более наглядны, естественны. Это и достигается связью с практикой.

Актуальность темы заключается в том, что при решении геометрических задач важнейшими приемами являются рассмотрение плоских линий и фигур как тех, которые непосредственно обнаруживаются в изучаемом предмете так и тех, которые строятся в качестве вспомогательных. Поэтому очень важно каждому школьнику, научиться распознавать и выделять в пространственных образах разнообразные плоские фигуры.

Объектом является решение планиметрических и стереометрических задач в курсе геометрии.

Предметом является решение задач и освоение принципа, и технику построения пространственного чертежа.

Задача 1: умение строить сечение и проекции на плоскость.

2: умение выделить на построенном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условию задачи на графический язык.

Цель: Геометрические задачи имеют огромное значение и с чисто воспитательной точки зрения, они повышают требовательность к качеству чертежа, его наглядности; повышают внимательность, сосредоточенность, развивают сообразительность.

Проблема состоит в поиске путей повышения эффективности использования геометрических задач, с целью формирования интереса у обучающихся.

Гипотеза: при систематическом использовании геометрических задач, можно выработать вычислительные навыки, развивать память, совершенствовать пространственное воображение, освоить принципы и технику построения пространственного чертежа.

Решение любой геометрической задачи начинается с чертежа. Умение построить хороший, грамотный чертеж, помогающий решению задачи, является важнейшим элементом геометрической культуры. Можно выделить некоторые, к сожалению, трудно формализуемые принципы, которыми следует руководствоваться при построении чертежа. Прежде всего, чертеж должен быть «большим и красивым». Это вовсе не означает, что чертеж должен выполняться по всем правилам черчения, с использованием соответствующих инструментов. При небольшом навыке чертеж может быть хорошо сделан и от руки.

Важнейшим требованием к чертежу является требование лаконичности. Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур. Так, например, если в задаче надо найти радиус окружности, вписанный в треугольник, то в большинстве случаев саму эту окружность не следует изображать.

Имеется немало задач, процесс решения, которых состоит в последовательной конфигурации с соответствующими переделками чертежа, так что окончательный вид чертеж принимает лишь одновременно с окончанием решения. Необходимо избегать чрезмерного усложнения чертежа. Этого можно добиться, в частности, за счет выносных картинок, изображающих фрагменты общей конфигурации. С другой стороны, стоит непосредственно на чертеже указывать числовые или буквенные значения линейных или угловых величин, заданных в условии или полученных в процессе решения. Кроме того, умение строить нужный чертеж, понимание, а где можно обойтись не очень точной схематической картинкой, приходит с опытом. Пока же главное – выработать некоторые минимальные практические навыки, а также привычку начинать решение любой геометрической задачи с чертежа.

В простейших случаях ход решения задачи виден сразу после ее прочтения или же построения чертежа. Остается лишь реализовать это решение технически – произвести необходимые доказательства, сделать вычисления. В других, более сложных случаях, технической стадии предшествует несколько этапов, один из которых состоит в выявлении характерных особенностей конфигурации, рассматриваемой в задаче.

Эти особенности, в частности, могут быть следствием специального подбора числовых данных задачи. В этом, кстати, одна из причин, почему при построении чертежа надо стараться выдерживать заданные пропорции. При этом кончено же, нельзя забывать о том, что выявленные особенности требуется строго доказать. Иногда для этого, как уже отмечалось, полезно сделать новый, намеренно неправильный чертеж. Вообще, роль числовых данных в задаче может быть самой различной. В одних случаях задача не решается в общем виде, и лишь специальный выбор числовых данных делает ее корректной, как это имеет место в следующей задаче.

Пример 1: Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3 и ВС = 4 и две точки М и К, такие что, МК = 8, АМ = 1, ВК = 2. Найти площадь треугольника СМК.

Р

К

В

Эта высота 12/5, искомая площадь 48/5.

Рис. 1

М

С

А

Пример 2: В треугольнике АВС со сторонами АВ = 5, ВС = , СА = 4, на стороне СА взята точка М так, что СМ = 1. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АВМ и ВСМ.

Р ешение: Для решения этой задачи существенным оказывается тот факт, что М есть основание высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. В самом деле. Проведем высоту ВМ₁ и обозначим СМ₁ через х.

В

А

С

М

М1

Пифагора из треугольников

АВМ₁ и ВСМ₁ получим

АВ² – АМ²₁ = ВМ²₁,

СВ² – СМ²₁ = ВМ²₁, откуда

25 – (4-х)² = 17 – х², х = 1, то есть, М₁ совпадает с М. Но центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Таким образом, искомое расстояние равно длине средней линии данного треугольника АВС, параллельной стороне АС, то есть равно 2.

Говоря о методах решения задач, следует отметить некоторые специфические особенности этих методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приемов. Суть его в том, что при решении задач, в которых фигурирует одна или несколько окружностей, очень часто сами эти окружности не следует изображать. Ограничиваясь указанием их центров, точек касания или пересечения с прямымии друг с другом, и проведением соответствующих отрезков прямых.

В трапеции бывает полезно провести через одну вершину прямую, параллельную противоположной боковой стороне. Если же в условии задачи говорится и диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали. Если в условии есть медиана треугольника, то стоит попытаться продолжить эту медиану на такое же расстояние. При этом получим параллелограмм, стороны и одна диагональ которого равны сторонам треугольника, а вторая диагональ равна удвоенной медиане. Таким образом, если бы нам требовалось найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, заключенной между ними, то с помощью только что указанного приема легко убедиться, что треугольник этот равновелик треугольнику, две стороны которого равны соответствующим сторонам исходного, а третья равна удвоенной медиане. Один из недостатков элементарно-геометрических методов состоит в необходимости зачастую перебора различных вариантов расположения точек, прямы и т.д. Этот недостаток, как правило, исчезает при переходе к алгебраическим методам, методу координат, векторному методу.

Говоря об алгебраическом методе решения геометрических задач, выделим, прежде всего, два его разновидностей: 1) метод поэтапного решения; 2) метод составления уравнений.

Сущность первого этапа состоит в следующем. Величины, заданные в условии задачи, и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых последовательно определяется через предыдущие. Полезно при этом сначала составить план решения задачи, другими словами, выписать цепочку элементов, которые можно последовательно вычислить, соединяющую то, что дано и то, что нужно найти.

Второй этап: решение геометрических задач при помощи составления уравнений, можно в известной мере провести аналогию с текстовыми задачами на составление уравнений. Для получения уравнения обычно величину какого-либо элемента конфигурации - угол или его тригонометрическую функцию, длину отрезка, площадь фигуры – выражают дважды различными способами через введенные неизвестные. Противопоставляя друг другу два алгебраических метода, оговоримся, что далеко не всегда их можно выделить, так сказать, в чистом виде. Например, в любом решении задачи на вычисление присутствуют элементы поэтапного решения. С другой стороны, вполне возможны случаи, когда составление уравнения является лишь частью общего решения задачи. Кроме того, как правило, в алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических задач.

Метод координат является самым универсальным методом геометрии. Бытует расхожее мнение, что любая геометрическая задача может быть решена методом координат. В принципе это верно, так же верно, как и то, что человек может все. Однако школьный курс и практика вступительных экзаменов дают не так много примеров задач, в которых метод координат предпочтительнее иных методов. Разумеется, речь идет о тех задачах, условие которых не содержит упоминания о координатах. Главное при решении геометрических задач координатным методом – удачный выбор системы координат: выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбираются прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задаче. Можно сказать, что желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.

Использованная литература:

1. А.Д. Александров. Основания геометрии – М: «Наука», 1987г.

2. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике – М: «Наука», 1987г.

3. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике – М: «Высшая школа», 1990г.

4. Г. Литвиенко. Планиметрия – М: «АСТ-Пресс», 1998г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/278672-jelement-geometricheskoj-kultury--gramotnyj-