Обухова Ольга Викторовна

Методические рекомендации
к проведению уроков геометрии в 11 классе.

(из опыта работы)

Тема: «Объёмы многогранников».

Обухова Ольга Викторовна

Учитель математики

МБОУ СОШ № 26

г. Мытищи Московской области

ТЕОРИЯ ОБЪЁМОВ

(часть 1)

Я хотела бы остановиться на изложении теории объёмов в курсе геометрии 11 класса. В учебниках многих авторов формулы для вычисления объёмов многогранников получают из формулы для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Формула для вычисления объёма последнего выводится с опорой на понятие предельного перехода, который в курсе алгебры и начал анализа в общеобразовательных классах не изучается. Таким образом, у учащихся в процессе вывода формул возникают вопросы, ответы на которые они не могут получить вследствие недостатка у них знаний и им приходится зазубривать вывод каждой формулы. Учитывая то, что в курсе алгебры и начал анализа уже изучен интеграл и его применения, формулы для вычисления объёмов многогранников я вывела с применением интеграла.

Объёмы многогранников.

С начала надо ввести понятие объёма и его свойств. Затем надо напомнить учащимся, что для вычисления объёмов тел применяют формулу, где s(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, «длина тела».

I. Объём прямоугольного параллелепипеда.

П лощадь сечения S(x)=S_осн.=const.

.

.

Пусть , , тогда .

Объём прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами вычисляется по формуле .

II. Объём прямого параллелепипеда.

Формула для вычисления объёма прямого параллелепипеда выводится так же, как и формула для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Так как в основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм, то его объём вычисляется по формуле .

III. Объём наклонного параллелепипеда.

П одвергнем наклонный параллелепипед разрезанию сечением, перпендикулярным боковым граням параллелепипеда и параллельному переносу его частей.

A₂BCD₂OX, A₃B₁C₁D₃OX.

ABA₂DCD₂=A₁BA₃D₁C₁D₃,V₁=V₂

VABCDA₁B₁C₁D₁=VA₂BCD₂A₃B₁C₁D₃

S(x)=S_осн.=const.

.

.

Таким образом, можно убедиться, чтообъём любого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

IV. Объём призмы.

а) объём прямой треугольной призмы:

П лощадь сечения S(x)=S_осн.=const.

.

_{б) объём прямой n-угольной призмы:}

_{Прямая n-угольная призма разбивается на треугольные призмы S1,S2, …, SN.}

_{VS=VS1+VS2+VS3+ … +VSN .}

(все треугольные призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы)

.

То есть, снова получили _.

в) объём наклонной призмы:

формулу для вычисления объёма наклонной призмы получаем, подвергнув призму, по аналогии с наклонным параллелепипедом, разрезанию и параллельному переносу её частей. В итоге получим _.

Таким образом, мы убедились, что объём любой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

V. Объём пирамиды.

A BCDEFOX.

Каждая плоскость, перпендикулярная осиOX, даст в сечении многоугольник, подобный многоугольнику – основанию пирамиды. Многоугольник подобен многоугольнику S(ABCDEF).,.

, , .

.

.

Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту.

VI. Объём усечённой пирамиды.

Многоугольники ,и подобны, – коэффициент подобия.

,,.

.

С формулами для вычисления объёмов многогранников я знакомлю учащихся посредством этой лекции. На вывод всех этих формул у нас уходит 2 урока. Остальные же уроки, отведённые на изучение этой темы, мы посвящаем решению задач. В результате, у учащихся формируется более стройная система вывода формул для вычисления объёмов многогранников и остаётся гораздо больше времени на решение более сложных и интересных задач.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/2128-obuhova-olga-viktorovna