Математический конкурс «Так ли просты простые числа?»

ВНЕКЛАССНОЕ МЕРОПРИЯТИЕ

Математический конкурс

«Так ли просты простые числа?»

Преподаватель математики: Алексеева Екатерина Александровна

ЧПОУ СПО Башкирский экономико-юридический колледж (БЭК)

Математический конкурс

«Так ли просты простые числа?»

Задачи конкурса:

1) Закрепить и обобщить знания обучающихся о простых числах, рассказать о ранее

неизвестных свойствах простых чисел, научить выполнять несложные операции с

простыми числами, расширить кругозор обучающихся.

2) Способствовать развитию у обучающихся познавательного интереса, логического

мышления, воображения, исследовательских навыков.

3) Воспитывать внимательность, аккуратность, любознательность, культуру речи и

поведения.

Оборудование:

плакаты к выступлениям;

задания для каждой команды к каждому раунду;

ответы к заданиям для удобства работы жюри;

портреты известных математиков;

грамоты и призы участникам;

высказывания великих ученых о математике;

музыкальное сопровождение конкурса.

Во время выполнения командами заданий звучит спокойная классическая музыка.

Ход конкурса:

Вступительное слово преподавателя:

Что было раньше, курица или яйцо, - вопрос многовековой и изрядно надоевший. А вот что бывает раньше – математическая теория или потребность в ней? Разумеется, часто бывает, что требования практики подталкивают развитие математики. Например, теории, созданные М.В.Келдышем для авиаконструкторов. Часто понятия математики возникали из необходимости, - так было с векторами, логарифмами, тригонометрией. Но довольно часто математика «варится в собственном соку», а потом вдруг оказывается, что созданные теории и доказательства необходимы для решения важнейших вопросов современности.

Наш конкурс посвящен теории чисел и, в частности, простым числам. Сегодня мы прикоснемся только к узкому кругу задач из этой области математики. Решим несколько практических задач, узнаем ряд вопросов из теории чисел. Может быть, после сегодняшнего конкурса кто-то из вас проявит интерес к теории чисел.

Предметом теории чисел являются свойства целых чисел и в первую очередь - натуральных чисел. Несмотря на кажущуюся простоту этого раздела математики, теория чисел содержит огромное число загадок и проблем.

Некоторые вопросы теории чисел доступны даже младшим школьникам, над другими же безрезультатно бьются лучшие умы современности. Так, например, некоторые теоремы из теории легко доказываются:

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4²

1+3+5+7+9=5²

…………….

1+3+5+……+2n-1=n² .

А утверждение, что между натуральными числами n и 2n содержится хотя бы одно простое число, Чебышев доказал в целом томе печатного текста.

Одной из нерешенных проблем в теории чисел является ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. Ферма утверждал, что уравнение хⁿ+ уⁿ= zⁿ не имеет решений в целых числах ни при каких n>2. Сотни квалифицированных математиков и тысячи дилетантов в течение трехсот лет пытаются доказать эту теорему, но, увы, безуспешно.

Теория чисел является фундаментом всей математики. На ней основан раздел математики – комбинаторика, а также теория вероятностей.

Мы знаем, например, как широко применяется на практике интеграл для вычисления объемов и площадей, работы (в физике), в механике, и даже в биологии, но с развитием науки и техники теория чисел также находит в практике всё большее применение.

Все команды находятся в равных условиях. Участники конкурса знакомы только с очень узким кругом вопросов и специально не готовились для ответов на те вопросы, которые им будут предложены.

А теперь я предоставляю слово моим помощникам, которые подготовили ряд выступлений, посвященных простым числам.

1-е выступление

«Простые числа»:

Если теорию чисел можно назвать фундаментом математики, то простые числа – это строительный материал теории чисел.

Простое число – это число, которое делится только на 1 и само на себя.

Например: 5, 7, 11.

Из четных чисел простым является только 2.

Числа, которые делятся на 1, само на себя и еще хотя бы на одно число, называется составным. Например:

10 делится на 1, 10 и на 2 и 5.

15 делится на 1, 15 и на 3 и 5.

Каждое составное число можно представить в виде произведения нескольких простых чисел: 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5.

Простые числа просты только по названию. Их скорее нужно было назвать таинственными. Наибольшее число вопросов, которые не решены в теории чисел, связаны именно с простыми числами.

До сих пор неизвестен закон, по которому распределяются простые числа в натуральном ряду чисел. Не найдено простого способа распознавания – является число простым или составным. Для того, чтобы установить это для достаточно большого числа, требуется десятки и сотни делений.

С древних времен ведутся поиски формулы, дающей , хотя бы не по порядку, но только простые числа.

Найден многочлен х² + х + 41, который при всех х=0, 1, 2, 3,…., 39 дает простое число, но до сих пор не доказано, содержит ли этот многочлен бесконечное множество простых чисел.

Установлено, что самый простой многочлен 2-й степени х²+1 при различных значениях дает как простые, так и составные числа. До сих пор не доказано, что этот многочлен дает бесконечно много простых чисел.

Названа только малая часть нерешенных и решенных проблем простых чисел.

Нетрудно убедиться, что в натуральном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. Вначале простые числа встречаются часто, а дальше реже.

Давно стоял вопрос – бесконечно ли много простых чисел или есть, пусть очень большое, но последнее простое число.

Гениально просто Евклид доказал теорему: простых чисел бесконечное множество.

Сначала заметим следующее: известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число. Например, 10+15=25 – делится на 5.

Известно: если одно из слагаемых делится на некоторое число, а другое на это число не делится, то и сумма не делится на это число. Например, 15+7=22, на 3 делится первое слагаемое, 7 на 3 не делится и 22 не делится на 3.

2•3•5+1=31

Первое слагаемое делится на 2, 3 и 5, а второе нет, следовательно, 31не делится на 2, 3 и 5.

Доказательство теоремы:

Допустим, что простых чисел конечное множество. Самое большое число – простое обозначим буквой Р.

Перемножим все простые числа 2•3•5•…• Р и рассмотрим число

Т=2•3•5•…• Р+1, которое значительно больше числа Р.

Первое слагаемое делится на все простые числа от 2 до Р по порядку, а второе ни на одно из них не делится, значит, и сумма Т не делится на эти числа. Отсюда следует, что Т – простое число.

Это означает, что предположение о существовании наибольшего простого числа Р неверно. Простых чисел бесконечное множество.

2-е выступление

«Распределение простых чисел в натуральном ряду»:

Как уже было сказано, сначала простые числа встречаются в натуральном ряду часто, а дальше реже. При достаточном удалении в натуральном ряду появятся сколь угодно большие промежутки, когда простые числа не встречаются. Затем может наступить момент, когда простые числа снова встречаются часто. Это доказано. Представим следующее: все натуральные числа расположены на местности через 1 метр. На месте каждого натурального числа помещена лампочка. Горят только лампочки на месте простых чисел. Мы пролетаем над этой полосой на самолете. Вначале лампочки горят часто, потом все реже. Наступает момент, когда мы пролетаем все большие промежутки темноты. Но мы уверены, по теореме Евклида, что впереди будут светящиеся лампочки и даже бесконечно много.

Первый раунд

«РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА»

В натуральном ряду чисел от 1 до 100 необходимо назвать простые числа. Способ, как это сделать быстро, придумал еще древнегреческий математик Эратосфен, он называетсяРешето Эратосфена. За каждое верное число - 2 очка, за неверное – снимается 1 очко.

Всего можно получить 50 очков.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Способ: запишем числа в виде таблички, зачеркнем 1 и первое из оставшихся чисел обведем кружком – это число 2. теперь вычеркиваем все числа, которые делятся на 2, кроме самой 2.первое из оставшихся чисел обводим. Это число 3. Дальше обводим все числа делящиеся на 3, первое из оставшихся-5 обводим, затем вычеркиваем все остальные числа, делящиеся на 5, для чего достаточно вычеркнуть столбец, в котором стоит число 5. первое оставшееся число – 7 обводим и вычеркиваем все числа, делящиеся на 7. теперь замечаем, что все оставшиеся не вычеркнутыми числа – простые. Действительно, числа 8, 9 и 10 уже вычеркнуты; если число, большее 10. но меньшее 100, раскладывается на два множителя, то хотя бы один из них меньше 10, а все такие числа мы уже вычеркнули. Осталось обвести все оставшиеся числа.

3-е выступление

«Числа-близнецы»:

Еще древних математиков интересовали так называемые числа-близнецы. Если присмотреться к ряду простых чисел, то можно отметить, что все они, кроме 2, нечетные. Любопытны пары простых чисел, числа в которых отличатся на 2. Их называют близнецами. Например, 13 и 11, 101 и 103. Сейчас с помощью мощных компьютеров вычислены миллиарды простых чисел, среди которых регулярно встречаются близнецы, но до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количество пар близнецов.

Второй раунд

«ЧИСЛА-БЛИЗНЕЦЫ»

Необходимо назвать все пары чисел-близнецов, не превышающих 100. За каждую верную пару – 4 очка, за неверную снимается 2 очка.

Ответ: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73.8 пар.

4-е выступление

«Проблема Гольдбаха»:

Гольдбах – немецкий математик. С 1725 по 1764 г. работал в России. В 1742 году Гольдбах выдвинул гипотезу, что всякое натуральное число больше шести можно представить в виде суммы трех простых чисел. Затем проблема стала еще более интересной: всякое число есть сумма двух простых чисел.

Например, 20=3+17, 22=5+17.

Полностью это утверждение не доказано и не опровергнуто до сих пор. То, что оно выполняется для всех очень больших нечетных чисел, доказал академик И.М.Виноградов в 1938 году.

Третий раунд

«ГИПОТЕЗА ГОЛЬДБАХА»

Подтвердите гипотезу Гольдбаха для чисел 40, 42, 44, 46, 48, 50. Покажите, что для всех чисел существует сумма из двух простых чисел.

За верный ответ – 4 очка. Если число записано не одним способом, то за каждую новую пару добавляется еще по 2 очка. За неверный ответ снимается 1 очко.

Ответы: 40=11+29= 3+37=17+23, 42=29+13, 44=41+3, 46=41+5, 48=43+5, 50=37+13.

5-е выступление

«Числа Фибоначчи»:

Посмотрите на эту последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Первым ее получил крупный итальянский математик эпохи Возрождения Леонардо Фибоначчи, изучая численность потомства одной пары кроликов, если она ежемесячно производит пару крольчат, а те через месяц также начинают производить потомство.

Числа Фибоначчи встречаются во многих областях математики, поэтому они хорошо изучены. Более ста пятидесяти лет назад французский ученый Ж. Бине нашел формулу для вычисления произвольного члена последовательности Фибоначчи: если обозначить k-й член последовательности через u_k, то его значение равно u_k = , где = , есть отношение золотого сечения. Эта формула выглядит страшновато, в ней присутствуют иррациональности, но она позволяет выявить закономерности последовательности Фибоначчи: скорость ее роста, делимость на различные числа.

Для чисел Фибоначчи выполняются любопытные соотношения, например,

u₁ + u₂ + … + u _n = u_n+2 - 1,

u₁² + u₂²+ … + u_n² = u_n ∙ u_n+1.

Четвёртыйраунд

«РЯДЫ»

Угадайте закономерность построения рядов. Дополните каждый ряд двумя членами. Если сможете, запишите общую формулу для каждого ряда.

Например,

6, 11, 16, 21, 26…. 31, 36….5n+1.

Задания (ответы):

1) 2, 4, 6, 8, 10… 12, 14…2n.

2) 7, 10, 13, 16, 19 … 22, 25 …3n+4.

3) 2, 4, 8, 16, 32 … 64, 128 … 2ⁿ.

4) 1, 4, 9, 16, 25 … 36, 49 …n².

5) 2, 5, 10, 17, 26 …37, 50 …n²+1.

За верный ответ без формулы – 2 очка, за формулу – ещё 2 очка.

Пятыйраунд

«ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗНОСТЬЮ КВАДРАТОВ»

Многие натуральные числа можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Покажем, как это сделать быстро. Например,

32 = 2 ∙ 16 = (9-7)(9+7)=9² – 7²,

32 = 4 ∙ 8 = (6-2)(6+2) = 6² – 2².

17 = 1∙ 17 = (9-8)(9+8) = 9² - 8².

Представьте числа 7, 9, 11, 13, 15, 21 в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Если возможно, то несколько раз.

Ответы:

1) 7=4²-3²

2) 9 = 5²-4²

3) 11 = 6²- 5²

4) 13 = 7²-6²

5) 15 = 8²- 7²=4²-1²

6) 21 = 11²-10²= 5²-2².

За каждый верный ответ 4 очка, за неверный снимается 2 очка.

6-е выступление

«ПИФАГОРОВЫ ШТАНЫ»:

Пифагор родился в 6 веке до н.э. на греческом острове Самос. По сохранившимся преданиям, он много путешествовал: жил в Египте, Вавилоне, побывал даже в далекой Индии. Потом он поселился на юге нынешней Италии, где основал общество философов – пифагорейский союз. Пифагорейцы много занимались наукой, особенно математикой. К математическим наукам они относили арифметику, геометрию, астрономию и … музыку! Он и установили, что высота звучания струны зависит от ее длины, то есть от числа! И создали первую математическую теорию музыки.

Самой знаменитой из опубликованных ими теорем стала теорема Пифагора, гласящая, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе. Получающуюся при этом картинку школьники с давних пор называли «пифагоровыми штанами».(Демонстрируется рисунок). Теорема была известна и до этого, Пифагор же открыл ее доказательство. Сейчас известно более 300 способов доказательства теоремы Пифагора. Древние индусы оставили нам самое наглядное доказательство. К чертежу они добавляли только одно слово: «Смотри!»

(Демонстрируется чертеж - доказательство).

Используя теорему, Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. Многие из них были известны и ранее – они обнаружены на клинописных табличках из древнего Вавилона. Такие числа называют «пифагоровы тройки».

Шестойраунд

«ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ»

Итак, как вы уже поняли, натуральные числа x,y,z называют Пифагоровой тройкой, если x² + y² = z². Ваша задача записать как можно больше Пифагоровых троек. За каждый верный ответ добавляется 5 очков, за неверный – снимается 2 очка.

Ответы:

3, 4, 5

6, 8, 10

9, 12, 15

5, 12, 13

12, 16, 20

8, 15, 17.

Подведение итогов конкурса. Музыкальный подарок участникам.

Награждение победителей, вручение призов.

Заключительное слово преподавателя.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/284222-matematicheskij-konkurs-tak-li-prosty-prostye