Методическая разработка лекции «Функция. Область определения и способы задания. Свойства функций»

Тема: Функция.Область определения и способызадания.

Свойствафункций.

Цели: ввести понятие функции, области определения; рассмотреть способы задания функций, виды функций и свойства;развивать умения обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, делать необходимые выводы; развивать умение применять теоретические сведения при решении упражнений; способствовать развитию логического мышления; развивать умения и навыки работы с учебной литературой, выделять главное и характерное; воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения, обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развитие интереса к математике.

Вид занятия: лекция

Тип занятия: изучение нового учебного материала, формирование умений и навыков

Методы и формы проведения занятия:информационно-рецептивный метод; беседа, лекция-диалог, практическое обучение.

Методическое обеспечение: рабочая программы дисциплины, план-конспект занятия, конспект лекции, дидактический материал.

Литература:

1.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

2.Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).

ХОД ЗАНЯТИЯ:

I. Организационный этап.

II. Мотивация учебной деятельности.

Объявление темы и целей занятия.

Мотивация.

II. Актуализация опорных знаний.

Повторить с обучающимися известные им основные сведения о числовых функциях, определение функции; определение области определения и области значений функции, аргумента; обозначение функции; спо­собы задания функции с помощью формул и графиков. Проанализировать графики элементарных функций.

IV.Изложение нового материала (план вопросов).

1. Понятие функции. Область определения. Способы задания. 2. Свойства функций. 3. Основные элементарные функции.

Понятие функции. Область определения.

Определение. Если каждому x из множества {x} ставится в соответствие по известному закону некоторое число y , то говорят, что на множестве {x} задана функция .

х – независимая переменная, аргумент функции;

у – зависимая переменная.

Множество{x} - множество определения функции, множество {у} - множество её значений.

Область определения функции f обозначают D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x) (область значений функции f), обозначают E(f).

Способы задания функции:

1. Аналитический способ задания

Функция задана аналитическим уравнением связи между переменными x и y.

Такой вид уравнения называется явным уравнением.

Функция может быть задана аналитическим неявным уравнением .

Например,

1. - явное аналитическое уравнение;

2. - неявное аналитическое уравнение.

2. Табличный способ задания

Довольно распространённый способ задания функции, устанавливающий зависимость между переменной x иy. На практике часто неизвестна аналитическая связь между x и y. Если необходимо найти значение у длях , не входящего в таблицу, то используется метод интерполяции, заключающийся в замене функции между её табличными значениями какой-либо простой, легко вычисляемой функцией, например, линейной или квадратной.

3. Графический способ задания

В практике физических измерений используется графический способ задания. Связь между переменными x и y задается посредством графика. Например, кривая, снятая на осциллографе.

4. Словесный способ задания

Н апример, функции знак числа и целая часть числа

+1,если х>0

у= sgnx= 0,если х=0

- 1,еслиx<0

Эта функция задана на бесконечной прямой , а множество её значений .

График функции y=sgnx

,где [x] обозначает целую часть вещественного числа: «y равно антье x» (от французского слова entier целый).

Это функция задана для любого х, принимает значения целых положительных и отрицательных чисел. Построим график этой функции.

График функции

Определение Если на множестве {x} задана функция y=f{x}, а точка х также является функцией, заданной на множестве {t}, то на множестве {t} задана сложная функция .

Свойства функций.

1.Точки пересечения графика функции с осями координат

Так как ось 0y характерна тем, что любая точка на ней имеет координату х = 0, а для оси 0х - любая точка на ней имеет координату у = 0, то точки пересечения графика с осями координат ищут очень просто. Точка пересечения с осью 0y равна значению функции f(х) при х = 0, т. е. f(0). Точки пересечения с осью 0х являются корнями уравнения f(x) = 0.

2.Монотонность функции

Определение 1. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (т. е. если х2 > х1, то f(х2) > f(х1)).

Определение 2. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т. е. если х2 > х1, то f(x2) < f(х1)). На рисунках приведены графики монотонных (возрастающей и убывающей) и немонотонной функций.

 Возрастающая функция,  Убывающая функция,  Немонотонная функция

f(x2) > f(х1) f(x2) < f(х1)

3.Ограниченность функций

Определение 3. Функцию f(х) называют ограниченной снизу, если все значения этой функции больше некоторого числа m, т. е. f(х) > m. График функции целиком лежит выше прямой y = m.

Определение 4. Функцию f(х) называют ограниченной сверху, если все значения этой функции меньше некоторого числа М, т. е. f(х) < М. График функции целиком лежит ниже прямой у = М.

На рисунках приведены графики функций - ограниченной снизу (а), ограниченной сверху (б) и неограниченной (в). Если функция ограничена и снизу, и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной.

 f(х) > m. Ограничена снизу f(х) < М. Ограничена сверху Не ограничена

 4.Экстремумы функции

При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки х = а удобно пользоваться понятием окрестности этой точки. Окрестностью точки а называют любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервалы (3; 10), (4; 6), (4,8; 5,1) - некоторые окрестности точки a = 5.

Характерным свойством функции f(x) являются точки экстремума - точки, в которых меняется монотонность функции. При этом если возрастание функции сменяется ее убыванием, то такая точка а - точка максимума. Если, наоборот, убывание функции сменяется ее возрастанием, то такая точка b - точка минимума. Дадим более точное определение точек экстремума.

Определение 5. Точку х = а называют точкой минимума функции f(x), если для всех xиз некоторой окрестности точки а выполнено неравенство f(х) ≥ f(a). При этом значениеf(а) называют минимумом функции f(x).

В простейших случаях легко найти точку минимума и минимум функции.

5.Наименьшее и наибольшее значения функции

Наименьшее значение функции обозначают символом fнаим, наибольшее – символом fнаиб. Если множество X не указано, то необходимо искать наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения.

 6.Четность или нечетность функции

Определение 9. Функция называетсячетной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется, т. е. f(-x) = f(х). График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат.

Определение 10. Функция называетсянечетной, если при изменении знака аргумента значение функции также меняется на противоположное, т. е. f(-х) = -f(х). График нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

На рисунке приведены (для наглядности) графики четной, нечетной функции и функции, не имеющей никакой четности.

Четная функция, f(-x) = f(х) Нечетная функция, f(-x) = -f(х) не имеющая четности

Определение 11. Функцию у = f(x), х  Х называютобратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.

Теорема 1. Если функция у = f(х), х  X монотонна на множестве X, то она обратима.

Определение 12. Пусть у = f(х), х  Х - обратимая функция и E(f) = Y. Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f(x) = у (т. е. единственный корень уравнения f(x) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X — ее область значений). Эту функцию обозначают х = (y), y  Y и называют обратной по отношению к функции у =f(х), х  X. На рисунке показаны функция у = f(х) и обратная функция x = (y).

Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.

 Теорема 2. Если функция у = f(х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = (y) возрастает (убывает) на множестве Y.

3. Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1. y=xⁿ– степенная функция

2. y=a^x – показательная функция

3. y=log_ax – логарифмическая функция

4 .y=sinx

5. y=cosx

6. y=tgx – тригонометрические функции

7 .y=ctgx

8. y=arcsinx

9. y=arccosx– обратные тригонометрические функции

10. y=arctgx

11. y=arcctgx

Все эти функции подробно изучены и исследованы в школьном курсе элементарной математики.

V.Закрепление изученного материала.

Постройте график функции .

2. При каком значении параметра а графиком функции является парабола; прямая?

5. Для данных функций укажите область определения и множество значений:

; ; ; .

VI.Домашнее задание.

VII.Подведение итогов.

Контрольные вопросы:

1. Сформулировать определение функции. 2. Что называется областью определения функции? 3. Какая функция называется четной? 4. Какая функция называется нечетной? 5. Какая функция называется периодической? 6. Дайте определение возрастающей функции. 7. Дайте определение убывающей функции. 8. Какая функция называется элементарной?9. Что такое график функции?

10. Что такое екстремум функции?

11. Как найти нули функции?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/291761-metodicheskaja-razrabotka-lekcii-funkcija-obl