Готовимся к ЕГЭ.Задачи о вкладах и кредитовании(банковских процентах)

Зубарева Елена Александровна

МБОУ Останкинская СШ

г.о.город Бор Нижегородской области

учитель математики

Задачи о вкладах и кредитовании

(банковских процентах )

При начислении процентов по кредиту обычно используются две схемы: схема с дифференцированными (неравными) платежами и схема с аннуитетными (равными) платежами. Эти схемы отличаются принципами формирования и величиной обязательных платежей.

Дифференцированные платежи

Пусть р - сумма кредита. Для кредита с дифференцированными платежами процент и периодичность обязательных платежей фиксируются (например, ежегодные, ежеквартальные или помесячные платежи), а фиксированный процент начисляется на ещё не выплаченную к моменту очередного обязательного платежа часть кредита (долга). В этом случае каждый год (или каждый платёжный период) сумма выплат уменьшается, поскольку она состоит из фиксированной части

и процентов, начисляемых на остаток долга по кредиту, величина которого каждый год (или каждый платёжный период) уменьшается на . Таким образом, при схеме с дифференцированными платежами клиент возвращает банку до истечения каждого платёжного периода часть суммы кредита и проценты от ещё не выплаченной на начало этого платёжного периода части кредита

При кредите на n лет с дифференцированными платежами клиент должен вернуть банку сумму кредита (долг) и проценты за пользование кредитом на следующих условиях :каждый год клиент возвращает банку часть суммы долга(кредита) и проценты за пользование кредитом, начисляемые ежегодно на остаток долга.

Задачи

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3%по сравнению с концом предыдущего месяца.

-со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму надо выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (р=2400000 рублей)

N=24 месяцев 3% в месяц

Складываем выплаты за 12 месяцев:

12∙+ = 1866000 (рублей)

Ответ:1866000 рублей

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15 –е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=15 месяцев 3% в месяц

1.Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей.

+ ∙ p=99200

+ =99200

=99200

р= =1200000 рублей

2. Найдем, какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования

15∙+∙(1+2+…+15)=р+ ∙120=р+ = = =1488000 рублей

Ответ: 1488000 рублей

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=5 месяцев 1% в месяц

Складываем выплаты:

5∙ =р+ = =1,03р

Найдем: сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования

=103%

Ответ: 103%

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца:

Со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (р=2400000 рублей)

N=24 месяцев 2% в месяц

Складываем выплаты за последние 12 месяцев :

12∙ (1+2+…+12)=+ ∙78= = =1356000 рублей

Ответ: 1356000 рублей

Задача

Алексей взял в банке кредит 10 млн. рублей под 10%годовых. По договору Алексей возвращал кредит ежегодными платежами. В конце каждого года к оставшейся сумме долга добавлялось 10% этой суммы и своим ежегодным платежом Алексей погашал эти добавленные проценты и уменьшал сумму долга. Ежегодные платежи подбирались так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый год (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами») Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась 15 млн. рублей. Определите, на сколько лет Алексей брал кредит в банке.

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 10 млн.рублей, но так проще решать)

N=?лет 10% в год

Складываем выплаты:

n∙+ (1+…+(n-1)+n)

Складываем члены арифметической прогрессии a₁=1 ,d=1, 1+…+(n-1)+n=

n∙+ (1+…+(n-1)+n)=p+ =p+

Эти выплаты равны 15 млн. руб. Но лучше не подставлять, а эту величину представить через p

p=10 млн.руб.

15 млн. руб=10млн. руб+5млн. руб=p+p

p+ =p+p

=

1+n=10

n=9 лет

Ответ: 9 лет

Задача

Виктор взял в банке кредит сроком на 4 года под 16% годовых. На сколько процентов сумма всех выплат банку окажется больше суммы кредита, если досрочное погашение кредита не предполагается?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=4 года 16% в год

Складываем выплаты:

4∙ =p+ =1,4p

Узнаем на сколько процентов сумма всех выплат банку окажется больше суммы кредита

1,4p p на?%

=40%

Ответ:40%

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30%больше суммы, взятой в кредит. Найдите r

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=19 месяцев r% в месяц

Складываем выплаты:

19∙ =р+

Найдем сумму арифметической прогрессии а₁=1 ,d= 1 ,n=19

= =190

Общая сумма выплат после полного погашения кредита р+

По условию задачи общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30%больше суммы, взятой в кредит.

р+

=

r=3

Ответ:3

Пояснение: задача оказалась типичной задачей на кредит с дифференцированными платежами. Отметим, что её формулировка не слишком удачна в части условий кредитования, и у некоторых экзаменуемых трудности в решении могут быть обусловлены лингвистикой ,а не математикой: ведь в задаче не указано, часть какого долга(первоначального или с начисленными процентами)берётся для расчёта выплат. Более удачными формулировками соответствующих условий возврата кредита являются следующие:

1-го числа каждого месяца на ещё не выплаченную часть кредита начисляется r%,т.е.к ещё не выплаченной части кредита добавляется r%от этой части;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга и проценты ,начисленные 1-го числа этого месяца

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 –е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования ,на 15%больше ,чем сумма взятая в кредит. Найдите r

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=9 месяцев r% в месяц

Сумма выплат:

9∙ +(1+2+…9)=р+ =р+

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования ,на 15%больше ,чем сумма взятая в кредит.

р+ на 15%

=0,15

r=3

Ответ: 3

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 –е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс.рублей.Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=15 месяцев 1% в месяц

1. Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс.рублей

+ ∙ p=108000

+ =108000

=108000

р= =1500000 рублей

2. Найдем, какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования

15∙+∙(1+2+…+15)=р+ ∙120= = =1620000рублей

Ответ: 1620000рублей

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 –е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег,которую нужно выплатить банку за весь период кредитования?

Решение

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=18 месяцев 2% в месяц

Найдем, какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования

18∙+∙(1+2+…+18)=р+ ∙171= =1,19р

1+2+…+18= =171

Найдем ,сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег,которую нужно выплатить банку за весь период кредитования

=119%

Ответ: 119%

Задачи

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1%по сравнению с концом предыдущего месяца.

-со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=24 месяцев 1% в месяц

1.Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей

12∙ + 222=

=177750

р= =300 000 рублей планируется взять в кредит

Ответ: 300 000 рублей

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на r%по сравнению с концом предыдущего месяца.

-со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что сумма денег ,которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования ,на 39% больше ,чем сумма ,взятая в кредит. Найдите r

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=25 месяцев r% в месяц

Найдем сумму выплат

25∙ р+ 325=р+

= =325

Известно, что сумма денег ,которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования ,на 39% больше ,чем сумма ,взятая в кредит

р+на 39%

13r=39

r=3

Ответ:3

Задача

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца .Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца:

Со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тысяч рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=24 месяцев 1% в месяц

Складываем выплаты за последние 12 месяцев :

12∙ (1+2+…+12)=+ ∙78=

Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тысяч рублей

=1597500

р= =3000000 рублей

Ответ: 3000000 рублей

Задача

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн.рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r,если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший- не менее 0,6 млн.рублей.

Решение:

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (р=4,5 млн.рублей=4500000 рублей)

N=9 лет r% в год

По условию задачи наименьший годовой платёж по кредиту составит - не менее 0,6 млн.рублей.

+ ∙ p

500000+5000∙r

5000r100000

r20

По условию задачи наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей

1400000

∙4500000 1400000

500000+r∙45000 1400000

r∙45000 900000

r20

Следовательно,r=20

Ответ:20

Задача

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн.рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 38 млн.рублей?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 16 млн.рублей ,но так проще решать)

N=?лет 25% в год

Складываем выплаты:

n∙+ (1+…+(n-1)+n)

Складываем члены арифметической прогрессии a₁=1 ,d=1, 1+…+(n-1)+n=

n∙+ (1+…+(n-1)+n)=p+ =p+ =р(1+ )

По условию задачи известно ,что общая сумма выплат после его погашения составит 38 млн.рублей

р(1+ )=38000000

1+ =

= -1

=

1+n=

1+n=11

n=10

Ответ: 10 лет

Аннуитетные платежи

Аннуитет-начисление равных платежей на весь срок погашения кредита

Пусть р- сумма кредита (долга) и кредит берётся на n лет под r % годовых.

Условия начисления оказываются следующими:

до истечения очередного платёжного периода банк начисляет r% на оставшуюся сумму долга, т.е.увеличивает её на r%;

после начисления процентов клиент вносит в банк(также до истечения соответствующего платёжного периода)некоторую сумму а- одну и ту же для каждого платежа ;сумма долга при этом уменьшается ,и на эту уменьшенную на асумму начисляются проценты до истечения следующего платёжного периода, после чего клиент вносит в банк платёж в размере той же суммы а.

Из этих условий и находится сумма а регулярного платежа.

Задача

31 декабря 2014 года бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10%годовых.Схема выплаты кредита следующая :до 31 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(т.е.увеличивает долг на 10%),затем до истечения этого же платёжного периода(т.е.по 31 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определенную (одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была сумма кредита(в рублях),если сумма ежегодного платежа составила 2662000рублей?

Решение

Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=3 года 10%в год

((1,1p-а)∙1,1-а)∙1,1-а=0

1,1³р -1,1²а-1,1а=а

1,1³ p= а +1,1²а+1,1а

1,1³ p=а(1,1²+1,1+1)

р= = = =6620000 рублей

Ответ: 6620000 рублей

Задача

31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6951000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая:31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%),затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение:

1.Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 6951000 рублей ,но так проще решать)

N=3лет 10% в год

((1,1p-а)∙1,1-а)∙1,1-а=0

1,1³р -1,1²а-1,1а=а

1,1³ p= а+1,1 а+1,1²а

1,1³ p=а(1,1²+1,1+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,1 ,n=3 S₃=1+1,1+1,1²= = =10(

а= = =2795100

Значит, за год будет платить2795100 рубля, а за 3 года 2795100∙3=8385300рублей

2.Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 6951000 рублей ,но так проще решать)

N=2лет 10% в год

(1,1p-а)∙1,1-а=0

1,1²р -1,1а=а

1,1² p= а+1,1 а

1,1² p=а(1,1+1)

а=

а= = =4005100

Значит, за год будет платить 4005100рубля, а за 2 года 4005100 ∙2=8010200рублей

Узнаем на сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа 8385300-8010200=375100рублей

Ответ: 375100рублей

Задача

1 января 2015 года Александр взял в банке 1,1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая -1 –го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 1%),затем Александр переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс.рублей?

Решение

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 1100000 рублей ,но так проще решать)

N=? месяцев 1% в месяц

1,01ⁿp-1,01^n-1а-1,01^n-2а -…-1,01²а-1,01а=а

1,01ⁿp= а+1,01 ^n-1а+1,01^n-2а +…+1,01²а+1,01а

1,01ⁿp=а(1,01^n-1+1,01^n-2 +…+1,01²+1,01+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,01 ,n

1+1,01+1,01²+1,01³+…+1,01^n-1= = =100(

а=

По условию задачи ежемесячные выплаты были не более 275000 рублей

a≤275000

≤275000

≤275000

≤

≤ (

( -1)

16666667

Требуется найти наименьшее натуральное числоn,удовлетворяющее неравенству,

это можно сделать перебором

Другой путь –свести показательное неравенство к логарифмическому

n

минимальное количество месяцев n=5

Ответ: 5 месяцев

Задача

1 января 2016 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая-1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга(т.е.увеличивает долг на 2%),затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 220 тыс.рублей?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 1100000 рублей ,но так проще решать)

N=? месяцев 2% в месяц

1,02ⁿp-1,02^n-1а-1,02^n-2а -…-1,02²а-1,02а=а

1,02ⁿp= а+1,02 ^n-1а+1,02^n-2а +…+1,02²а+1,02а

1,02ⁿp=а(1,02^n-1+1,02^n-2 +…+1,02²+1,02+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,02 ,n

1+1,02+1,02²+1,02³+…+1,02^n-1= = =50(

а=

По условию задачи ежемесячные выплаты не превышали 220 тыс.рублей?

a≤220000

≤220000

≤220000

≤10

≤10 (

(10-1)

минимальное количество месяцев n=6

Ответ: 6 месяцев

Задача

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000рублей в кредит под 14,5 годовых. Схема выплаты кредита следующая -31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %),затем Дмитрий переводит в банк х рублей .Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами(то есть за два года)

Решение

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 4290000 рублей ,но так проще решать)

N=2года 14,5% в год

(1,145p-х)∙1,145-х=0

1,145²р -1,145х=х

1,145² p= х+1,145 х

1,145² p=х(1,145+1)

х=

х= =2622050

Значит, сумма платежа равна 2622050рублей

Ответ: 2622050рублей

Задача

Оля хочет взять в кредит 1 300 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме , может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых . На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 000 рублей?

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 1300000 рублей ,но так проще решать)

N=? лет 10% в год

1,1ⁿp-1,1^n-1а-1,1^n-2а -…-1,1²а-1,1а=а

1,1ⁿp= а+1,1 ^n-1а+1,1^n-2а +…+1,1²а+1,1а

1,1ⁿp=а(1,1^n-1+1,1^n-2 +…+1,1²+1,1+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,1 ,n

1+1,1+1,1²+1,1³+…+1,1^n-1= = =10(

а=

По условию задачи ежегодные выплаты были не более 350 000 рублей

a≤350000

≤350000

≤350000

≤

≤ (

( -1)

1,1⁵1,6

минимальное количество лет n=5

Ответ: 5 лет

Задача

1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на сумму 109500 рублей под 24%годовых сроком на 6 месяцев на условиях погашения кредита ежемесячными аннуитетными (равными) платежами. Это означает, что

до истечения соответствующего платёжного периода, т.е.до 1-го числа каждого следующего за июлем месяца, банк начисляет 24% на оставшуюся сумму долга, т.е увеличивает её на 24%;

после начисления процентов Екатерина вносит в банк (также до истечения соответствующего платёжного периода, т.е.до 1-го числа каждого месяца начиная с августа) некоторую фиксированную сумму -одну и ту же для каждого платежа ;сумма долга при этом уменьшается ,и на эту уменьшенную сумму начисляются проценты до истечения следующего платёжного периода, после чего Екатерина вносит в банк платёж в размере той же фиксированной суммы, и т.п.Найдите сумму всех выплат по кредиту.

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (р=109500 рублей )

24%- в 1 год

х %-в 1месяц

=

х% = = =0,02

N=6месяцев 2 % в месяц

(((((1,02p-а)∙1,02-а)∙1,02-а)∙1,02-а)∙1,02-а)∙1,02-а=0

1,02⁶ p-1,02⁵ а-1,02⁴а -…-1,02²а-1,02а=а

1,02⁶ p= а+1,02 ⁵ а+1,02⁴а +…+1,02²а+1,02а

1,02⁶ p=а (1,02 ⁵ +1,02⁴ +…+1,02²+1,02+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,02 ,n=6

1+1,02+1,02²+…+1,02⁵= = =50(

а= =

Сумма всех выплат по кредиту 6а= =117291,48 рублей

Ответ: 117291,48 рублей

Задачи

Задача.

Василий хочет взять кредит на сумму 1325535 рублей на 5 лет под 20% годовых

Банк предложил ему два варианта:

Вариант 1.Василий отдает одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи)

Вариант2.Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму(дифференцированные платежи)

На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант.

Решение:

Вариант 1

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 1325535,но так проще решать)

N=5 лет 20% в год

((((1,2p-а)∙1,2-а)∙1,2-а)∙1,2-а)∙1,2-а=0

1,2⁵ p-1,2⁴ а-1,2³а -1,2²а-1,2а=а

1,2⁵ p= а+1,2⁴ а+1,2³а +1,2²а+1,2а

1,2⁵ p=а(1,2⁴ +1,2³ +1,2²+1,2+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,2 ,n=5 S₅=1+1,2+1,2²+1,2³+1,2⁴= = =5(

а= = =443232

Значит, за год будет платить 443232рубля, а за 5 лет 443232∙5=2216160 рубля

Вариант2

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 1325535)

N=5 лет 20% в год

Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму

Складываем выплаты:

5∙ = 2120856 (руб)

На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант

2216160-2120856=95304 (руб)

Ответ: 95304 руб

Задача

Денис планирует взять ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) в банке на несколько лет под 10% годовых. Это означает, что каждый год он должен возвращать банку часть кредита, равную сумме кредита, деленной на число пользования кредитом (погашать кредит), и выплачивать банковские проценты за пользование кредитом, сумма выплат по которым подсчитывается по следующей схеме: ежегодная сумма процентов, выплачиваемых Денисом, равна 10% от непогашенной суммы кредита. Так, если кредит взят на 5 лет, то за первый год пользования кредитом Денис должен выплатить 10% от всей суммы кредита, за второй год-10% от непогашенной суммы кредита, т.е. от суммы кредита, и т.п. При оформлении кредита банк предложил Денису выплачивать кредит ежемесячными равными платежами (аннуитетные платежи). Ежемесячный платеж по такой схеме рассчитывается следующим образом: сумма кредита и сумма процентов за все время пользования кредитом суммируются и делятся на число месяцев пользования кредитом. Денис принял предложение банка. Чему равна сумма кредита, взятого Денисом, если известно, что сумма ежемесячного платежа равна 30000рублей,а сумма выплачиваемых процентов оказалась равной сумме кредита?

Решение:

Заметим, что расчет проводился для кредита с дифференцированными платежами, а условия погашения были как для кредита с равными(аннуитетными) ежемесячными платежами

1.Пусть сумму кредита обозначим буквой р

N=?лет 10% в год

Складываем сумму процентов

(1+…+(n-1)+n)

Складываем члены арифметической прогрессии a₁=1 ,d=1, 1+…+(n-1)+n=

(1+…+(n-1)+n)= =

По условию сумма процентов равна сумме кредита

=р

1+n=20

n=19

2.При оформлении кредита банк предложил Денису выплачивать кредит ежемесячными равными платежами (аннуитетные платежи). Ежемесячный платеж по такой схеме рассчитывается следующим образом: сумма кредита и сумма процентов за все время пользования кредитом суммируются и делятся на число месяцев пользования кредитом. Cумма ежемесячного платежа равна 30000рублей

=30000

р=6∙19∙30000=3 420 000 рублей

Ответ: 3 420 000 рублей

Задача

Анатолий решил взять кредит в банке 331000рублей на 3 месяца под10 % в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%),затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи). По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%,а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи) Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода.

1.Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем331000 ,но так проще решать)

N=3 года10%в год

1,1³p-1,1² а-1,1а -а=0

1,1³p=1,1² а+1,1а +а

1,1³p=а(1,1²+1,1+1)

а=

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁=1, q=1,1 ,n=3 S₃=1+1,1+1,1²= = =10(

а= = =133100

Значит, за год будет платить 133100 рубля, а за 3 года 133100∙3 =399300 рубля

2.Пусть сумму кредита обозначим буквой р (Хотя мы сумму кредита знаем 331000рубля)

N=3лет 10% в год

Анатолий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму

Складываем выплаты:

3∙ =р+= =397200 рублей

Сравним 399300 397200

399300 397200=2100(руб)

Ответ: 1 схему выгоднее брать. Выгода составляет 2100 руб

Задача

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырёх лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось ,что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение

Пусть сумму вклада обозначим буквой р (Хотя мы сумму вклада знаем 3900тысяч рублей ,но так проще решать)

N=5 лет 50% в год

К концу пятого года после начисления процентов размер вклада стал

(((((1,5p+а)∙1,5+а)∙1,5+а)∙1,5+а)∙1,5=1,5⁵р+1,5⁴а+1,5³а+1,5²а +1,5а

По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.

1,5⁵р+1,5⁴а+1,5³а+1,5²а +1,5а р на 725%

1,5⁵=

1,5⁵р-р= = р=3900000∙ =25715625

1,5⁴а+1,5³а+1,5²а +1,5а=а(1,5⁴+1,5³+1,5² +1,5)=а=а∙3( =а∙12,1875

=7,25

а∙12,1875=28275000-25715625

а∙12,1875=2559375

а=210000

Ответ : 210000рублей

Задача

В банк помещен вклад 64000рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трёх лет(после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что он составляет 385000рублей.Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?

Решение:

Пусть сумму вклада обозначим буквой р (Хотя мы сумму вклада знаем 64000,но так проще решать)

N=4 года 25%в год

По условию задачи к концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что вклад составляет 385000рублей

(((1,25p+а)∙1,25+а)∙1,25+а)∙1,25=385000

1,25⁴ p+1,25³ а+1,25²а +1,25а=385000

1,25³ а+1,25²а +1,25а=385000-1,25 ⁴ p

а( 1,25 ³+1,25² +1,25) =385000-1,25⁴ р

1,25³ +1,25² +1,25= =5(

1,25⁴= =2,44140625

1,25⁴ р=2,44140625∙64000=156250

= =1,953125

а=

а=48000

Ответ:48000 рублей

Годовые вклады

Задача

Человек открыл вклад на 5000 рублей под 9% годовых на 2 года .Сколько рублей получит вкладчик в конце срока?

Решение:

5000∙0,09=450 (руб)-за год

450 руб-за 1 год

х руб-за 2 года

х=450∙2=900 рублей

5000+900=5900 рублей получит вкладчик в конце срока

Ответ: 5900

Месячные вклады

Задача

Человек открыл вклад на 5000 рублей под 9% годовых на 3 месяца .Сколько рублей получит вкладчик в конце срока?

Решение:

За год :5000∙0,09=450 рублей

За 90 дней: 450 рублей -за 365 дней

х рублей -за 90дней

х=450∙ =110 рублей 96 копеек

365 -это количество дней в 1 году

В високосный год их будет 366 дней

110 рублей 96 копеек получит вкладчик в конце срока

Задача

1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на сумму 109500 рублей под 24%годовых сроком на 6 месяцев на условиях погашения кредита дифференцированными платежами. Это означает, что до 1 числа каждого следующего за июлем месяца она вносит в банк платеж, состоящий из части долга(т.е.18250 рублей) и процентов ,которые начисляются с учетом числа дней соответствующего месяца:30 или 31(всего 6 платежей).Найдите сумму всех выплат по кредиту

Решение:

Пусть сумму кредита обозначим буквой р (р=109500 рублей )

N=6месяцев 24 % год

Найдите сумму всех выплат по кредиту

р∙+ (31+60+93+120+155+186)=р+ = = =117240 рублей

Ответ: 117240 рублей

Используемая литература :

Шестаков С.А. ЕГЭ 2017 .Математика. Задачи с экономическим содержанием .Задачи 17(профильный уровень)/Под ред.И.В.Ященко.-М.:МЦНМЩ,2017

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/292457-gotovimsja-k-egjezadachi-o-vkladah-i-kreditov