Язык символов

Министерство образования и науки

Республики Калмыкия

Целинный район

МОКУ «Хар – Булукская средняя школа»

Учебно-исследовательская работа:

«Язык символов»

Автор: Горяева Баина

ученица 9 класса.

Адрес: 359189 Калмыкия, Целинный район, ул. Пушкина,2

Руководитель:Мучкаева Елена Чудеевна, учитель математики.

Адрес: 359189 Калмыкия, Целинный район, ул. Комсомольская, 18

п. Хар – Булук 2018

Содержание

Введение.

Невозможно представить себе математику без специальных обозначений. Мы настолько привыкли к ним, что порой не можем доказать, не прибегая к символам простейших тождества.

Введение символов для чисел имеет огромное значение. Каждому ясно, насколько легче написать символ, выражающий число «пять», чем слова «класс множеств, эквивалентных совокупности пальцев на руке». Мы настолько привыкли к нашим числовым символам (цифрам), что говоря о числе «семь», представляем себе именно «7», а не множество из 7 предметов. Большое число, например 3427, мы воспринимаем, прежде всего, как символ этого числа, а не пытаемся представить множество из 3427 предметов. Вообще достаточно большие числа можно получить непосредственным абстрагированием окружающего мира: пожалуй, ни один человек не видел миллиарда и даже миллиона каких либо предметов, однако в воображении мы можем вести счет как угодно далеко.

Не зная, какого либо иностранного языка, нельзя прочесть и понять смысла книги, написанной на нем, но если в этой книге встречаются какие либо числа, мы их прочтем и поймем. Язык цифр является международным языком.

II. Цели и задачи исследования.

Цель: 1. Изучить историю возникновения математических символов.

Для достижения этой цели я поставила перед собой следующие задачи:

Собрать материал об истории возникновения математических символов.

III. Место и продолжительность исследования:1 год.

п. Хар – Булук

Методы исследования:

Метод работы с научно - популярной литературой, документами.

Метод сравнения.

Краткая история арифметических действий

и их обозначение.

С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами, а именно действие сложения, вычитания, умножения и деления возникают как действия над самими совокупностями. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупность.

Происхождениесложения теснейшим образом связано со счетом и потому так же старо, как и счет. Простейшие задачи на сложение решались движением вперед по натуральному ряду чисел, а, следовательно, способствовали расширению этого ряда и образования новых названий для чисел.

Наш метод сложения берет свое начало из Индии с той только разницей, что там сложение выполнялось слева направо и результат писался не под слагаемыми, а над ними.Начиная с XV века выполнение задач на сложение принимает современный вид.

Привычитаниивстречалось большое количество способов. Один из них, устанавливающий результат действительным вычислением цифр вычитаемого из цифр уменьшаемого, имеет индийское происхождение. Современную форму вычитание целых чисел приобрело лишь в XIX веке.

Способы выполнения умножения были изобретены довольно поздно. Так, в старейшем из печатных германских руководств 1483 г дается пять способов умножения, среди них и наш новейший его мы встречаем у Луки Пачоли (1454- 1514) в его труде «Сумма [знаний] по арифметике…» наряду с семью другими, каждый из которых особое название. Но уже в этот период современный способ умножения начинает преобладать.

Деление в Древнем Египте и Древней Греции было еще менее совершенным, чем умножение, и методы деления представляли из себя обращение умножения. Индийские и арабские источники очень бедны сведениями о делении. Наш новый способ деления к низу впервые встречается у Луки Пачоли в его «Сумме…», но единственным и в современной форме он становится только в XIX веке.

До конца XVI в. в руководствах по арифметике систематически еще не применялись какие либо символы, а авторы не давали себе ясного отчета об их значении. Одной из заслуг немецкого математика, физика, логика и философа Лейбница (1646 – 1716) является пропаганда математической символики.

Знаки«+» и «-» впервые встречаются у немецкого математика Видмана в 1489 г.; возникновение этих знаков не ясно. Наверное, они возникли в торговой практике. Первой печатной книгой, содержащей изложение приемов вычислений с применением знаков «+» и «-», является руководство немецкого математика Г. Грамматеуса (1518). Позже их употребляли М. Штифель (1545), А. Ризе (1550). В других странах введению этих символов содействовали руководства английских математиков Рекорда (1557), Оутрида (1631), Гарриота (1631) и французских математиков Рамуса (1555), Виета (1579).

Знак умножения «х» ввел Оутрид(1631). Точка как знак умножения, появляется у немецкого математика Региомонтана (XV в.), затем у Гарриота (1631), и, наконец, уже у Лейбница (1698).

Горизонтальная черточка в качестве знака деления впервые встречается у итальянского математика Леонардо Пизанского (XIII век), известного также под именем Фибоначчи.

Знак деления «:» впервые встречается у английского математика Джоса(1633), затем у Лейбница (1684).

Знак«=» введен Рекордом (1557). Знаки неравенств«<», «>» предложены Гарриотом (1631).

Круглые скобки, появляются у итальянского математикаТартальи (1556) . Фигурные скобки применяет Виет (1556).

Степениа²,а³…, аⁿ вводит французский математик Декарт (1637), корни ,, … - Рудольф (1525) и голландский математик Жирар (1629). Следует отметить, что знаки > и < были сразу приняты (так как в типографиях была латинская литера v), то другие математические знаки вошли во всеобщие употребление гораздо позже их введения.

Язык символов.

Уже на сравнительных ранних ступенях развития первобытной культуры, наряду со звуковой речью, человек пользовался не только сопровождающими жестами, которые выражали, прежде всего, его эмоции. Существовал и своеобразный язык символов. Знаками на песке или отметками на стволах и ветвях деревьев охотник, преследующий дичь, показывал своим сородичам направление своего движения и т.п. Привычка к такому языку символов довольно рано вызвала к жизни различные способы числовой записи. Без неё уже нельзя было обойтись.

На современном этапе развития общества человеку приходится иметь дело с числами на каждом шагу. Нужно уметь правильно назвать и записать любое число, как бы велико оно ни было. Если бы каждое число называлось особым именем и обозначалось в письме особым знаком, то запомнить все эти слова было бы невозможно. Для лучшего запоминания всех этих знаков на разных этапах развития человеческого общества существовали свои специальные системы обозначения. Совокупность названий и знаков, позволяющих записать любое число и дать ему наименование, называется системой счисления или нумерацией.

Символ для неизвестной величины.

Уже в работах Герона Александрийского (I в.) и в Мичиганском папирусе (II в.) можно найти специальный знак для неизвестной величины. Эта буква греческого алфавита ς – «концевая сигма», не имевшая числового значения. Следующий шаг в создании алгебраической символики сделал Диофант Александрийский - последний великий математик античности. Подробное описание новых обозначений ученый поместил во введении к своей знаменитой «Арифметике». Там он привел символы для неизвестного, шести его положительных и шести отрицательных степеней, а также правила действий с ними.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: α, β, γ,… обозначали числа от 1 до 9; следующие девять: ί, χ,… обозначали числа от 10 до 904 наконец, следующие девять ρ, σ,… обозначали числа от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась черточка. Букв было 28, одна из них была особой – она обозначалась ς (сигма кольцевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать первую степень неизвестного, так же как мы обычно обозначаем буквой х.

Придумав это, Диофант, по – видимому, уже быстрее стал двигаться дальше. Во всяком случае в «Арифметике» он обозначал специальными значками не только первую, но и вторую, третью, четвертую и даже пятую и шестую степени неизвестного.

Для первой степени неизвестной величины Диофант использовал знак ς, а для остальных степеней – сокращения от их греческих названий

х² - Δ^υ (δυναμις- «сила», «степень»)

х³ - Κ^υ (κυβος - куб)

х⁴ - Δ^υΔ (δυναμοδυναμις - квадратоквадрат)

х⁵- Δ^υΚ (δυναμο κυβος – квадрато-куб)

х⁶ - Κ^υΚ (κυβοκυβος – кубо-куб)

Отрицательные степени Диофант определял как дроби с числителем 1 и знаменателем, равным соответствующей положительной степени. Для отрицательных степеней был также веден особый знак χ, который добавлялся справа сверху к символу положительной степени. Например, х^-2 в обозначениях Диофанта выглядит как Δ^υχ

Был у Диофанта и знак для неизвестного в нулевой степени – М в которой вошли первые две буквы греческого слова «монас» – «единица». Диофант не отождествлял с числом 1. Поскольку в «Арифметике» нет специальных знаков для сложения и умножения, очень важен порядок записи степени неизвестного и коэффициента: за знаком степени всегда следовал коэффициент, так что символ М выполнял знакоразделительную функцию.

А вот для операции вычитания Диофант ввел знак Ω– все отрицательные.

Используя вместо неравенства первые две буквы слова τσος («исос» – равный), Диофант записывал и уравнения. Например, уравнение х³= 2 - х в записи Диофанта выглядело бы так: Κ^ναισΜβΩςα. (буквам α и β в греческой алфавитной нумерации отвечали значения 1 и 2).

После заката античной математики центр знаний переместился на Восток. Здесь, благодаря трудам арабских ученых, алгебра выделилась в самостоятельную область математики. На арабском Востоке впервые стали пользоваться десятичной позиционной системой счисления, заимствованной из Индии. На арабский язык были переведены многие греческие и индийские термины, но от буквенных обозначений неизвестных математики отказались и назвали их словами. Например, аль-Хорезми все величины, с которыми ему приходилось иметь дело, разделил на три вида: неизвестное «джизр» («корень») или «шай» («вещь»); квадрат неизвестного – «мал» («имущество»); свободный член - «дирхем» («серебряная монета»). Позже Абу Камил назвал третью степень «ка’б» («куб»).

Отказавшись от алгебраической символики, арабские математики сделали шаг назад по сравнению с греческими учеными.

Алгебраическая символика математиков средневековой Европы.

С достижениями арабской алгебры европейских ученых познакомил Леонардо Пизанский. Неудивительно, что основные термины нового искусства были переведены с арабского языка. Но при переводе на итальянский получились слова, начинающиеся на одну и ту же букву: cosa («вещь»), censo («имущество»), cubo («куб»). Видимо, поэтому итальянские алгебраисты обозначили степени неизвестного двумя первыми буквами соответствующего слова. Так, в недавно найденном трактате Маэстро Жилио «Вопросы алгебры» (1384) х –се., х³ – си., х⁴- се.di ce. (censo di censo- «квадрато- квадрат»).

Школы алгебраистов возникали не только в Италии, но и в Германии. Итальянское слово cosa (произносится «кóза») здесь превратилось соβ – «косс» и потому немецких алгебраистов называли «коссистами», а введённые ими обозначения – «коссическими». Первым в Германии лекции по алгебре стал читать уроженец Чехии Ян Видман (1460 – начало XVI в.). В его учебнике «быстрый и красивый счёт для всего купечества» (1489 г.) впервые появились знаки сложения и вычитания, которые используют до сих пор: вместо символа p̃ (от ит. Piu – «плюс») он использовал знак «+», а вместо m̃ (от ит. meno – «минус») – привычный «—».

Наиболее известным коссистом был Адам Ризе (1489 – 1559). В своём учебнике «Coβ», так и не напечатанном, Ризе поместил большую таблицу коссических обозначений, которые впоследствии использовал Л.Ф. Магницкий в первой российской «Арифметике» (1703).

Немецкие алгебраисты того времени стремились сократить число символов и ввести единообразные обозначения. Большую роль в этом сыграла книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.).

Изобретение книгопечатания оказало огромное влияние на всю европейскую культуру, и в частности на развитие математики. В числе первых опубликованных математических сочинений была «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» Луки Пачоли, и его обозначения получили широкое распространение. Однако были не удобны, и потому математики продолжали искать более простую систему обозначений.

Француз бакалавр медицины Никола Шюке (умер около1500 г.) предложил собственный вариант: показатель степени он писал мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. Например, 12х³ в записи Шюке выглядело как 12³. Кроме того, Шюке смело ввёл в свою символику не только нулевой (для свободных членов уравнений), но и отрицательный показател. Выражение 8х³*7х^-1= 56х²он изображал бы так:«8³, помноженное на 7^1m̃, даёт 56²».

Ту же идею использовал в XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре». Неизвестное он обозначил специальным символом 1, а его степени – символами 2, 3, … Обозначения Бомбелли оказали влияние и на алгебраическую символику нидерландского математика Симона Стевина (1548 - 1620). Он не только ввёл похожие обозначения для степеней одного неизвестного - 1, 2, 3, …, но и распространил их на степени второго неизвестного – sec. 1 , sec. 2, sec. 3, а также третьего - ter. 1, ter. 2, ter. 3,…

Первое буквенное исчисление.

О происхождении терминов и обозначений для дифференциального исчисления.

Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т.е. при рождении нового метода.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivée, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736 -1813); он же ввёл современные обозначения у´, f´. Такое название отражает смысл понятия: функция f´ (х) происходит из f (х), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как. Это обозначение также часто встречается в современной литературе.

Символ df Лейбниц выбрал для обозначениядифференциала функции f. Дифференциал df функции f – это произведение производной f´(х₀) на приращение Δх, т.е. df = (х₀)Δх; откуда (х₀)=.

Обозначениеlim – сокращение латинского слова limenes (межа, граница); уменьшая, например, Δх, мы устремляем значение к «границе» (х₀). Термин «предел» ввел Ньютон.

Слово «экстремум» происходит от латинскогоextremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.

О происхождении понятия интеграла.

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции или Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) ещё не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Это классическая задача «о квадратуре круга» не может быть решена с помощью циркуля и линейки).

Символ∫введёнЛейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумалЯ. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние,восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция). Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввёл И. Бернулли.

Другие известные школьникам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позже. Употребляющееся сейчас название первообразнаяфункциязаменило более раннее «примитивная функция», которое ввёл Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f (x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f (x) называется также неопределённым интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определённым интегралом (обозначение ввёл К. Фурье (1768 - 1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Понятие слова логарифм.

К умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Греции (выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа – при нахождении объема куба). Но современные обозначения (типа а², а⁵) в XVII в. ввёл Декарт.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (1323 - 1382). Известно, что Шюке (ок.1445 – ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными показателями. С. Стевин предложил подразумевать под корень . Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон.

Немецкий математик М. Штифель (1487 - 1567) дал определение a⁰= 1 при а ≠ 1 и ввёл название показатель(это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, часто употребляемое при переходах типа log_af(x) = )=). В свою очередь термин exponenten возник при не совсем точном с греческого слова, которым Диофант обозначал квадрат неизвестной стороны.

Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющего два значения: сторона и корень. Греческие ученые вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)». Сторона квадрата – его основание по – гречески – базис (отсюда и знакомое нам слово «база»). Но в греческом языке слово «базис» употреблялось и в другом смысле – как корень растения. В русском язык, как мы знаем, тоже есть такие слова, которые имеют несколько значений (слова омонимы), например, лук – растение, лук – оружие. При переводе таких слов надо быть очень внимательными. Из нескольких значений слова «базис» арабские переводчики взяли самое неподходящее – «корень растения». В арабском языке это слово имеет единственное значение, которое перевели на латынь словом radix , которое имеет тоже единственное значение – «корень». С латыни это слово перевели на русский, так оно и осталось до нашего времени. Историки науки установили, как произошла ошибка. Но исправлять её уже поздно – в русском языке появился новый омоним: корень растения, корень из числа.

Знак корня в виде символа √ появился впервые в 1525 г. Современный символ введён Декартом, добавившим горизонтальную черту. Ньютон указывал показатели корней: .

Слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и αρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594) логарифмов Дж. Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.

Заключение.

В учебнике алгебры почти нет рисунков – их заменяют чертежи, мало сплошного текста, зато много цифр и ещё больше букв, причём букв латинского алфавита.

Правило «От перестановки слагаемых сумма не изменяется» можно записать короче: а+в = в+а. Под этими буквами мы понимаем любые числа. Следовательно, буквенное обозначение чисел помогает нам кратко записывать законы арифметических действий.

Выходит, что буквенная запись даёт нам возможность сразу видеть и порядок операций, и их число, да и запомнить её значительно легче, чем словесную.

Такая запись различных математических формулировок правил общепринята во всем мире. И открыв учебник математики любой страны, человек, не знающий языка данной страны, глядя на пример, сразу поймёт о чём идёт речь.

При выполнении данной учебно – исследовательской работы я выяснила, что:

У математиков свой универсальный язык – язык символов и специальных знаков.

Что развитие языка символов и знаков происходит и в современном мире математики.

Язык цифр является международным языком.

А также узнала, историю развития языка символов и специальных знаков в различных странах и в различные времена.

Работа по истории происхождения символов и специальных очень интересна и многогранна, можно искать и находить много интересной информации, как о происхождении символов, так и о применении их на практике.

Литература.

Бородин А. Из истории математики// Математика №3 1999г.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1990.

Пичурин Л.Ф. за страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1990.

Рыбников К.А.. История математики. М.: Наука, 1994.

Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990.

Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. М.: Наука, 1996.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru

Х. Словарь

Иоганн Бернулли (1667 - 1748)– знаменитый швейцарский математик.

Яков Бернулли - швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли.

Рене Декарт (1596 - 1650) – великий французский философ, математик. Один из создателей аналитической геометрии. Ввёл понятие переменной величины.

Диофант (примерно III в. до н.э.)- замечательный александрийский ученый, использовавший в своём творчестве достижения египтян, вавилонян и греков. В его труде «Арифметика» есть уравнения первой степени с одним неизвестным, решение так называемых неопределённых уравнений. Диофант придумал обозначения для неизвестных.

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) – французский ученый, один из крупнейших математиков и механиков своего времени, член парижской Академии наук, иностранный почетный член Петербургской Академии наук.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) – великий немецкий ученый. Из огромного наследия Лейбница для математики самым важным является разработка дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был лично знаком с Петром I и дал много советов по развитию науки в России, в частности по созданию Академии наук.

Исаак Ньютон (1643 -1727) – английский учёный. Создатель классической механики. Главный его труд «Математические начала натуральной философии» оказал колоссальное влияние на развитие естествознания.

Симон Стевин (1548 - 1620) – нидерландский математик.

Пафнутий Львович Чебышев (1821 - 1894) – крупный русский учёный, сделавший большой вклад во многие разделы математики. Его исследования, получившие мировое признание, относятся к теории приближения функций многочленами, интегральному исчислению, теории вероятностей, теории механизмов.

Леонард Эйлер (1707 - 1783) – крупнейший математик XVIII столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии наук. Громадное научное наследие включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям математики.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/292626-jazyk-simvolov