Коллинеарная симметричная система трех тел

Коллинеарная симметричная система трех тел

Пусть две планетыA и B имеют одинаковые массы, и в начальный момент ра­сположены на одинаковых расстояниях от звезды S на одной прямой со звездой с противоположных сторон от нее (см. левую часть рис. 1). Если при этом скорости планет равны и направлены в противоположные стороны, то, как легко видеть, симметричное взаимное расположение всех трех тел такой гипотетической планетной системы будет сохраняться и при последующем движении.

Рис.1. Кеплеровы движения, описываемые точным частным решением задачи трех тел (симметричное расположение одинаковых массивных планет A и B относительно звездыS), в системе отсчета центра масс (слева) и системе отсчета, связанной с планетойB (справа).

Покажем, что движение планет при этом будет кеплеровым. Центр масс системы в начальный момент находится в центре звезды, и при равных и про­тивоположно направленных скоростях планет будет оставаться там и в дальней­шем. Сила, действующая на каждую из планет, складывается из притяжения к звезде и к другой планете. Эта суммарная сила будет центральной (направленной в каждый момент к центру звезды), а ее величина будет обрат­но пропорциональна квадрату расстояния до звезды. В самом деле,

В этой формуле M – масса звезды, m – масса каждой из планет, r – рас­стояние от любой из планет до звезды. Из такого выражения для силы сле­дует, что движение каждой из планет будет происходить по кеплерову эллипсу так, как если бы планета притягивалась только звездой, имеющей массу M_эфф = M + m/4, и не испытывала бы никакого возмущения со стороны второй планеты. Планеты в такой системе движутся по одинаковым эллипсам с об­щим фокусом в центре масс системы, находясь в каждый момент на противо­положных кон­цах от­резка, проходящего через звезду. Эллиптические орбиты планет показаны жирными линиями в левой части рис. 6. Тонкими линиями показаны невозмущенные орбиты, по которым каждая из планет двигалась бы (относительно звезды) только под действием притяжения звезды, т.е. если бы вторая планета внезапно исчезла. Эти оскулирующие эллипсы, касающиеся действительных орбит, показаны для перигелиев A и B (только части эллипсов) и для точекA и B, расположенных ближе к афелиям действительных орбит (целые эллипсы). В правой части рис. 6 показаны траектории звезды S и планеты A в системе отсчета, связанной с планетойB.

Рассматриваемая система иллюстрирует частный случай одного из лагранжевых точных решений задачи трех тел, когда звезда S находится во внутренней коллинеарной точке либрации двух массивных тел A и B.

Симметричная конфигурация системы сохраняется при движении тел лишь при условии, что начальные скорости планет относительно звезды в точности равны по модулю и противоположно направлены. Если же это условие не выполнено, или начальные расстояния планет от звезды не точно равны, или три тела не лежат точно на одной прямой, траектории планет рано или поздно начнут отклоняться от кеплеровых эллипсов, и эти отклонения будут прогрессивно нарастать. Через некоторое время движение системы становится нерегулярным и очень сложным. Это значит, что периодическое движение системы, описываемое рассмотренным частным решением задачи трех тел, неустойчиво. Рис. 2 иллюстрирует эту неустойчивость для случая, когда начальные расстояния планет A и B от звезды S слегка отличаются.

Рис. 2. Неустойчивость движения в симметричной коллинеарной конфигурации, развивающаяся при ничтожном неравенстве начальных расстояний планет A и B от звездыS.

Хоровод одинаковых «планет»

Точные решения задачи многих тел, описывающие периодические движения по кеплеровым орбитам, аналогичные рассмотренному выше примеру, существуют также для гипотетических систем из нескольких одинаковых тел в равносторонней конфигурации, окружающих центральное тело. Представим себе, что n «планет» с произвольно большими, но равными массами расположены во всех n вершинах правильного (равностороннего) многоугольника, и еще одно тело («звезда», масса которой может отличаться от масс «планет») находится в центре этого многоугольника.

Очевидно, что в такой симметричной конфигурации центральное тело находится в равновесии под действием сил тяготения, приложенных к нему со стороны всех окружающих тел. Из симметрии системы ясно, что результирующая сила тяготения, приложенная к любой из «планет» со стороны центрального тела («звезды») и всех остальных «планет», направлена к центру системы. Величина этой силы обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра (или вообще квадрату любого линейного размера многоугольника, например, длины его сторон).

Поэтому в такой системе одинаковые «планеты» могут, сохраняя равностороннюю конфигурацию, синхронно двигаться вдоль равных кеплеровых эллипсов (или даже вдоль открытых параболических или гиперболических траекторий) с общим фокусом в центре «звезды». Для этого необходимо лишь, чтобы начальные скорости всех «планет» были одинаковы и направлены под равными углами к соответствующим радиусам-векторам.

В частности, «планеты» могут равномерно двигаться по одной и той же круговой орбите (в которую вписан образуемый ими многоугольник), находясь на равных расстояниях одна от другой. В этом случае многоугольник с «планетами» в вершинах равномерно вращается вокруг центра. При движении «планет» по эллиптическим траекториям угловая скорость многоугольника максимальна в моменты, когда «планеты» одновременно проходят через перигелии своих орбит. При таком неравномерном вращении многоугольника длины его сторон периодически изменяются.

В верхней части рис. 8 показаны примеры таких точных решений для системы трех (слева) и четырех (справа) «планет». При движении по эллипсам в каждый момент тела находятся в вершинах соответственно правильного треугольника и квадрата. Тонкими линиями показаны невозмущенные орбиты, по которым каждая из «планет» двигалась бы под действием силы тяготения одной лишь «звезды», если бы остальные «планеты» внезапно исчезли (относительно центра масс оставшихся двух тел). Эти оскулирующие эллипсы показаны для перигелиев действительных орбит и для точек A,B, C (и D). Несовпадение истинных траекторий (показанных жирными линиями на рис. 8) с оскулирующими эллипсами явно показывает, что в данной модели массы «планет» сопоставимы с массой «звезды», т.е. здесь мы имеем дело с настоящей задачей многих тел, а не с тривиальным случаем нескольких спутников пренебрежимо малой массы.

Рис. 3. Периодические кеплеровы движения одинаковых массивных «планет» в равносторонних конфигурациях, описываемые точными частными решениями задачи многих тел.

В нижней части рис. 3 показаны аналогичные движения в системах из шести и восьми «планет» в симметричных равносторонних конфигурациях. Тонкими линиями показаны невозмущенные орбиты, по которым двигались бы вокруг «звезды» отдельные «планеты» в отсутствие других «планет». В отличие от верхней части рис. 8, здесь оскулирующие эллипсы соответствуют системе отсчета, связанной со «звездой», а не с центром масс системы двух тел.

Замечательно, что рассматриваемые здесь точные решения задачи многих тел существуют и тогда, когда масса центрального тела равна нулю. Это значит, что система одинаковых «планет», находящихся в вершинах правильного многоугольника, может совершать такой великолепный хоровод под действием сил взаимного притяжения и в отсутствие «звезды». При этом каждое из тел движется под действием сил тяготения (приложенных к нему со стороны других движущихся тел) так, как если бы на него действовала единственная центральная сила, создаваемая неподвижным точечным источником, расположенным в центре системы. В частности, три одинаковых тела, находящиеся в вершинах правильного треугольника, могут синхронно описывать конгруэнтные эллипсы, большие оси которых образуют углы в 120⁰. В верхней части рис. 4 слева показаны орбиты тел A, B и S одинаковой массы в инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс, а справа – в системе отсчета, связанной с одним из тел (S).

Рис.4. Кеплеровы движения одинаковых тел в равносторонней конфигурации. Траектории тел показаны в системе отсчета, связанной с центром масс (слева), и с одним из тел (справа).

Система трех тел в равносторонней конфигурации замечательна тем, что в ней кеплеровы движения возможны даже при различных массах тел. Простое (нострогое) доказательствоможнонайтивстатьеавтора “Regular Keplerian motions in classical many-body systems”, European Journal of Physics, vol.21, pp. 465 – 482 (2000). Оказывается, что и в этом случае полная сила тяготения, действующая на каждое из тел со стороны двух других, направлена к центру масс системы и обратно пропорциональна квадрату расстояния от него. Иначе говоря, можно считать, что в равносторонней конфигурации каждое тело находится в центральном поле тяготения, неподвижный точечный источник которого расположен в центре масс системы, несмотря на то, что это поле создается движущимися телами. При этом приобретаемые телами ускорения пропорциональны расстояниям тел от центра масс. Поэтому тела могут синхронно описывать геометрически подобные эллипсы (с общим фокусом в центре масс) так, чтобы равносторонняя конфигурация трех тел сохранялась во время движения. В частном случае эллипсы могут вырождаться в концентрические окружности. Для реализации кругового движения начальные скорости тел должны быть выбраны определенным образом.

При круговых движениях образуемый телами треугольник вращается равномерно и длины его сторон неизменны. В случае эллиптических движений треугольник вращается неравномерно: угловая скорость максимальна в моменты прохождения тел через перицентры – ближайшие к центру масс точки эллипсов. Вращаясь вокруг центра масс системы, этот треугольник как бы «дышит» – длина его сторон периодически изменяется.

На рис. 10 показан пример такого периодического движения трех тел различных масс (m_A= 0.3 m_S,m_B= 0.6 m_A). В инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс (левая часть рис. 10), тела описывают геометрически подобные эллипсы, линейные размеры которых обратно пропорциональны массам тел. В системе отсчета, связанной с наиболее массивным телом S (правая часть рис. 5), тела A и Bописывают одинаковые эллипсы, показанные жирными линиями. Большие оси этих эллипсов образуют угол 60⁰. Тонкими линиями показаны (неравные) оскулирующие эллипсы для момента прохождения тел A и B через афелии своих орбит. По соответствующему эллипсу двигалось бы дальше в этой системе отсчета каждое из тел A и B вокругS,если бы второе тело внезапно исчезло (т.е. под действием силы притяжения только к S).

Рис.5. Кеплеровы движения в равносторонней конфигурации системы трех тел неравных масс.

Такое регулярное периодическое движение трех тел неустойчиво по отношению к (малым) изменениям начальных условий, нарушающим симметрию системы. Неустойчивость движения в равносторонней конфигурации иллюстрируется примером на рис. 6.

Рис.6. Переход к нерегулярному движению в системе трех тел, совершавшей сначала движение, очень близкое к кеплеровому, описываемому точным частным решением задачи трех тел.

В частном случае, когда тела совершают круговые движения, и масса одного из тел пренебрежимо мала, последний рассмотренный пример системы трех тел в равносторонней конфигурации приводит нас к вопросу о треугольных точках либрации, часто упоминаемому в продвинутых курсах механики в связи с ограниченной задачей трех тел. Хорошо известно, что когда два массивных тела совершают круговые движения вокруг общего центра масс, существует пять положений (так называемых точек либрации), в которых пробное тело пренебрежимо малой массы может находиться в равновесии в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с массивными телами. Другими словами, вся система трех тел может подобно твердому телу (т.е. сохраняя конфигурацию) равномерно вращаться как целое вокруг центра масс. Три положения относительного равновесия пробного тела лежат на одной прямой с массивными телами (одна внутренняя и две внешних коллинеарных точки либрации). Два других расположены в вершинах равностороннего треугольника, основанием которого служит отрезок, соединяющий массивные тела. Равновесие пробного тела в этих лагранжевых точках обеспечивается совместным действием сил тяготения со стороны массивных тел и центробежной силы инерции.

Замечательно, что относительное равновесие тела в треугольных точках либрации устойчиво, если отношение масс тяжелых тел m₁/m₂ не превышает приблизительно 0.04. Для системы Луна – Земля m₁/m₂ = 0.0123, так что треугольные точки либрации устойчивы. Поэтому можно говорить даже о практическом значении соответствующего точного решения задачи трех тел для космической динамики благодаря возможности (хотя бы в принципе) запуска стационарного спутника в треугольную точку либрации системы Луна – Земля. В Солнечной системе устойчивые треугольные точки либрации образованы также совместными гравитационными силами Юпитера – наиболее массивной из планет – и Солнца. Известны две многочисленные группы астероидов (их называют Греками и Троянцами), «захваченных» в этих точках и движущихся вокруг Солнца синхронно с Юпитером.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/293226-kollinearnaja-simmetrichnaja-sistema-treh-tel