Готовимся к ЕГЭ.Задачи оптимизации производства товаров или услуг

Зубарева Елена Александровна

МБОУ Останкинская СШ

г.о.город Бор Нижегородской области

учитель математики

Задачи оптимизации производства товаров или услуг

Линейное программирование-раздел математического программирования. В нем изучается теория и методы решения об экстремумах линейных функций на множествах, которые задаются линейными уравнениями и неравенствами. Задачи линейного программирования являются оптимизационными, т.е. состоят в выборе среди некоторого множества допустимых решений, которые можно в том или ином смысле квалифицировать как оптимальные

Графический метод реализуется в два этапа:

Построение допустимого множества решений линейного программирования

Нахождение оптимального решения среди всех допустимых.

Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными:

Пусть задача линейного программирования содержит две переменные х и y

1.Построить область допустимых решений в системе координат х0y

2.Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместимости системы ограничении.

3.Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линий уровня и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

4.Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум -в противоположном направлении.

5.Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции z=c₁x+c₂y ,линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

6.Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область допустимых решений и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи достигает экстремум в двух угловых точках, то задача имеет бесконечно множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек. После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции .

Задача

Колхоз имеет возможность приобрести не более 19 трехтонных автомашин и не более 17 пятитонных. Отпускная цена трехтонного грузовика -4000руб.,пятитонного-5000руб. Колхоз может выделить для приобретения автомашин 141 тысяч рублей. Сколько нужно приобрести автомашин, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной?

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Н а приобретение грузовиков необходима сумма 4000х+5000y,при этом по условию она не должна превосходить 141000 .

4000х+5000y 141000

019

017

Теперь введем целевую функцию – грузоподъёмность автомашин, которая составляет z=3x+5y.

Построим область допустимых решений задачи, ограниченную прямыми. Множество точек, определяемых неравенствами –многоугольник, в одной из точек которого достигается максимум функции. Построим линию уровня 3x+5y=0

y=-x и вектор градиента.

Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке с координатами (14;17).В этой точке функция принимает максимальное значениеz=3∙14+5∙17=127.

Чтобы достичь этого значения грузоподъёмности ,нужно приобрести 14 трёхтонных грузовиков и 17 пятитонных.

Ответ: 14 трёхтонных грузовиков и 17 пятитонных.

Задача

Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется пять часов работы станка А и три часа работы станка Б ,а для изготовления изделия второго типа требуется два часа работы станка А и четыре часа работы станка Б(станки могут работать в любой последовательности).По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, а станок Б- не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 д.е. прибыли, а каждое изделие второго типа-200 д.е.прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите ,сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Решение:

Пусть изделий первого типа х штук , изделий второго типа y штук.

Прибыль предприятия z=300x+200y

По условию задачи по техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, а станок Б- не более 132 часов в месяц.

5 х+2y≤150

3x+4y

x

y

Множество точек, определяемых неравенствами –многоугольник, в одной из точек которого достигается максимум функции. Построим линию уровня y=-x и вектор градиента

Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке пересечения прямых y=- и y=- .Абсцисса и ордината которой находятся из системы уравнений

y =-

y=-

- =-

-10х+300=-3х+132

-7х=-168

х=24

y=15

В точке (24;15) функцияz=300x+200y принимает максимальное значение z=300∙24+200∙15=10200

Чтобы достичь наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия 10200 д. е. нужно выпускать 24 изделия первого типа и 15 изделий второго типа

Ответ: 24 изделия первого типа ;15 изделий второго типа; максимальная прибыль 10200 д.е.

Задача

Для увеличения выпуска продукции решено расширить производство за счет использований имеющейся свободной площади в 70 кв. м., на которой предполагается установить оборудование двух видов общей стоимостью не более 100 млн.руб.Каждый комплект оборудования вида А занимает 20 кв.м.стоит 10 млн.руб.и позволяет получить за смену 40 ед.продукции, а каждый комплект оборудования вида В занимает 10 кв.м., стоит 30 млн.руб. и позволяет получить за смену 80 ед.продукции. Определить значение максимально возможного прироста выпуска продукции за смену.

Решение:

Пусть комплектов оборудования вида А - х штук , комплектов оборудования вида В- y штук.

По условию задачи для увеличения выпуска продукции решено расширить производство за счет использований имеющейся свободной площади в 70 кв. м., на которой предполагается установить оборудование двух видов общей стоимостью не более 100 млн.руб.

20х+10y≤70

10x+30y≤100

x≥0

y≥0

Теперь введем целевую функцию z=40x+80y – прироста выпуска продукции за смену

Построим область допустимых решений задачи, ограниченную прямыми. Множество точек, определяемых неравенствами –многоугольник, в одной из точек которого достигается максимум функции. Построим линию уровня 40x+80y=0

y=- и вектор градиента (1;2).

Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимальному значению целевой функции ,и будет решением .На рис. видно, что это точка не в вершинах многоугольника, а в точке (1;3). Так как по условию х,y Є N. В этой точке функция принимает максимальное значение z=40∙1+80∙3=280.

Значение максимально возможного прироста выпуска продукции за смену 280 ед.продукции

Ответ: 280 ед.продукции

Задача «диеты». Нахождение минимума целевой функции.

Фармацевтическая фирма ежедневно производит не менее 800 кг некой пищевой добавки, которая состоит из смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в следующей таблице.

Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30% белка и не более 5% клетчатки. Фирма хочет определить рецептуру смеси наименьшей стоимости с учетом требований диетологов.

Решение:

Поскольку пищевая добавка состоит только из кукурузной и соевой муки, переменными для этой задачи, очевидно, будут

х — количество (в кг) кукурузной муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки;

y — количество (в кг) соевой муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки.

Целевая функция равна обшей стоимости пищевой добавки, производимой за один день, и должна быть минимальной. В данном случае это можно записать следующим образом:

Минимизировать z = 0,3 x+ 0,9y

Ограничения модели должны отражать производственные требования и рекомендации диетологов. Фирма должна выпускать не менее 800 кг смеси в день; соответствующее ограничение будет записано следующим образом: x+y ≥800

Рассмотрим ограничение, связанное с количеством белка в пищевой добавке. Общее количество белка в смеси, состоящей из х кг кукурузной муки и y кг соевой муки, равно0,09x + 0,6y (кг).

Это количество должно составлять не менее 30% от общего объема смеси х+ y Отсюда получаем следующее неравенство 0,09х + 0,6y ≥ 0,3(x + y).

Аналогично строится ограничение для клетчатки: 0,02x + 0,06y≤0,05(х +y).

В последних двух неравенствах переменные x и y надо перенести из правых частей неравенств в левые. Окончательно модель примет следующий вид:

Минимизировать z = 0,3x + 0,9y при ограничениях

x +y≥800,

0,21х – 0,3y≤0,

0,03x – 0,01y≥0,

x≥0 ,

y≥0

Поскольку в данной задаче требуется найти минимум целевой функции

z = 0,3x + 0,9y .Нас будет интересовать точка пересечения множества допустимых решений с линией уровня целевой функции ,соответствующей минимальному возможному значениюz.Такой точкой является точка пересечения прямых

x  + y= 800,

0,21x – 0,3y = 0

x = 800-y 0,21x – 0,3y = 0

0,7х-y=0

0,7(800-y)-y=0

560-0,7y-y=0

1,7y=560

y329,41(кг)

х   470.59(кг)

При данных значениях переменных минимальная стоимость производимой ежедневно пищевой добавки составляет z = 0,3 ∙ 470,59 + 0,9 ∙329,41 = 437,65 руб.

Ответ: 437,65 руб

Задача

Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности , которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

Решение.

Пусть х  — доля мощностей завода, занятых под производство компотов в стеклянной таре, а y— доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяной банке. Примем за 1 мощность завода. Тогда х+y=1  .

При этом компотов в стеклянной таре производится 90x  центнеров, а в жестяной таре 80y  центнеров.

Прибыль завода с 1 центнера продукции в стеклянной таре равна 

2100-1500=600 руб.

Прибыль с 1 центнера в жестяной таре равна 1750-1100=650 руб.,

Теперь введем целевую функцию-oбщую прибыль с произведённой за день продукции  z=600∙90x+650∙80y

z=54000x+52000y

z=2000(27x+26y)

Кроме того, из условия ассортиментности следует, что 90x≥20 и 80y≥20, то есть    х≥ ,y≥

Построим область допустимых решений задачи, ограниченную прямыми. Множество точек, определяемых неравенствами –многоугольник, в одной из точек которого достигается максимум функции.

х+y≤1,

х≥ ,

y≥

Построим линию уровня 27x+26y=0 y=-x и вектор градиента.

Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке пересечения прямых y=1-х и y= .

В точке ( ; )функция принимает максимальное значениеz=2000(27∙ +26∙ )=2000∙ =53500 руб.

Поэтому максимально возможная прибыль завода за день равна53500 руб.

Ответ: 53 500 руб.

Используемая литература :

Шестаков С.А. ЕГЭ 2017 .Математика. Задачи с экономическим содержанием .Задачи 17(профильный уровень)/Под ред.И.В.Ященко.-М.:МЦНМЩ,2017

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/294404-gotovimsja-k-egjezadachi-optimizacii-proizvod