Методическая рназработка урока Интеграл и его приложения

Управление образования и науки Тамбовской области

ТОГАПОУ «Аграрно-промышленный колледж»

Методическая разработка

открытого урока

Тема

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

Разработала Л.Н.Салычева,

преподаватель математики

Аннотация

Данная методическая работа написана с целью обмена опытом проведения урока изучения новых знаний по теме «Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства».

В методической разработке обобщается материал по теме «Производная и её приложения», вводится понятия первообразной и неопределённого интеграла. Введение этих понятий позволяют выполнять операции, обратные дифференцированию.

Делается вывод, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции.

Тема «Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства» актуальна, так как является основой для решения прикладных задач в области геометрии, физики, экономики.

В методической разработке используются современные педагогические технологии, широко применяется ИКТ.

Введение

Производная и интеграл являются важнейшими понятиями математики. Они служат фундаментом всего курса математического анализа, изучаемого в колледже.

Раздел учебного материала «Дифферениальное и интегральное исчисление» относится к разряду «трудных» для усвоения. Он требует большой, серьёзной работы обучающихся и тщательной подготовки, правильной организации учебного процесса учителем.

Дидактическая цель занятия по математике достигается различными путями, но главными из них являются: удачное сочетание методов и средств обучения в конкретных условиях, соответствующий подбор примеров и упражнений, способствующий развитию познавательной самостоятельности обучающихся, показ значимости приобретённых знаний для познания самой математики и других предметов.

Подготовительным этапом для восприятия темы «Первообразная. Неопределённый интеграл» является актуализация опорных знаний по теме «Производная и её приложения» и выявления уровня её усвоения.

Мотивация обучающихся осуществляется проведением мозгового штурма и постановкой проблемной задачи, которая требует применить операцию, обратную операции нахождения производной - интегрирование.

Особое внимание отводится практической части урока. Изучение нового материала сопровождается решением упражнений по данной теме, выполнением тестовых заданий и самостоятельной работы по карточкам с вариантами заданий.

Используются приёмы современных педагогических технологий, средства ИКТ.

Объяснение нового материала учителем органично сочетается с использованием интерактивной доски. Обучающиеся не только получают информацию с экрана в виде исторической справки, определений, формул, практических заданий, но и активно используют инструменты и возможности интерактивной доски.

Данная тема приобретает особую актуальность, так как дифференциальное и интегральное исчисление находят широкое применение при изучении общепрофессиональных дисциплин.

Это позволяет при изучении данной темы показать роль внутрипредметных и межпредметных связей с одной стороны, и подчеркнуть прикладную направленность курса математики – с другой.

Целью написания данной методической разработки является обобщение опыта работы по организации и проведению урока, приобретения знаний, умений и навыков по теме «Первообразная. Неопределённый интеграл» с использованием современных педагогических технологий.

Тема урока: Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства.

Вид занятия: Урок

Тип урока:Изучение нового материала

Цели урока:

Дидактическая:Дать определение первообразной и на основе её ввести понятие неопределённого интеграла, изучить его свойства, на основе формул и свойств, освоить приёмы итегрирования элементарных функций.

Развивающая:Создать атмосферу активного учения, коллективного поиска, сотрудничества.

Воспитательная:Добиваться сознания личной значимости разрешаемых проблем для обучающихся.

Задачи урока:

составить таблицу интегралов элементарных функций,

выработать навыки интегрировния простейших функций.

Межпредметные связи: Физика, экономика, информатика.

Оборудование:

Интерактивная доска.

Мультимедийный проектор.

Презентация по теме «Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства».

Стенд с табличными интегралами.

Карточки с заданиями.

Листы опроса обучающихся.

Рабочее место:кабинет математики.

Литература.

Основная:

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. М., 2011.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М., 1983.

3. Рудник А.Е. и др. Сборник задач по элементарной математике. М., 1974.

Дополнительная:

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

2. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев, 1972.

Ход урока

«Учиться можно только весело…

Чтобы переваривать знания,

надо поглощать их с аппетитом»

Французский писатель

Анатоль Франс

1. Организационная часть.

Учитель проверяет наличие обучающихся на уроке, готовность их к работе на уроке.

2. Опрос обучающихся.

(Обобщающее повторение по теме «Производная и её приложения»).

Метод преподавания – побуждающий, контролирующий.

2.1. Обобщающее повторение по теме «Производная и её приложения» (вопросы и ответы выведены на интерактивную доску, используется функция «шторки», используются ссылки):

Определение производной.

Способы вычисления.

Геометрический смысл производной.

Исследование функций и построение графиков.

Механический смысл производной.

Производная в экономике.

Дифференциал функции.

2.2. Самостоятельная работа на актуализацию знаний.

Обучающиеся получают карточки с заданиями по теме «Производная и её

приложения» (Приложение 1).

Вариант 1

Найти производные функций

1) (

2) ( .

Вариант 2

Дана функция .

1) Найти угловой коэффициент касательной к графику этой функции в

точке

2) Чему равен тангенс угла наклона касательной к оси OX?

Вариант 3

Дана функция .

1) Найти критические точки и интервалы монотонности для этой

функции.

2) Назовите вид экстремума для этой функции.

Вариант 4

Тело движется по закону s(t) = 1.

Найти скорость тела в момент времени

1)t = 3с, 2) t = 5с.

Вариант 5

Объём продукции задан формулой y(t) = 4t.

Найти производительность труда

1) за 1-й час работы, 2) за 2-й час работы.

Вариант 6

Найти дифференциалы функций:

а) d( б) ( .

Ответы занести в лист опроса.

Правильность ответов проверяется с помощью интерактивной доски.

3. Мотивация занятия.

Мозговой штурм:

Какие математические операции вам известны?

Назовите взаимно - обратные математические операции.

Если функция является многочленом третьей степени, то какую степень имеет производная?

Если производная функции имеет третью степень, то какую степень имеет функция?

Объём продукции задан формулой y(t) = . Чему равна производительность за 1 час?

Производительность труда задана формулой q(t) = Какова формула объёма продукции?

Возникла необходимость изучения математической операции, обратной операции дифференцирования.

Сообщение темы урока

«Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства».

4. Актуализация опорных знаний.

Метод обучения – контролирующий.

4.1. Обзорное повторение таблицы производных.

4.2. Решение упражнений.

Упражнение 1 (выполняется на доске).

Найти производные функций:

1)

Какова исходная функция? Какая функция получилась после дифференцирования?

Упражнение 2.

Определить, от какой функции нашли производную?

1) 2) ,

5. Изучение нового материала.

Применяется метод частично-поисковый.

5.1. Определние первообразной.

ФункцияF(x) называется первообразной для функцииf(x), если выполняется равенство (F(x))= f(x).

Закрепление определения на интерактивной доске путём передвижения объектов.

Анализ упражнений 1 и 2.

5.2. Решение упражнений на первообразную:

Упражнение 3.

Найти первообразные функций и выполнить проверку:

1); ; .

Решение:

1)f(x) = ; F(x) = ; .

2) f(x) = ; F(x) = ; .

3) f(x) = ; F(x) = ; .

4)f(x) = ; F(x) = ; .

Тест. Найти первообразные функций:

; ; ; ; 2sinx.

Каждый обучающийся получает перфокарту, содержащую задания и

4 варианта ответов на каждое задание. Такая же карта на интерактивной

доске. После выполнения теста обучающиеся производят самоконтроль.

Результаты записывают в лист опроса.

(Приложение 2)

Ответы:

1) f(x) = ; F(x) = ;

2) f(x) = ; F(x) = ;

3) f(x) = cosx; F(х) = sinx; (sinx)= cosx

4) f(x) = ; F(x) = ; =

5) f(x) = F(x) = ;

6) f(x) = 2sinx; F(х) =-2 cosx; (-2cosx)= 2sinx

Упражнение 4:

Найти первообразную для функции f(x) = .

F(x) = , ( .

Существуют ли ещё первообразные для функции f(x) = ?

F(x) = , (

F(x) = , (

F(x) = , ( .

Сделайте вывод, какая прослеживается закономерность?

(Сколько первообразных имеет функция f(x) = ?)

Обобщающий вопрос:

Сколько первообразных может иметь любая функция?

(Ответ: бесконечное множество).

Учитель предлагает объяснить ответ, выслушивает мнения обучающихся,

обобщает ответы, делает вывод).

5.3. Определение неопределённого интеграла.

Метод объяснительно-иллюстраривный

(Определение на интерактивной доске)

Неопределённым интегралом называется совокупность всех первообразных для данной функции.

Обозначение:

ʃ - стилизованная буква S - сумма;

f(x)- подынтегральная функция;

f(x)dx - подынтегральное выражение;

F(x) - первообразная;

C - произвольная постоянная.

Вопрос – почему интеграл называется неопределённым?

5.4. Историческая справка.

Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления являются Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Символ введён в 1675 году немецким учёным Лейбницем.

(Сообщение обучающегося – приложение 3).

Учитель обобщает выступление обучающегося: изучение интегрального исчисления велось этими учёными параллельно, независимо друг от друга.

Интегральное исчисление возникло в процессе решения большого количества задач естествознания и математики, важнейшими из которых являются определение пройденного телом пути и вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел.

5.5. Начальный этап применения новых знаний.

Упражнение 5.

Проинтегрировать выражения:

1) = + С

2)

3)

Проверка правильности интегрирования дифференцированием.

Вывод: Дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные процессы.

(Данное предложение и несколько иллюстрирующих примеров – на интерактивной доске).

г) .

Упражнение «5г» вызывает у обучающихся определённую трудность, возникает проблемная ситуация, появилась необходимость изучения свойств неопределённого интеграла и основных табличных интегралов.

5.6. Свойства неопределённого интеграла.

Применяется объяснительный метод.

Свойства выводятся на интерактивную доску, каждое свойство иллюстрируется примерами на интерактивной доске.

Свойства неопределённого интеграла:

1⁰ Производная интеграла равна подынтегральной функции:

.

2⁰ Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

3⁰ Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций:

.

Свойства интеграла в приложении 6.

5.7. Основные табличные интегралы.

Применяется поисковый метод, обучающиеся сами составляют формулы интегралов элементарных функций, применяя имеющуюся у них таблицу производных.

Правильность составления формулы интеграла проверяется дифференцированием.

(На интерактивную доску выведена таблица производных элементарных функций, дано несколько вариантов соответствующих интегралов, обучающимся нужно выбрать правильный).

Составленную таблицу интегралов обучающиеся переписывают в рабочую тетрадь. (Приложение 4).

6. Применение новых знаний.

Метод репродуктивный.

6.1. Интегрирование выражений.

Упражнение 6. (Выполняется у доски с комментариями, применяются свойства и формулы интеграла).

Проинтегрировать выражения, применяя изученные свойства и формулы неопределённого интеграла:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6.2. Контроль выработанных умений и навыков.

Древнегреческий поэт Нивей говорил,

что математику нельзя изучать,

наблюдая, как это делает сосед.

Самостоятельная работа по карточкам.

Обучающиеся получают карточки с заданием проинтегрировать

выражение. (Приложение 5).

Ответы занести в лист опроса.

Решения вариантов открываются на интерактивной доске, обучающиеся производят самоконтроль.

Используются ответы вариантов заданий смостоятельной работы.

На интерактивной доске: ответ – теоретический вопрос по новой теме.

(Обучающиеся отвечают на соответствующие вопросы).

Таким образом происходит обобщение материала, изученного на уроке.

7. Задание для самостоятельной работы обучающихся.

(На интерактивной доске и в приложении 6).

Метод информационный.

7.1. Контрольные вопросы:

1). Определение первообразной.

2). Определение неопределённого интеграла.

3). Свойства неопределённого интеграла.

4). Табличные интегралы.

7.2. Проинтегрировать выражения.

Упражнение 7.

1)

2)

3)

4)

5)

6).

8. Итог занятия. Рефлексия обучающихся.

Выведите средний балл ваших оценок и сдайте листы опроса.

Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Для чего можно использовать эти знания?

Проанализируйте свою деятельность на уроке и оцените свою работу.

Поднимите руки те, кому было трудно понять, но интересно изученное на уроке, кому было понятно, но остались вопросы, кому было все понятно?

Количество поднятых рук подсчитывается и вносится в таблицу диаграммы: трудно, хорошо, отлично.

Заключение.

В соответствие с рабочей программой в результате изучения темы «Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства» обучающиеся должны знать определение первообразной, неопределённого интеграла, свойства интеграла.

Обучающиеся должны уметь находить первообразные по заданной функции, находить простейшие интегралы с использованием свойств и таблицы интегралов.

Опыт работы показывает, что данная методика даёт положительные результаты. В итоге обучающиеся могут давать определения первообразной и неопределённого интеграла, умело использовать формулы для интегрирования выражений.

Усвоение обучающимися данной темы очень важно, так как интегральное исчисление даёт возможность решать прикладные задачи по вычислению площадей фигур и объёмов тел, нахождения пути по скорости движения тела, вычислению работы силы, объёма производимой продукции.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/300662-metodicheskaja-rnazrabotka-uroka-integral-i-e