Аналитический и графический способы решения уравнений с применением ИКТ

«Аналитический и графический способы решения уравнений с применением ИКТ» - интегрированный урок алгебры в 10 классе.

МБОУ «Юркинская СОШ» Республика Марий Эл

учитель математики

Лашманов В.В.

14 ноября 2016 г.

Цели:

-Найти способ решения уравнений с помощью построения графиков функции;

-Развить умения и навыки построения графиков квадратичной функции;

-Вызвать интерес у учащихся к самостоятельному и научному поиску.

Для достижения данной цели учащимся предлагается решить следующие задачи:

Изучить литературу по теме “модуль” и “построения графиков квадратичной функции”;

-Построить данные графики математическим способом;

-Построить графики с помощью компьютера, используя программу EXCEL;

-Сравнить результаты построения и сделать к каждому типу задач выводы.

-Оформить результаты, как научно исследовательскую работу.

Рассмотрим решение задач типа:

Задача 1. Построить график функции у =׀f(х)׀, где f(х)- квадратичная функция.

Задача 2. Построить график функции у =f(׀х׀), где f(х)- квадратичная функция.

Задача 3. Построить график функции у =f( -׀х׀), где f(х)- квадратичная функция.

Задача 4. Построить график функции у =׀f(׀х׀)׀, где f(х)- квадратичная функция.

Для решения данных задач необходимо:

-Знать определение модуля и умение его раскрывать;

-Знать общие методы построение графика квадратичной функции;

Рассмотрим 2-3 примера каждой задачи.

Сравнить их с графиком функции у =f(х), где f(х) - квадратичная функция.

Сделать соответствующие выводы.

По решению данных задач рассмотреть следующие примеры:

f(х) = ׀х² -2х – 3׀, f(х) = х² -2׀х׀–3

f(х) = х² +2׀х׀ – 3, f(х) =׀х² -2׀х׀ – 3׀, f(х) = х² -2х – 3,

f(х) = ׀-х² + 6х – 5׀, f(х) = - х² +6׀х׀–5, f(х) = -х² -6׀х׀ – 5

f(х) = ׀-х² +6׀х׀ – 5׀, f(х) = -х² +6х – 5

Часть1. Построить графики функций математическим способом.

Цель задания:

-Повторить теорию необходимую для построения графиков функций, содержащих знак модуля.

-Построить заданные графики функций.

Чтобы построить график функции необходимо знать:

1. что модуль числа не может быть отрицательным.

2. общую схему построение графика квадратичной функции:

-нахождение координат вершины параболы;

-составление таблицы значений;

-построение графика функции.

Учащиеся дают определение понятия модуль и как построить график квадратичной функции (общую схему).

Определение: Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета.

Возьмем два противоположных числа а и –а, точки изображающие их на координатной прямой, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчета. Для такого расстояния придумано специальное название – модуль числа =׀а׀. В самом деле расстояние от точки А(5) до нуля равно 5, а расстояние от точки В(-3) до нуля равно 3. Модули противоположных чисел равны. Раз модуль – это расстояние, он никогда не бывает отрицательным.Поэтому для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного - противоположному.

Для построения графика квадратичной функции координаты вершины (Х;У) параболы находится по формулам:

Х= -в / 2а; У=ах²+вх +с, затем составляется таблица и строится график.

I. Рассмотрим построение графиков функции вида у = ׀f(х)׀на примерах:

а)f(х) = ׀х² -2х – 3׀, б) f(х) =׀-х²+ 6х – 5׀.

А) Построим график функции f(х) = ׀х² -2х – 3׀.

1. Раскроем модуль:

׀х² -2х – 3׀= х² -2х – 3, если х≥ 0 ,

׀х² -2х – 3׀= - (х² -2х – 3), если х< 0

Построим график квадратичной функции у = х² -2х – 3.

Координатами вершины параболы у=х² -2х – 3 будет точка с координатами (1;4).

Составим таблицу значений для графика функции у= х² -2х – 3

Х-4-3-2-101234

У211250-3-4-305

С учетом того, что при х² -2х – 3< 0 функция задана иным графиком у = - (х² -2х – 3), таблица будет следующей:

Х-4-3-2-101234

У21125034305

По данной таблице построим график функции.

Б) Построение графика функции f(х) = ׀-х² + 6х – 5׀. При аналогичном рассуждении, получу график функции .

Часть 2. Построение графиков функции с помощью компьютера.

Цель занятия:

-Изучить теорию построения графиков с помощью компьютера.

-Построить графики заданных функций с помощью компьютера.

Используя компьютерную программу Excel. Эта программа позволила нам еще изучить изменения графиков в зависимости от значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их исследование на компьютере можно разделить на несколько основных этапов.

Описательная информационная модель (выделяем с точки зрения целей проводимого исследования, параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегаем);

Формализованная модель (описание информационной модели в программе Excel с помощью формул);

Компьютерная модель (построение компьютерной модели с использованием электронных таблиц Excel);

Компьютерный эксперимент (построение графиков функций);

Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели (в случае несоответствия результатов, полученных при исследовании информационной модели, измеряемым параметрам реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки).

Пример1.

Исследуем графики функций y = f(x) и y=׀f(x)׀, где f(x) = x ²-2x-3 на промежутке [-2; 4]. Представим данные функции в табличной форме

Используя мастер диаграмм, по полученным данным строим точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров. Полученный результат не удовлетворяет результатам нашего предварительного исследования. Это хорошо видно на диаграмме.

Для уменьшения погрешности исследований при построении графиков функций, значения аргумента изменяем на 0,1 (шаг), в формулах для автоматизации расчетов использую относительную, абсолютную и смешенные адресации ячеек. Скорректированные параметры позволяют более точно выполнить построения графиков функций в программе Excel и подтвердить правильность наших исследований математическим путем - “на бумаге”.

График функции f(х) = ׀-х2 + 6х – 5׀исследуем аналогичным образом.

Часть 3. Построение графиков для решения уравнений.

Цель задания:

-Отработка навыков построения графиков функции для решения сложных уравнений.

Рассмотрим несколько примеров решений уравнений с помощью

использования ИКТ.

Пример 1.

Решим уравнение: cos(x) =x²+1 , значения х возьмем от -3до 3 с шагом 0,2. Построим графики функций у=cos(x) и у=x²+1.

По графикам видим, что решением уравнения будет приблизительно число Х=0.

Проверив аналитически, убеждаемся в правильности нашего предположения.

Пример 2.

Решим уравнение: cos(πx)=- (х²)+6х-10 , значения х возьмем от -3до 8,4 с шагом 0,3. Построим графики двух функций: у=cos(πx) и у= - (х²)+6х-10

Решением уравнения приблизительно будет число Х=3.

Проверив аналитически, убеждаемся в правильности нашего предположения.

Пример 3.

Решить уравнение: 16X²-24X+12=(sqr(3)-cos(18πX/3))(sqr(3)+cos(18πX/3))

Построим графики следующих функций: у=16X²-24X+12 и

У= (sqr(3)-cos(18πX/3))(sqr(3)+cos(18πX/3). Значения х возьмем от 0,5 до 0,94 с шагом 0,01.

Решением будет приблизительное число х=0,75. (х=¾)

Проверив аналитически, убеждаемся в правильности нашего предположения.

Выводы:

При решении данных задач нам удалось оказать помощь в построении графиков функций, содержащих знак модуля, при решении уравнений, а главное убедить учащихся, что математика – это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую пищу ума, связывающее его с общечеловеческой культурой, формирующей важнейшие черты его личности. РАССМАТРИВАЕМЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МОЖНО ПРИМЕНИТЬ НЕ ТОЛЬКО К КВАДРАТИЧНЫМ, НО И К ЛИНЕЙНЫМ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫМ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ.

Список литературы:

“Математика”. Учебник 6 класс Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов. – Изд.4 –е.- М. Издательство “Русское слово”, 1997г.

“Алгебра”. Учебник 9 класс. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк . М. Просвещение, 2004г.

“Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №48, 2003г.

“Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №7, 1998г.

Тесты и экзаменационные задания по математике. Учебное пособие. Е.С.Баранова, Н.В. Васильева. – Издательский дом “Питер”, 2005 г.

“Абсолютная величина”. Гайдуков И.И.. – М.: Просвещение, 1968.

“Функции и построение графиков”. Гурский И.П..- М.: Просвещение, 1968.

“Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов”. Кострикина Н.П.. М.: Просвещение, 1991. © 2003—2008 Издательский дом «Первое сентября»

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/304647-analiticheskij-i-graficheskij-sposoby-resheni