Задачи с параметром для 11 класса

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ для 11 класса.

(из сборника «ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ-2008» под редакцией Е.А.СЕМЕНКО)

Все рассматриваемые задания в сборнике являются заданиями С3 части 3.

Вариант 1

Найти все значения параметра а, при которых в области определения функции

у=

есть натуральные числа, но ни одно из них не делится на 7.

Решение.

у=

D(у): >0.

Рассмотрим 2 случая:

a>1,

>0,

>1;

a>1,

-1>0;

a>1,

>0;

a>1,

>0;

a >1,

< 0;

Решим 2-ое неравенство методом интервалов:

а) х(а-1) + 4=0, б) ах + 4=0,

х = . х = .

Сравним числа при а>1:

< 0, т.к.1- а < 0

Значит,

в )

x

х є ( ; ) при а >1.

Очевидно, что на этом промежутке расположены только отрицательные числа, а значит, среди них нет натуральных чисел, и условие задачи не выполняется.

0<a<1,

>0,

<1;

0<a<1,

>0,

<0;

0<a<1,

>0,

< 0.

При 0< а <1 1- а >0, и значит .

Решим 2-ое неравенство системы методом интервалов:

0

x

Решим 3-е неравенство системы методом интервалов:

x

Итак, х є (0; ), при а є (0;1)

Ясно, что этот промежуток содержит натуральные числа.

Чтобы эти числа не делились на 7, необходимо выполнение следующих условий :

0 1

7 х

,

0<a <1;

0< a< 1;

0<a< 1; т.к. а < 1, то 1- а > 0

а + 3≥ 0,

7а - 3≤ 0,

0 < а < 1;

-3≤ а ≤ ,

0 < а < 1; т.е. а є (0; ).

Ответ:а є (0; 3/7)

Вариант 2.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

4^х+2( а-3)2^х+5-а=0не имеет корней.

Решение:

Пусть 2^х=t,t>0,тогда уравнение примет вид:

t² +2(a-3)t+5-a=0.

Решим это уравнение при t>0, и определим, при каких значениях а, оно не имеет корней.

Возможны 2 случая:

Квадратное уравнение не имеет корней, если D<0

D=(a-3)²-(5-a)=a²-6a+9-5+a=a²-5a+4=(a-1)(a-4),

(a-1)(a-4)<0,a є (1; 4)

2)Данное в условии уравнение не будет иметь корней, если квадратное уравнение относительно t имеет корни, но они не удовлетворяют условию t > 0, т.е. t ≤ 0.

Итак, D ≥ 0,

t₁ +t₂ ≤ 0,

t₁ • t₂ ≥ 0.

По теореме Виета t₁+t₂= -2(a-3),

t₁•t₂= 5-a.

З начит, (a-1)(a-4) ≥ 0,

-2(a-3) ≤ 0,

5-a ≥ 0;

(a-1)(a-4)≥0,

a-3≥0,

a≤5;

(a-1)(a-4)≥0,

3≤a≤5;

+

+

--

1 3 4 5 a

а є [4;5].

Итак, условие задачи выполняется, если

а є (1; 4) [4; 5] = (1; 5].

Ответ: а є (1; 5]

Вариант 3

Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства

• 3^2x-a>

содержит ровно 6 целых чисел.

Решение:

• > ,

>

Т.к. функция у=3^t монотонно возрастает на (-∞; +∞), то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому:

a|x-1|+ 2x-a> x²,

x²-2x-a|x-1|+a< 0.

Е сли х ≥ 1, то |x-1|=x-1;

х²-2x-a(x-1)+a<0,

x≥1;

x²-(2+a)x+2a<0,

x≥1;

( x-2)(x-a)<0,

x≥1.

Е

а 1 2 х

х є [1; 2)

Е

1 2 х

х є (1; 2)

Если а є (1; 2), то:

1 а 2 х

Если а = 2, то неравенство (х-2)²<0 не имеет решений

Е сли а > 2, то:

х

1 2 а х

2)Если х<1, то |x-1|=1-x

x²-2x-a(1-x)+a<0,

x <1;

x²-(2-a)x <0,

x <1;

x (x-(2-а))<0,

x < 1.

Решим 1-ое неравенство системы методом интервалов, рассмотрев различные случаи взаимного расположения точек х=0 и х = 2-а

Если 2-а<0, т.е. а>2, то:

2-а 01 х

х є (2-а; 0)

Если 2-а=0, т.е. а=2, то1-ое неравенство системы примет вид х²<0, которое не имеет решений.

Если 0< 2-а <1, т.е. а є (1; 2), то:

0 2-а 1 х

х є (0; 2-а)

Если 2-а=1, т.е. а=1, то

0 2-а=1 х

х є (0; 1)

е) Если 2-а>1,т.е. а<1, то

0 1 2-а х

х є (0;1)

Итак,

При а<1, х є (0;1)[1;2)=(0; 2). Это множество решений не содержит 6 целых чисел, значит, условие задачи не выполняется.

При а =1, х є (0; 1)(1; 2). В этом множестве нет целых чисел вообще.

При а є (1;2), х є (0; 2-а)(а; 2), где так же нет целых чисел

При а =2, неравенство не имеет решений.

При а >2, х є (2-а; 0)(2; а).

Это множество представляет собой объединение двух промежутков одинаковой длины |a-2|, каждый из которых должен по условию задачи содержать ровно 3 целых числа. На промежутке (2;а)- это числа: 3; 4; 5. Значит, а ≤ 6.

На промежутке (2-а; 0)-это числа:-1; -2; -3. Значит, 2-а < -3,

т.е. а > 5.

Итак, а є (5; 6]

Ответ : а є (5; 6]

Вариант 4

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции y=

нет ни одного натурального числа, квадрат которого больше либо равен 144.

Решение:

D(y): log_a(x-2) - log_a(ax+1)>0,

log_a(x-2) > log_a(ax+1)

x-2>0,

ax+1>0;

Рассмотрим 2 случая:

a>1,

x-2>ax+1,

x-2>0,

ax+1>0;

a>1,

x(1-a)>3,

ax > -1; т.к. а>1, то 1-а<0, тогда:

a > 1,

х < ,

x >

Оба числа и являются отрицательными, сравним их при а>1:

= = < 0, т.к. а > 1

Значит,<

- x

Решений нет; т.е. область определения функции - пустое множество; в таких случаях говорят, что функция не определена, а значит, условие задачи не выполняется.

0<a<1,

x-2 <ax+1,

x-2 >0;

0<a< 1,

x(1-a)< 3,

x >2;

т.к. а є (0; 1), то 1-а>0,

0<a<1,

х < ,

x > 2.

При всех а є (0; 1) числа >3

2

x

Итак,х є (2; ) при а є (0; 1).

По условию задачи в D(у) не должно быть ни одного натурального числа, квадрат которого был бы больше либо равен 144. Значит, число 12 не должно находиться внутри этого промежутка, т.е.

≤ 12,

0 < a< 1;

3 ≤ 12(1-a),

0< a <1;

1 2a ≤ 9,

0 <a < 1;

a≤ 3/4,

0< a< 1.

Итак, aє ( 0; 3/4]

Ответ: а є (0; 0,75]

Вариант 5

Найдите все значения параметра а,при которых уравнение

3^|8-x|= имеет ровно один корень, принадлежащий отрезку [3; 9].

Решение:

3^|8-x| = 3^ax

Т.к. функция у=3^tмонотонно возрастает на (-∞; +∞), тогда

|8-x|=ax, или |x-8|=ax.

Решим уравнение графически.

у

У=|x-8|

y=ax, a=a₂

х

5

y=ax, a=a₁

0

8 9

1 3

у = ах - множество прямых, проходящих через начало координат и имеющих различные угловые коэффициенты.

Еслиа=0, то графики функций у=0 и у=|х-8| пересекаются при х= 8, 8 є [3; 9]

Из рисунка видно, что имеются два предельных положения прямой у = ах, таких, чтобы она пересекала график функции у=|х-8| в одной точке с абсциссой, принадлежащей отрезку[3; 9].

Итак,а₁< а ≤ а₂,

гдеа₁=tgα₁= 1/9,

a₂=tgα₂=5/3.

Значит, данное уравнение имеет один корень из промежутка [3; 9], если

а є

Ответ : а є (1/9; 5/3]

Вариант 6

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

у=

есть натуральные числа, кратные 5, но ни одно из кратных 5 не делится на 9.

Решение:

log_ax - log_a(ax+1) ≥0,

log_ax ≥ log_a(ax+1).

1)если а >1, то функция у=log_atвозрастает на (0;+∞),поэтому:

a >1,

x >0,

ax+1>0,

x ≥ ax+1;

a>1,

x >0,

x >-1/a,

(1-a)x ≥1;т.к. при а >1, (1-а)<0, то:

a >1,

x >0,

x ≤ .

Очевидно, что система не имеет решений, т.к. <0 при а>1. Значит, при а>1функция не определена, и условие задачи не выполняется.

2)при а є (0;1) функция у=log_atубываетна (0;+∞), значит

0 < a <1,

х >0,

ax > -1,

x ≤ ax+1;

0< a <1,

X >0,

(1-a) x ≤ 1;

0< a <1,

х > 0,

х ≤ .

Т.к. >0 при а є (0; 1), то х є (0; ]при а є (0; 1).

Итак,D(f) = (0;],a є (0; 1)

Чтобы в области определения функции содержались числа, кратные 5, необходимо выполнение неравенства:

≥ 5.

Но, чтобы эти числа не были кратны 9, необходимо выполнение неравенства: < 45.

И так, 0< a<1,

≥5,

<45;

Т.к. 0<a<1, то 1- а>0; получим:

0<a<1,

1≥5(1-a),

1<45(1-a);

0<a<1,

5a≥4,

45a<44;

0<a<1,

а ≥ 4/5,

a< 44/45, т.е. а є [4/5; 44/45)

Ответ: а є [4/5; 44/45)

Вариант 7

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

y=

есть натуральные числа, кратные 3, но ни одно из кратных 3 не делится на 7.

Ответ: а є [1/3; 17/21)

Указания:

Приа>1D(f) - пустое множество, значит функция неопределенна.

П риа є (0; 1)D(y) = (3;]. Чтобы в D(y) содержались числа, кратные 3, но не кратные 7, необходимо, чтобы

6 ≤ < 21.

3 6 7 21 x

Решив неравенство 6 ≤ < 21 при а є (0;1), получим ответ.

Вариант 8

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

25^х+2(а+1)5^х+1-5а=0 не имеет корней.

Ответ:а є (-7; 0,2).

Указания:

Условие задачи выполняется, если 1) D<0; или 2) D ≥0, но корни соответствующего квадратного уравнения неположительны, тогда по т. Виета 2(а+1)≥ 0 и 1-5а ≥ 0.

Вариант 9

При каких значениях параметра ауравнение

имеет ровно три различных корня?

Решение

Т.к. 4х²- 20х + 25=(2х-5)², то уравнение примет вид:

Т.к. функция у=2^tмонотонно возрастает на (-∞; +∞), то:

2ах²+6ах-(х+3)=(х+3)|2х-5 |,

2ах(х+3)-(х+3)=(х+3)| 2х-5 |,

(2ах-1)(х+3)=(х+3)|2x-5|,

х+3=0,

2ах-1=|2х-5|.

Значит, х = -3 – один из корней данного уравнения.

Решим уравнение 2ах-1=|2x-5 | графически, и найдем значения параметраа, при которых это уравнение имеет только 2 корня.

Разделим на 2 обе части этого уравнения, и построим графики функций у= ах и у =|x-2,5| +0,5

y

Y=ax, a=1

Y=|x-2,5|

1

Y=ax, a=a₁

1 2,5 x

x

Очевидно, что графики функций будут пересекаться в двух точках, если

а є (а₁; 1)

Причем, абсциссы точек пересечения будут больше 1,5, а, значит, никогда не примут значение х = -3; поэтому все корни уравнения будут различны.

Найдем а₁: а₁=tgα=0,5:2,5=0,2

Итак, уравнение имеет 3 различных корня, еслиа є (0,2; 1)

Ответ: а є (0,2; 1).

Вариант 10

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

y =

есть натуральные числа, кратные трем, но ни одно из кратных трем не делится на 5.

Ответ: а є (0; 0,8]

Указания:

D(у):log_a(x-1)-log_a(ax+1)>0

1)Функция неопределенна при а>1

2)D(у)= (1;) при ає(0;1)

3<≤15,

0<а<1.

Вариант 11

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

lg +lg(x+1)=lg(ax²+(2+a)x+2) имеет два различных корня.

Решение:

lg +lg(x+1)=lg(ax²+(2+a)x+2),

l g(|3-x|•(x+1))=lg(ax²+(2+a)x+2)

|3-x|>0,

x+1>0,

ax²+(2+a)x+2>0;

x>-1,

x≠3,

ax²+(2+a)x+2>0,

|x-3|(x+1)=ax²+(2+a)x+2;

Т.к. х > -1, то |x-3|(x+1)>0

x>-1,

x≠3,

|x-3|(x+1)=ax²+(2+a)x+2.

-1<x<3,

(3-x)(x+1)=ax²+(2+a)x+2;

-1<x<3,

-x²+2x+3=ax²=2x+ax+2;

-1<x<3,

(a+1)x²+ax-1=0;

-1<x<3,

x=-1,

x=;

-1<<3,

>-1,

<3;

-2

-1

a

-1

-2/3

-2

a

ає(-∞;-2)(-2/3;+∞)

x>3,

(x-3)(x+1)=ax²+(2+a)x+2;

x>3,

x²-2x-3-ax²-2x-ax-2=0;

x>3,

(1-a)x²-(a+4)x-5=0;

Т.к. 1- а-5= - (а+4), то х₁= -1, чтоне удовлетворяет условию х >3;

х₂ = ,значит:

> 3,

- 1 a

а є(-2/3;1)

Итак,

х

-2 - a

x

1 a

Уравнение имеет 2 различных корня, если а є (-2/3; 1)

Ответ:а є (-2/3; 1)

Вариант 12

При каких значениях параметра ауравнение

имеет три различных корня?

Решение:

,

,

.

Т.к. показательная функция у=5^t монотонно возрастает на (-∞; +∞), то:

(х+1)|3x+4|=(ax+2)(x+1),

x=-1,

| 3x+4|=ax+2;

значит, х = -1 – один из корней уравнения.

Решим уравнение |3x+4|=ax+2графически, и определим значения параметра а, при которых графики функций у=|3х+4| и у=ах+2 пересекаются в двух точках.

у

У=|3x+4|

Y=ax+2, a=a₂

2

х

Y=ax+2, a=a₁

-1

Очевидно, что графики функций будут пересекаться в двух точках, если ає (а₁; а₂),

а₁=tgα₁=-3:1= -3,

a₂=tgα₂=2: ==1,5

Итак,ає (-3;1,5); но следует исключить те значения а, при которых абсцисса точки пересечения графиков равна -1

Если х= -1, то: |3(-1)+4|=a(-1)+2,

|-3+4|=-a+2,

a=1.

Значит,а є (-3;1)(1;1,5)

Ответ:а є (-3;1)(1;1,5)

Вариант 13

Найдите все значения параметра а,при которых в области определения функции

y=

нет ни одного натурального числа, квадрат которого больше либо равен 121.

Решение:

у =

D(y): >0,

a>1,

>0,

>1;

a >1,

>1;

a >1,

>0;

a >1,

>0.

Решим 2-ое неравенство системы методом интервалов. Сравним числа и при а>1:

+ =

Значит, при а>1

x

х є при а>1.

0<a<1,

Решим неравенства системы методом интервалов.

Приа є (0;1) число , число а, значит и больше 1.

x

1 x

х є (1; ) при а є (0;1)

Итак, при а > 1 D(у)= ;

при а є (0; 1) D(у)=

По условию задачи, в области определения функции не должно находиться ни одно натуральное число, квадрат которого больше либо равен 121.

При а >1 в D(у) нет положительных чисел, а, значит, нет и натуральных чисел; поэтому при а > 1 условие задачи выполняется.

Приа є (0; 1) в D(у) могут содержаться натуральные числа. Первое число, квадрат которого равен 121, это 11. Значит, необходимо выполнение условий:

0

1 11 x

3≤11-11a,

0<a<1;

1 1a≤8,

0<a<1;

a ≤ ,

0<a <1.

а є (0; 8/11].

Ответ: а є (0; 8/11]

Вариант 14

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение:

,

Т.к. функция у=4^tмонотонно возрастает на(-∞; +∞), то:

|3-2x|(x+3)=(2ax-1)(x+3),

x=-3,

|2x-3|=2аx-1.

О чевидно, что х = -3 - один из корней уравнения, и, чтобы он был единственный, необходимо, чтобы 2-ое уравнение системы не имело корней.

Разделим 2-ое уравнение совокупности на 2 и преобразуем его к виду: |x-1,5|+0,5=ax .

Решим его графически, и определим значения параметра а, при которых графики функций у = |x-1,5|+0,5 и у = ах не пересекаются.

у

Y=|x-1,5|+0,5

у=ах, а=а₂

5

у=ах, а=а₁

х

-3

Очевидно, что графики не пересекаются, если ає[а₁; а₂), где а₁=tg α₁= -1,

a₂=tgα₂=0,5: 1,5=5: 15=1/3

Значит, а є [-1; 1/3)

Кроме того, следует добавить такие значенияа, при которых графики пересекаются, но абсцисса точки пересечения равна -3.

х=-3:

|-3-1,5|+0,5=-3a,

|-4,5|+0,5=-3a,

-3a=5,

a=-5/3.

Итак, а є [-1; 1/3)

II способ (аналитический)

|2x-3|(x+3)=(2ax-1)(x+3),

x= -3,

| 2x-3|=2ax-1.

Решим 2-ое уравнение совокупности:

Если х ≥ 1,5, то |2x-3|=2x-3,

2x-3=2ax-1,

2x-2ax=2,

(1-a)x=1.

а) при а=1 уравнение не имеет корней;

б) при а≠1 уравнение имеет один корень х =

Необходимо выполнение условия: х ≥ 1,5, т.е.

,

.

1/3 1

a

ає[1/3;1).

Если х < 1,5, то |2x-3|=3-2x,

3-2x=2ax-1,

2ax+2x=4,

(a+1)x=2.

а) приа= -1 уравнение не имеет корней;

б) при а ≠ -1 уравнение имеет один корень х = .

Необходимо выполнение условия: х <1,5, т.е.

-1 1/3 a

а є (-∞; -1)(1/3; +∞).

Итак, х = при a є [1/3; 1);

х = при a є (-∞ ; -1)(1/3; +∞);

x = -3 при а є R.

Выясним, при каких значениях параметра а корни совпадают.

=-3,

1=-3(1-a),

3a=4,

a=4/3 [1/3; 1),

значит корень ни при каких значениях ане равен -3.

= -3,

2= -3(1+а),

3а=-5,

а= -5/3, значит, при а=-5/3 корни совпадают.

х =

1/3 1 a

х

-5/3 -1 1/3 a

х

a

Очевидно, что исходное уравнение имеет один корень

х= - 3 при а є [-1; 1/3)

Ответ: а є [-1; 1/3)

Вариант 15

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два корня, принадлежащих отрезку [2; 6].

Решение.

,

|x-4|=ax.

Решим уравнение графически, построив графики функций

y=|x- 4| иy=ax

у

у =ах, а=1

у=|x-4|

у=ах, а є (а₁;1)

у=ах, а=а₁

4

2

х

1 2 4 6

х₀

Очевидно, что при а=1 графики пересекаются в одной точке с абсциссой

х = 2, значит, условие задачи не выполняется.

Приа= 0 у = ах совпадает с Ох и графики функций также пересекаются в одной точке с абсциссой х = 4, и условие задачи не выполняется.

Приає (0; 1) графики пересекаются в двух точках, но, если ає (а₁;1), то одна из абсцисс точек пересечения не принадлежит отрезку[2; 6]

Значит, условие задачи выполняется, и графики пересекаются в двух точках с абсциссами, принадлежащими [2;6], если ає (0; а₁],

гдеа₁=tgα = 2/6=1/3

Ответ:а є(0; 1/3]

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/31100-zadachi-s-parametrom-dlja-11-klassa