Олимпиадные задания по математике

Олимпиадные задания по математике.

Задача № 1:

Решите уравнение (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 1320.

Задача № 2:

На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы треугольник АВС был остроугольным?

Задача № 3:

Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006, которые после зачеркивания последних   четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

Задача № 4:

Докажите, что уравнение  x⁴– 4x³ + 12x² – 24 x +24 = 0  не имеет решений.

Задача № 5:

Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?

Задача № 6:

Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХ^А=БАХ.

Задача № 7:

Можно ли замостить шашечную доску 10*10плитками4*1?

Критерии проверки:

Решение задач :

Задача № 1 :
Ответ: -8; 6.
Задача № 2 :
Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые, перпендикулярные отрезку АВ. Точка С может находится между этими прямыми вне круга.
Задача № 3 :
Пусть натуральные числа имеют вид x•10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания последних цифр получим число x. По условию , где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006. Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006. Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.
Задача № 4 :
Уравнение x⁴ – 4x³ + 12x² – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)² + 8(x – 1,5)² + 6 = 0,   которое не имеет решений.
Задача № 5 :
Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4•501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/312083-olimpiadnye-zadanija-po-matematike