Решение уравнений и неравенств с модулями методом рационализации

Методическая разработка по математике

«Решение уравнений и неравенств

с модулями

методом рационализации»

Автор: учитель математики МБОУ «Верхнемедведицкая средняя общеобразовательная школа» Курского района Курской области Сафронов Евгений Николаевич

2018 г.

Решение уравнений и неравенств с модулями методом рационализации

Суть метода в том, чтобы заменить «неудобные» части в выражении более простыми, которые имеют такой же знак, что и исходные части при тех же значениях  . Поэтому метод рационализации применим к множеству различных уравнений и неравенств. В том числе, к неравенствам с модулями.

К решению любого уравнения и неравенства с модулем можно подойти стандартным образом. Раскрывать модули в зависимости от знаков подмодульных выражений при различных значениях  . Однако, можно воспользоваться следующим свойством.

Знак выражения   совпадает со знаком выражения    при любых значениях  . Это и используется при решении неравенств с модулями методом рационализации.

Неравенство типа

Здесь знак ∨ означает любой из знаков 

Действительно, известно, что   и  . Тогда обе части неравенства можно возвести в квадрат, перенести всё в одну сторону и воспользоваться формулой «разность квадратов»:

   ⬄ ∨ ⬄ - ∨0⬄  ∨ 0

  В этом и состоит суть метода рационализации неравенств, содержащих модули.

Рассмотрим конкретные примеры:

Пример 1. Решить уравнение .

Применяем равносильность    ⬄∨ ⬄ - ∨0⬄  ∨ 0.

⬄⬄ ⬄ ⬄ .

Ответ: -

Пример 2. Решить уравнение .

.

Применяем равносильность |f(x)| ∨ |g(x)| (f(x))² ∨ (g(x))² ⬄ ⬄- ∨0⬄  ∨ 0.

⬄ ⬄

.

Разделим обе части уравнения на .

.

Ответ:;

Пример 3. Решить уравнение .

Применяем равносильность |f(x)| ∨ |g(x)| (f(x))² ∨ (g(x))² ⬄ ⬄- ∨0⬄  ∨ 0.

 



не имеет решения

Проверка показывает правильность найденного решения.

Ответ: 0,75.

Пример 4. Решить неравенство

.

Применяем равносильность |f(x)| ∨ |g(x)| (f(x))² ∨ (g(x))² ⬄ ⬄- ∨0⬄  ∨ 0

;

;

;

;

;

Воспользуемся методом интервалов

- + +

0 3 x

Ответ:

Пример 5. Решить неравенство

Применяем формулу |f(x)| - |g(x)| (f(x))² – (g(x))² дважды:

Воспользуемся методом интервалов

+ - - + + - +

-1,5 -1 -0,5 0 1 2 x

Ответ:

6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет более двух различных корней.

Заменим данное уравнение следующим равносильным ему уравнением

.

Упростим выражения, стоящие в скобках

.

Вынесем общие множители за скобки

.

При кореньx может быть любым числом. Этот случай не подходит.

Для разделим обе части этого уравнения на

.

Данное уравнение может иметь от 1 до 3 корней. Нам нужны случаи, когда будет 3 различных корня. Один из этих корней обязательно будет равен 3. Следовательно, задача сводится к поиску всех значений параметра  , при каждом из которых квадратный трёхчлен, стоящий в скобках имеет два корня, каждый из которых отличен от 3. Это условие достигается тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного трехчлена положителен и значение многочлена в скобках при   не равно нулю. То есть имеет место система неравенств:

Эту систему можно упростить:

+ - +

x

Ответ:.

Задания для самостоятельного решения:

1.Решить уравнения

а)

б)

в)

г)

2. Решить неравенства

а)

б)

в) ;

г) ;

д);

3. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

выполняется при всех x.

Источники информации:

Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения. – М.: Илекса, Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2005. – 112с.

Социальная сеть работниковобразования nsportal.ru (https://nsportal.ru/user/105395/page/broshyura-metod-racionalizacii-uravneniy-i-neravenstv)

Инфоурок. https://infourok.ru/metod-racionalizacii-pri-reshenii-neravenstv-505636.html

https://yourtutor.info/метод-рационализации-неравенств

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/317056-reshenie-uravnenij-i-neravenstv-s-moduljami-m