Теорема Пифагора и ее применение в школьной жизни

М униципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Староюрьевская средняя общеобразовательная школа

Староюрьевского района Тамбовской области

Учебно-исследовательская работа на тему:

«Теорема Пифагора и ее применение в школьной жизни»

Исполнитель: ученица 9 класса «А» МБОУ СОШ Артёмова Юлия Александровна

Руководитель: учитель математики Стребкова Любовь Николаевна

Староюрьево - 2013 г

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение 3

1.История возникновения теоремы Пифагора. Знакомство 3- 4

с теоремой

1.1 Знакомство с новой теоремой Пифагора 4- 5

1.2 Применение теоремы Пифагора в ГИА 5-7

1.3 Применение теоремы Пифагора в ЕГЭ 7

2. Практическое применение теоремы Пифагора 7-9

3. Исторические задачи 9

Заключение 9

Список литературы 10

Приложение 10-12

ВВЕДЕНИЕ

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема актуальна и интересна людям до сих пор.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Цель проекта: «Изучить и исследовать теорему Пифагора , выяснить как часто она применяется, и какое место уделяется ей, как в повседневной жизни, так и в школьной.»

Актуальность : в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагоране рассматривается.

Задачи:

Изучить историю возникновения теоремы Пифагора.

Исследовать различные способы доказательства и рассмотреть иные интерпретации теоремы Пифагора.

Сделать процентное соотношение применения теоремы Пифагора в ГИА и ЕГЭ.

Показать практическое применение теоремы Пифагора.

Для достижения цели проекта была предложена рабочая гипотеза: «Часто ли школьники используют теорему Пифагора, как в школьной, так и в повседневной жизни ».

История возникновения теоремы Пифагора. Знакомство

с теоремой

Пифагор – это греческий ученый, религиозный и политический деятель. Считается, что он родился на острове Самос (откуда и пошло прозвище Пифагор Самосский).Пифагор происходил из аристократической семьи (считается, что его отец был ювелиром – резчиком драгоценных камней) и в детстве получил превосходное по тем временам образование. Однако этих знаний ему показалось недостаточно, и он отправился в трудное и небезопасное путешествие по странам восточной части Средиземного моря, Египту и Вавилону, чтобы постичь премудрости других народов.

О том, что теорема «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» восходит к Пифагору, утверждали древнегреческий писатель и историк Плутарх (Iв.) и древнегреческий философ – идеалист Прокл (Vв.).

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, и поэтому ее назвали«теоремой Пифагора». С таким названием она и сейчас изучается в курсе планиметрии средней школы.

Однако, известно, что она применялась для решения различных задач задолго до Пифагора древними египтянами, вавилонянами, китайцами, индусами и другими древними народами.

Теорема Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы

равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетамиa,b и гипотенузой c (прил. рис. 1, ). Докажем, что c² = a² + b².

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так.(прил. рис,2). ПлощадьS этого квадрата равна (a + b)².С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab,и квадрата со стороной c,поэтому

S = 4ab + c²= 2ab + c²

Таким образом,

(a + b)²=2ab + c²

откуда

c² = a² + b²

1.1 Знакомство с новой теоремой Пифагора Теорема Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Доказательство:

Продолжение высотыCC^’( прил. рис.3) делит квадрат AE^’B^’B, построенный на гипотенузе AB, на два прямоугольника AE^’D^’C^’и D^’B^’BC^’.

Докажем, что площадь первого из них равна площади квадрата ACDE,по­строенного на катетеAC.

Треугольники ACE и ABEимеют общее основание AE и равные высоты и поэтому равновелики; то есть площадь треугольника ABEравна половине пло­щади квадрата ACDE( прил. рис.3 , а) ).

Треугольники ABE и E^’CAравны по двум сторонам и углу между ними, так как один получается из другого поворотом на 90^о (прил. рис.3, ).

Треугольники AE^’C и AE^’D^’имеют общее основание AE^’и равные вы­соты и, тем самым, имеют равные площади. Таким образом, площадь треуголь­ника AE^’D^’ равна половине площади квадрата ACDE ( прил. рис.3 , в) ).Отсюда следует, что квадрат ACDE и прямоугольник AE^’D^’C^’ равновелики.

Совершенно аналогично доказывается, что квадратBCGF и прямоуголь­ник D^’B^’BC^’ равновелики.

1.2 Применение теоремы Пифагора в ГИА

Для того, что бы понять часто ли применяется теорема Пифагора разберем три варианта из КИМа. ( инфор. ресурсы- 1). Для разработки возьмем вариант №8. Далее представлены задачи №1-№4, которые взяты из разных вариантов, и решаются они с помощью теоремы Пифагора. Разобрав вариант № 8, приходим к выводу, что 3 задания из 21 решаются с помощью теоремы Пифагора. Задача №1 (вариант №8) Лесник прошел от дома до опушки леса по направлению на запад 180 м., затем повернул на юг и прошел 240 м. На каком расстоянии ( в метрах ) от дома оказался лесник?

Дано: ВА= 180 м. ; ВС= 240 м.

Найти: СА = ? (прил. рис. 5)

Решение.

АС²= ВА²+ ВС²

АС²= 240²+180²

АС²= 57600+32400

АС= 300 м. Ответ:300м

Задача №2 ( вариант №8)

На съемочной площадке стоят два штатива для осветительной аппаратуры , расстояние между верхушками которых 7,25 м. высота одного из них 9 м., второго – 4 м. ( прил. рис. 6 ). Найдите расстояние ( в метрах ) между штативами.

Дано: ДС = 9м.; АД = 7,25 м.; АВ = 4 м.

Найти: ВС = ? м.

Решение. Угол В равен углу С и равен 90 ⁰. ВС – общая. Проведем перпендикуляр АО к стороне ДС, тогда ДС= ДО + ОС. ОС= АВ, ОД= 9-4 = 5 м. АО = ВС; АО найдем по теореме Пифагора :

АД²= АО ²+ ДО²

АО²= АД²- ДО²

АО² = 52,5625 – 25

АО = 5,25 Ответ:5,25

Задача № 3 (вариант №8)

Найдите площадь трапеции по данным рисунка ( прил. рис. 7)

Дано : АВ = СК =5 , ВС = 9, НК = 3, СН = 4 , АН = 12.

Найти: S=?

Решение.

Проведем перпендикуляр ВО, тогда ВО = 4. Найдем площадь треугольника АВО, которая будет в последующем равна площади треугольника СНК.

S_ABO=S_HCK= 4 * 3/2= 6.

S_OBCH= 4 * 9 = 36

S_ABCK=2S_ABO+S_ODCH= 2 * 6 + 36 = 48 Ответ: 48

Делаю вывод, что проверки знаний теоремы, ее применению уделяется большое внимание на экзаменах.

Для выяснения значимости теоремы Пифагора в ГИА сделаем соотношение заданий, которые решаются с помощью теоремы и те, которые решаются на другие темы в одном взятом варианте.

3 задания ( с помощью теоремы) - х

21 задание ( другие темы) - 100 %

3 * 100 % = 21х

300 = 21х

х= 14,2 %

Получается, что теорема Пифагора нужна в экзаменационных заданиях

( ГИА). Другие примеры:

Задача №1

Путешественник двигался от дома на запад и прошел 20 км, на следующий день он повернул на север и прошел еще 16 км, далее повернул на восток и прошел 8 км. На каком расстоянии ( в км) от дома оказался путешественник? (прил. рис.16)

Дано:

Угол ДКА равен 90, СВ=ДК=16км,АВ=20км,ВК=8 км

Найти: АД-?

Решение. КА = АВ-ВК=20-8=12.

ДА²=ДК²+КА², АД²=16²+12²=400, АД=20

Ответ:20км

Задача №2

Найдите площадь ромба по данным рисунка ( прил.рис.17)

Дано: ДС=5,ВО=4

Найти: S ромба-?

Решение .АВ²= ВО²+ОА², АО²= 5²-4², ОА = 3.

S=0,5 ( 4+4) (3+3)= 0,5*8*6= 24

Ответ:24кв. ед

Задача №3

Найдите площадь параллелограмма по данным рисунка (прил.рис.18)

Решение.

АО²= АД²-ОД², АО²= 5²-4², ОА = 3.

АВ= ОВ+АО=3+7=10, S= АВ*ДО= 10*4= 40

Ответ: 40кв. ед

Задача №4.

Лестница длинной 13 м. приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах ( прил. рис.19)

Решение.

Треугольник АВС – прямоугольный. Угол С - прямой. Сторону АС найдем с помощью теоремы Пифагора. АВ²-СВ²=АС²,АС²=13²-5².АС=12.

Ответ: 12

1.3Применение теоремы Пифагора в ЕГЭ

Теорема Пифагора часто применяется в экзаменационных работах. Задачи , которые решаются с помощью теоремы находятся в заданиях частей В и С. Вот одна из задач.

Задача №1.

Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 8. Отрезки АВ и СД – диаметры одного из оснований цилиндра , а отрезок АА₁ – его образующая. Найдите синус угла между прямыми А₁С и ВД, если ВС=8.(прил.рис.20)

Решение.

Прямые А₁С и ВД – скрещивающиеся, АС параллельна ВД, & = углу АСА₁,

Sin & = АА_1//А₁С=8/А₁С. АС²=АВ²-ВС²=10²-8²=36

А₁С²=АА₁²+АС²=8²+6²=100

Sin & = 8/ А₁С=8/10=0,8.

Ответ: 0,8

2.Практическое применение теоремы Пифагора

Окно: в зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке (прил.рис.8) представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстояниюмеждуэтими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления.Покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

Строительство крыши: при строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF. (прил. рис.10)     Решение.    Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м.,  из треугольника АВF:  АF=√4²+4²=√32≈5,7 м. 

      Молниеотвод:молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: по теореме Пифагора h² ≥ a²+b², значит h ≥ √(a²+b²). Ответ: h ≥√ (a²+b²).  (прил. рис.11)

Литература: мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист  Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

 Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен ,притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Некоторые из них я приведу в своей исследовательской работе. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор.

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу».

Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе.

3.Исторические задачи

Я хочу показать 4 задачи, которые были найдены в древних источниках.

Задача Бхаскари (прил. рис.12)

«На берегу реки рос тополь одинокий. 
Вдруг ветра порыв его ствол надломал. 
Бедный тополь упал. И угол прямой,
С теченьем реки его ствол составлял. 
Запомни теперь, что в этом месте река,
В четыре лишь фута была широка, 
Верхушка склонилась у края реки. 
Осталось три фута всего от ствола, 
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: 
У тополя как велика высота?»

Решение. По теореме Пифагора АВ²= ВС²+АС² ;9+16=25, АВ=5 Футов; СD=3+5=8 футов. Ответ: высота тополя 8 футов.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах» (прил. рис.13)

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».

Решение: По теореме Пифагора (x+1)²=x²+25; 2x=24, x=12 чи.; 12+1=13 чи. Ответ: глубина воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого. (прил. рис.14)

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». Решение: ВС²=АВ²-АС²; ВС²=15625-13689=44 стоп. Ответ: ВС=44 стоп.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу" (прил.рис.15)Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания? Решение. (10-x)²=x²-9; -20x=-9-100, -20x=-109, x=109/20 чи.  Ответ: 4,55 чи.

Заключение

Исследования подтверждают, что теорема Пифагора применяется как в школьной, так и в повседневной жизни.

Сравнение с гипотезой. В ходе исследования гипотеза подтвердилась. Она требуется в архитектуре, в строительстве молниеотводах, в решении различных задач, как математических, так и в исторических. С помощью КИМов мы смогли доказать, что часть задач решаются с помощью теоремы, показав это в процентах. Теорема Пифагора одна из тех теорем, которая доказывается несколькими способами.

Список литературы иинформационные ресурсы

Математика. Подготовка к ГИА- 2012. 9 класс. 2011 г.

Математика. Подготовка к ГИА- 2013. 9 класс. 2012 г.

Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2013.11 класс. 2012 г.

Геометрия. 19-е издание. Москва «Просвещение» 2009 г.

Волошинов А.В. «Математика и искусство», М. «Просвещение», 2000, с.117-119, с.399

Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993,с.223

5. http://encyklopedia.narod.ru

6. http://moypifagor.narod.ru

7 . http://moypifagor.narod.r

Приложение

Рис.1

Рис.2

Рис.3 Рис. 4 ( а), б), в) )

Рис . 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис.8

Рис.9 Рис. 10

Рис. 11 Рис.12

Рис .13 Рис.14

Рис.15 Рис.16

Рис.17 Рис.18

Рис.19 Рис.20

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/32236-teorema-pifagora-i-ee-primenenie-v-shkolnoj-z