Ключ для определения количества нулей в конце произведения

Методическая разработка по теме

«Ключ для определения количества нулей в конце произведения»

Автор:Иванова Валентина Ивановна,

учитель математики

МБОУ «Тренькасинская СОШ»,

Чебоксарского района Чувашской Республики

Введение. В современном мире очень многие родители озадачены развитием творческих способностей своих детей наряду с развитием умственных способностей. Объяснить это достаточно просто - в ходе творческого процесса происходит осуществление интересного и плодотворного досуга, развивается стремление к созданию чего-либо. Мы, учителя, готовим детей к различным олимпиадам по математике и часто встречаем задачи на определение количества нулей в конце произведения. Например, задача такого типа: «Сколькими нулями оканчивается произведение от 1 до 50 включительно?». Ребята пытаются найти произведение этих чисел, но до конца дойти не всегда реально. И я решила показать рациональный способ решения таких задач.

Актуальностьнастоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Определение количества нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел», а с другой стороны, её недостаточной разработанностью.

Цель: Научить находить количество нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел.

Задачи:- вспомнить свойства чисел;

- рассмотреть примеры для определения количества нулей в конце произведения;

- уметь раскладывать числа, кратных 5, на множители;

- найти «ключ» к решению таких задач.

Оглавление.

1. Введение…………………………………………………………………………………………...1

2. По страницам толковых словарей. Свойства чисел и факториал……………………………..2

3. Разложение чисел кратных 5 на множители. ……………………………...………………..…..2

4. Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа…………. 2-3

5. Составление и решение задач…………………………………………………………….…....3-4

I. Основная часть.

По страницам толковых словарей.

Свойства чисел и факториал.

Во-первых, количество нулей в произведении зависит от количества 10 среди множителей произведения.

Во-вторых, при перемножении двух круглых чисел, т.е. тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число.

В-третьих, в произведении последовательных натуральных чисел половина четных чисел, половина – нечетных.

В-четвертых, можно умножить два числа, не заканчивающихся на нуль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей.

Например, 2 ∙ 5=10; 5∙8 =40; 6∙15=90; 8∙125=1000.

Я заметила, что один множитель четное число, а другой – делится на 5. Сомножители 2 и 5 при их перемножении дают десятку. Если умножить четное число на 5, то в полученном произведении так же последняя цифра ∙равна нулю.

Факториалом натурального числа называют произведение всех натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком «!». Примеры: 3! = 1∙2∙3; 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6. Таблица факториалов.

Разложение чисел кратных 5 на множители.

Разложим числа, которые делятся на 5, на множители и посчитаем, сколько раз встречается 5 в произведении этих чисел.

Из таблицы видно, что в числах, кратных 25 пятерка встречается по два раза, а в числах кратных 125 – по три, а в числах кратных 625 – четыре раза. Эти знания нам пригодятся при решении более сложных задач.

Рассмотрим пример. Определить количество нулей в произведении от 1 до 25.

1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12∙13∙14∙15∙ 16∙17∙18∙19∙20∙21∙22∙23∙24∙25

Для ответа на вопрос задачи не обязательно находить результат умножения. Нужно определить число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для этого разложим каждое число от 2 до 25 на простые множители и запишем произведение всех получившихся множителей. Нуль на конце произведения получается, когда умножаются двойка и пятерка. Составим из них пары (2;5) и перемножим их. Но двоек в получившемся произведении больше пятерок, так как множитель 2 имеет каждое второе число, а множитель 5 – только каждое пятое. Для каждой пятерки найдется пара. Пар всего будет 6, так как 25 дает две пятерки. Значит, всего получится 6 нулей.

Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа

Итак, для определения количества нулей в конце любого большого числа можно поступить так:

1. Выделить сомножители 2 и 5.

2. Составить из них пары (2; 5) и перемножить их.

Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце произведения.

Если количество пар (2;5) зависит от количества пятерок, то достаточно посчитать только количество пятерок в разложении. Итак, количество нулей в конце определяется только степенью числа 5 в разложении на простые множители

Такой способ решения мне нравится больше. Он короче и оригинальнее.

II. Практическая часть.

Составление и решение задач.

Пример 1. Определить количество нулей в произведении от 1 до 40, т. е. 40!

40! = 1∙2∙3∙4∙ …………∙38∙39∙40

В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5. Поэтому вопрос можно сформулировать так: сколько раз 40! можно разделить без остатка на 5?

Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. В семи числах 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 пятерка встречается 1 раз, а 25 дает 2 множителя, равных 5 (5∙5). Таким образом, в произведении от 1 до 40 7+2=9 пятерок, т.е. 9 нулей

Пример 2.
Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 17 до 40?

Решение. 20= 4∙5; 25=5∙5; 30=5∙6; 35=5∙7; 40=5∙8. Всего 6 нулей.

Пример 3. Определить количество нулей в произведении от 1 до 100.

Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на нуль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей. Следование только этому правилу иногда ведет к ошибке, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным.

От 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Из них 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5∙5), есть еще три числа, в состав которых входит 25. Это: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. Значит, мы получим 24 пары. Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.

Можно рассуждать таким образом.

Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. От 1 до 100 имеется 10 чисел, которые оканчиваются на 5 и 9 чисел, оканчивающиеся на 0 и одно число 100, которое оканчивается двумя нулями. Итого: 10+9+2=21. Но 25, 50 и 75 делятся на 25, значит, они дают еще три пары из чисел 2 и 5. Итого мы получим 21+3=24 пары, т.е. 24 нуля.

Я попробовала усложнить задачу. Как же быть, если большое количество множителей?

Например,найти количество нулей в конце произведении от 1 до 2018.

Сначала находим количество чисел,кратных 5 от 1 до 100. Таких чисел встречается 20. Но среди этих чисел числа 25, 50, 75, 100 делятся еще на 25, поэтому они дают по две пятерки. В числе 2018 всего сотен 20. Значит, чисел, кратных 5 всего 400 (20∙20). Числа 2005, 2010, 2015 делятся на 5. Они дают еще три пятерки. Затем находим числа, которые кратны 25.

Кратных 25 всего 80. От 1 до 100 их 4. Тогда 4∙20=80.

Перечислим числа, которые кратны 125: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000, 1125, 1250, 1375, 1500, 1625, 1750, 1875, 2000. Всего таких чисел 16. Они дают по три пятерки.

Три числа кратных 625: 625, 1250, 1875. Итак, всего пятерок 400+3+80+16+3=502. Следовательно, 502 нуля в конце произведения от 1 до 2018.

Заключение.Я нашла оптимальный, оригинальный способ решения. Данная работа предназначена для расширения кругозора обучающихся, она способствует развитию познавательного интереса к математике. Данный материал может быть использован во внеклассных мероприятиях по математике. Этот способ позволяет решать задачи такого типа быстрее, проще, легче.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/325147-kljuch-dlja-opredelenija-kolichestva-nulej-v-