Проектная работа «Геометрическая фигура трапеция»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя школа №8

«Геометрическая фигура трапеция»

Работу выполнили ученицы

11 класса МАОУ СШ №8
Соловьёва Арина и Степанова Алина

Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна,
Коптелова Татьяна Анатольевна
МАОУ СШ №8

с.п. Новосмолинский
2018

Оглавление

Введение………………………………………………………………………2

Происхождение слова «трапеция»………………………………………..3

Трапеция, в повседневной жизни…………………………………………4

Элементы трапеций………………………………………………………...5

Виды трапеций………...…………………………………………………….6

Основные свойства трапеции……………………………………………..7-8

Свойства трапеции вписанной в окружность…………………………...8

Свойства трапеции описанной вокруг окружности……………………9-10

Нахождение площади и периметра трапеции.…………………………10-11

Решение задач………………………………………………………………12-16

Заключение……………………………………………………………….....17

Литература…………………………………………………………………..18

Введение

В школьном курсе геометрии, в частности по учебнику Геометрия 7-9 авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кодомцева и др.,понятие трапеции вводится как четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Вводятся понятия равнобедренного и прямоугольных трапеций (п.44, §1, Гл.5 учебника). Свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции рассматриваются лишь в задачах №388, 389. Вводится понятие средней линии трапеции и ее свойство (п.85, §3, Гл. 9). Формула площади трапеции изучается в п.53 §2 Гл.6. В материалах же различных контрольных работ и экзаменов( ГИА и ЕГЭ) очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует знания основных ее свойств ,а также тех, которые в школьном курсе или не рассматриваются совсем, или встречаются лишь при решении задач.

Цель работы: систематизировать все сведения о трапеции.

Наши задачи:

Увидеть применение трапеции в повседневной жизни.

Повторить весь материал по геометрии за 8-9 класс.

Показать применение материала при решении задач ГИА и ЕГЭ.

Выполнить анализ полученных результатов.

Актуальность данной темы определяется необходимостью знать все основные свойства трапеции, уметь решать геометрические задачи при сдаче ГИА, вступительных экзаменов в высшие учебные заведения. Большинство таких задач не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае.

Проблеманашего проекта заключается в том, что большинство школьников либо не владеют материалом на тему «Трапеция», либо знают его отрывками, либо не могут применить при решении задач на ГИА.

Гипотеза:Трапеция обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если овладеть ими и рассмотреть их на примере задач, то при решении подобных задач на ГИА, вы сможете гарантировать себе дополнительные баллы.

Теоретическая часть.

Происхождение слова трапеция

Трапеция – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две не параллельны

Трапе́ция. Не знаю, как вас, а меня радуют внезапно открываемые этимологией связи между совсем далекими друг от друга словами. Что общего между «трапеция», «трапеза» (еда) и именем турецкого города Трапезунд? А оно есть.

По-гречески «trapedza» значило «стол», «trapezion» — «столик». Из второго слова создалось наше «трапеция» — известная математическая фигура с двумя равными и двумя параллельными сторонами: именно такой формы столы бывали в Греции.

Первое слово — по тем столам, за которыми вкушали пищу монахи византийских монастырей, — начало обозначать и самый этот процесс, еду, — «трапезу»; говорим же мы: «хороший стол», «плохой стол» о еде в каком-нибудь пансионате или доме отдыха. Вы, конечно, сами сообразили, почему «трапецией» называется определенный гимнастический снаряд: конечно, за «трапецеидальную» форму.

А Трапезунд? Над этим приморским городом высится гора, принадлежащая к типу «столовых». Основателями Трапезунда были греки; они и дали ему такое имя: «Город столовой горы».

Происхождение слова трапеция в этимологическом Успенского Л. В.:

Трапе́ция Через нов.-в.-н. Тrареzium — то же из ср.-лат. Trapezium, греч. Τραπέζιον, буквально «столик» (см. Хайзе; Даль 4, 823).

Происхождение слова трапеция в этимологическом Фасмера М.:

ТРАПЕЦИЯ. Заимств. В XVIII в. Из лат. Яз., где trapezium < греч. Trapezion, уменьшит.-ласкат. Суф. Производного от trapeza «стол». Трапеция буквально — «столик». Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом.

Трапеция, в повседневной жизни

Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.

Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.

Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции – это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.

Элементы трапеции

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Сейчас нам необходимо разобраться какой бывает трапеция.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.

Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.

 Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Основные свойства трапеции

Свойства трапеции... Какие они и что же мы должны знать о них?

Первое свойство:

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(на рисунке ∠1+∠2=180˚ и ∠3+∠4=180˚)

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что ∠1 и∠2 - внутренние односторонние углы при параллельных AD и BC и секущей AB.Поэтому ∠1+∠2=180˚, ∠1+∠2=180​˚. И точно так же ∠3 и ∠4– внутренние односторонние углы при тех же параллельных AD и BC, но секущая теперь – CD.

Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Второе свойство:

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

Опять AD и BC– параллельные, а диагональ AC– секущая.

Поэтому ∠1=∠2 (накрест лежащие) и треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Третье свойство:

Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований, т.е. m=

​​Четвертое свойство:

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точкилежат на одной прямой:
1) E– точка пересечения продолжений боковых сторон;
2) F и H– середины оснований;
3) G– точка пересечения диагоналей.

Свойства трапеции вписанной в окружность

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.{\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}}

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

1)2)3)

Свойства трапеции, описанной вокруг окружности

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

и точка O лежит на средней линии трапеции.

4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

AK=AP,

BK=BF,

CF=CN,

DN=DP (как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

5.

Нахождение площади и периметра трапеции

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABC = AD · BH / 2, S_BCD = BC · DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC · BH / 2.
Такимобразом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Теорема доказана.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.

Если трапеция равнобедренная, то S = 4r² / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.

,
где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Периметр трапеции

Итак, подошло время, чтобы узнать формулы нахождения периметра трапеции.

Формула периметра произвольной трапеции ABCD (рис. 1), в которой AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, имеет вид:

В случае, если трапеция ABCD – равнобокая (рис. 2), то есть AB=CD=a, BC=b, AD=c, формула для периметра трапеции примет вид:

Решение задач с применением материала

Пример 1Даны стороны – a = 2 см, b = 4 см, c = 8 см, d = 7 см. Как найти площадь трапеции?

Решение:

Пример 2. Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4.

Решение.

Через вершину С меньшего основания ВС трапецииАВСD (ВС =13, AD =18, АВ = 4, CD = 3) проведём прямую, параллель­ную боковой стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке К. Тогда СК=АВ=4,

DК=АD -АК=АD-BC=18-13=5, CD=3.

ТреугольникKCD прямоугольный, так как KD²=CD²+CK². Его высота, опущенная на гипотенузу, равна .

Следовательно,S_ABCD=

Ответ: 37,2

Пример 3.Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 7 и 8, а основания - З и 6.

Решение.

Через вершину С меньшего основания ВС трапеции АВСD (ВС = 3, AD = 6, BD =8, АС = 7) проведём прямую, параллельную диагонали BD, до

пересечения с прямой АD в точке К. Стороны треугольника АСК равны:

АC= 7, СК=ВD=8,АК= AD + DК = AD + ВС = 6+ 3= 9. По формуле Герона

S_ACK=

а так как треугольники СDК и АВС равновелики, получаем

S_ABCD=S_ACK=12

Ответ: 12

Пример 4. Трапеция ABCD с основаниями АD и ВС (AD > ВС) вписана в окружность с центром О. Известно, что sin LAOB = 5

а средняя линия трапеции равна а. Найдите высоту трапеции.

Решение. Трапеция ABCD вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Обозначим LAOB = α. ПосколькуАОВ — централь­ный угол окружности, а ADB — вписанный,

LADB= = .

ПустьВН — высота трапеции. Тогда DH=т. е. катет DHпрямоугольного треугольника BHD равен средней линии трапеции. Следовательно, ВН = DH tg .

По условию задачи sin α = , поэтому

cosα== =

или

cosα== = -

Тогда

tg

или

tg

Следовательно,BD=αtg .

Ответ: или.

Пример 5. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные —17 и 25.

Решение.

Через вершину С меньшего основания ВС трапецииАВСD проведём прямую, параллель­ную боковой стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке К.

В треугольнике СКD:

KD=44-16=28,p=

По формуле Герона

S_CKD== 210

C другой стороны, S_CKD=

Отсюда 210=14h,

h=15

S_ABCD=

Ответ: 450.

Пример 6. В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

Треугольник АОD – равнобедренный и прямоугольный.

Пусть АО=ОD=x, тогда по теореме Пифагора

х²+х²=40²

х=20 .

ОР – медиана треугольника АОD

По формуле медианы ОР=

Подставляя в формулу АО=ОD=20 ,AD=40. Получим, ОР=20

Треугольник ВОС – равнобедренный и прямоугольный.

Пусть ВО=ОС=у, тогда по теореме Пифагора

у²+у²=24²

у=12 .

ОК – медиана треугольника ВОС

По формуле медианы ОК=

Подставляя в формулу ВО=ОС=12 , ВС=24. Получим, ОК=12

КР=РО+ОК=20+12=32

S_ABCD=

S_ABCD=

Ответ: 1024

Заключение

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») одна из важнейших геометрических фигур, часто используемых в производстве предметов быта, в строительстве, дизайне одежды и т.д. Поэтому столь скромное место, отведенное в школьном курсе геометрии, можно считать несправедливым. Трапеция, ее свойства заслуживают более подробного изучения не только ради успешной сдачи контрольных работ, экзаменов и т.д., но и в знак уважения геометрической фигуры, которая столь часто используется в различных областях своей деятельности современным человеком.

Список литературы:

-Геометрия,7-9: учебн. для общеобразоват. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2008г.

-Геометрия, 10-11 : учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и проф. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-17-е изд.-М. : Просвещение, 2008.-255 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019245-3. –

https://egemaximum.ru/trapeciya-svojstva-trapecii/

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/336901-proektnaja-rabota-geometricheskaja-figura-tra