Решение неравенств с одной переменной

Автор материала: Соловьева Наталья Анатольевна

Место работы: ГОБОУ вечерняя (сменная) общеобразовательная школа филиал при ФКУ ИК-4 г. Валдай

Должность автора: Учитель математики

Учебно-практическая конференция «Решение неравенств с одной переменной».

Формы обучения: коллективная, групповая.

Использовались методы: частично-исследовательский, проблемный.

Приемы: доклады учащихся, работа в парах, самоконтроль, самооценивание, синквейн.

Технологии: обучения математике на основе решения задач (Р. Г. Хазанкин), «Сотрудничества», дифференцированного обучения.

Класс: 11

Эпиграф: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит». Ал-Бируни

Цели конференции:

- систематизировать, обобщить знания, связанные с решением неравенств с одной переменной;

- развивать грамотную математическую речь;

- адаптировать учащихся к подготовке и сдаче итоговой аттестации.

План проведения конференции:

1.Постановка целей.

Постановка целей учителем, актуализация знаний.

2.Историческая справка «Происхождение знака неравенства»:

Ученик 1: Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (3 в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа π ( ).

Современные знаки неравенств появились лишь в 17— 18 вв. Знаки < и > ввел английский математик Томас Гарриот (1560—1621 года жизни). До него писали словами: больше, меньше. Он был первым алгебраистом 17 века, являлся воспитанником Оксфордовского университета составитель ценного описания и карты исследованной им части Северной Америки, карты Луны, которую он наблюдал через зрительную трубу в одно время с Галилеем.

Новыми полезными знаками Гарриота явились знаки > и < для отношений «больше» и «меньше», он их употребил при рассмотрении вопроса о наличии у кубического уравнения положительных корней. Вывод соответствующих условий, предложенный Гарриотом, заслужил впоследствии высокую оценку Жоржа Лагранжа, но по существу эти условия имелись еще у Виета.

Символы нестрогого сравнения (≥ и ≤) предложил английский математик Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734 г.), у которого они приобрели современный вид.

Самое интересное, что Бугер сознавал в целом недостаточную теоретическую подготовленность судостроителей того времени, поэтому его книга написана простым языком и не загромождена сложными математическими выкладками, что сделало ее на долгие годы учебником для кораблестроителей.

3.Теоремы о равносильности неравенств:

Ученик 2:Т1.: Если какой либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

а). 12х – 7 < 0 <=> 12х < 7 б). 35х + 9 ≥ 0 <=> 35х ≥ - 9

Т2.: а). Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

∙ (14х - 3) ≤ 5 <=> (14х - 3) ≤ 15 (умножили на 3)

б). Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

∙ (8х + 12) > 7 <=> (8х + 12) < - 35 (умножили на - 5)

Т3.: Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

> 2 <=> х + 5 > 8 (возвели в 3-ю степень)

Т4.: Если обе части неравенства неотрицательны в области определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень, получится неравенство, равносильное данному.

≤ 3 <=> + 2 ≤ 81 (возвели в 4-ю степень)

Т5.: Показательное неравенство равносильно:

а). неравенству того же смысла, если основание а > 1:

≥ <=> 4х – 3 ≥ 7 (а = 2 > 1)

б). неравенству противоположного смысла, если 0< а < 1:

> <=> 3х + 8 < х (а = 0,5 0< 0,5 < 1)

Т6.: Логарифмическое неравенство равносильно:

а). неравенству того же смысла, если основание а > 1:

< <=> х – 4 < (а = 7 > 1)

б). неравенству противоположного смысла, если 0< а < 1:

≤ <=> 2 + 5 ≥ х (а = 0,2 0< 0,2 < 1)

4.Решение неравенств, применяя теоремы о равносильности:

Ученик 3 и 4:

№1. ≥ №2. ≥

х – 6 ≥ 2х – 7 + 1 > 0 и 17 > 0

х – 2х ≥ - 7 + 6 + 1 ≥ 17

- х ≥ - 1 | : (-1) ≥ 16

х ≤ 1 ≥

а = 2 > 1

х ≥ 4

№3. > №4. ≥

а = 7 > 1 ≥

5х – 10 > 3х – 6 а = 0 < < 1

5х – 3х > - 6 + 10 3 + 2х ≤ -2х -5

2х > 4 | : 2 2х + 2х ≤ - 5 - 3

х > 2 4х ≤ - 8 | : 4

х ≤ -2

№5. ≤

а = 2 > 1

<=> <=>

- 1,8 5 х

Ответ:

№6. ≥

а = 0,4 0 < 0,4 < 1

<=> <=>

- 1,6 - 7 х

Ответ: (- ;

5.Самостоятельная работа.

Работа в парах, самопроверка.

Карточка №1

Самостоятельная работа

№1. Найдите ошибку в решении неравенства.

≤

-7х + 1≤ -4х – 20

-7х + 4х ≤ -20 – 1

-3х ≤ -21

х ≤ 7

№2. Решите неравенство: >

Карточка №2

Самостоятельная работа

№1. Найдите ошибку в решении неравенства.

>

10х – 2 > х + 7

10х – х > 7 + 2

9х > 9

х > 1

№2. Решите неравенство: ≤

Карточка №3

Самостоятельная работа

№1. Найдите ошибку в решении неравенства.

<

<

-2х + 8< 3х + 6

-2х – 3х < 6 – 8

-5х < -2

х < 0,4

№2. Решите неравенство: >

6.Подведение итогов.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/34029-reshenie-neravenstv-s-odnoj-peremennoj