Методическое пособие по теме: «Формулы тригонометрии»

Методическое пособие по математике

Тема: «Формулы тригонометрии»

Сургут, 2018

Пояснительная записка

Пособие предназначено для оказания помощи студентам при изучении раздела «Формулы тригонометрии». На изучении данного раздела отводится 18 часов.

В пособии содержится теоретический материал по темам раздела, приведены решения некоторых задач, задания для самостоятельных работ, практическая работа по данному разделу.

Пособие содержит большое количество разнообразных задач устного и письменного характера, что даёт возможность осуществить индивидуальный подход к обучающимся, в частности, организовать работу с учащимися со слабыми знаниями и проявляющими интерес к математике.

Задания разработаны таким образом, чтобы можно было осуществить проверку теоретических знаний: устная работа, математический диктант, задания по готовым чертежам, а также предложены задачи практического содержания.

Урок 1-2

Тема урока: Радианная мера угла. Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Теоретическая часть.

Тригонометрия – это греческое слово и в переводе означает измерение треугольников. Возникновение тригонометрии было связано с землемерием, астрономией, строительным делом. Выходит, что знание и понимание этой темы важно не только для будущей сдачи экзамена по математике, но для освоения и выбранной вами профессией.

Повторение основных понятий.Связь сторон и острых углов в прямоугольном треугольнике.

Синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа. Синус, косинус, тангенс и котангенс называют тригонометрическими функциями, и мы можем их найти по величине угла или наоборот найти величину угла, если нам известно значение одной из этих функций. Для этого существуют специальные таблицы Брадиса.

Изложение нового материала:

Рассмотрим окружность единичного радиуса, центр которой совпадает с началом прямоугольной системы координат (рисунок 1). Окружность единичная, то есть радиус у нее равен 1. Значит, координаты точек пересечения с окружностью будут равны 1 и -1 на каждой оси. Возьмем точку с координатами (1;0), которая будет двигаться по нашей окружности, обозначим ее М_о. За положительное направление выбирают движение против часовой стрелки, за отрицательное движение по часовой стрелке. Начальное положение, которое занимает точка, примем за начало отсчета пути, пройденного точкой по окружности. Пусть точка двигается против часовой стрелки, то есть в положительном направлении. При движении по окружности она займет положение точки М, которая будет иметь координаты (х; у), так как точка расположена в координатной плоскости. Проведем к этой точке радиус и угол между этой точкой М и радиусом обозначим α. Значит, положение точки М мы можем задать двумя способами: с одной стороны координатами (х; у), так как точка лежит в координатной плоскости и с другой стороны с помощью угла поворота этой точки вокруг начала координат. Если мы можем положение точки задать двумя способами, значит между ними, должна быть какая-то связь. То есть координаты точки (х;у) и величина угла должны быть связаны некоторой функцией. Таким образом, у нас появляются тригонометрические функции, которые выражают зависимость между координатами точки единичной окружности в системе координат и углом поворота, при помощи которого мы попадаем из нашей начальной точки М_опри движении, в точку М. Выразим эту зависимость, определяя, координаты точки М. Опускаем перпендикуляры на координатные оси. Получаем прямоугольный треугольник.

Определение: Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Определение:Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Получаем, что ось х – это ось косинуса, ось у – это ось синуса. Функции тангенс и котангенс также имеют свои оси. Осью тангенсов является касательная к единичной окружности в точке с координатой (1; 0), а осью котангенсов - касательная к окружности в точке с координатой (0; 1) и, значит, значения этих функций находят по данным осям.

Так как синус и косинус лежат в пределах от -1 до 1, то

Значение угла α может быть любым: от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Величины углов могут измеряться в радианной мере и градусной мере. Это означает, что нужно уметь переходить от радианной меры измерения угла к градусной.

При переходе от радианной меры к градусной и наоборот используют эти соотношения: ирад.

Чтобы выразить радианы в градусы, достаточно вместо π подставить 180^о и вычислить. Например:

Приведем таблицу часто встречающихся значений тригонометрических функций:

Пример использования таблицы:

.

Устная работа (закрепление теории).

Какие тригонометрические функции мы рассмотрели?

Как определяют функцию синус, косинус, тангенс, котангенс?

На какой оси находятся значения синуса, косинуса, тангенса котангенса?

В каких пределах может изменяться значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Какое направление движения точки по окружности считается положительным, а какое отрицательным?

В каких единицах может выражаться угол?

Как выполнить переход от радианной меры к градусной и наоборот?

Задания для устной работы.

Верно ли равенство:

?

Переведите радианную меру угла в градусную: .

Переведите градусную меру в радианную: 180^о; 45^о; 270^о.

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №407, 408, 430, 434.

Проверочная работа

I вариант.

Выразите в градусной мере величину угла: .

Выразите величину угла в радианах: .

Вычислите значение выражения: .

__________________________________________________________________________

II вариант.

Выразите в градусной мере величину угла: .

Выразите величину угла в радианах: .

Вычислите значение выражения: .

__________________________________________________________________________

Урок 3-4

Тема урока: Зависимость между синусом, косинус и тангенсом одного и того же угла.

Как определить знаки тригонометрических функций?

Определим знаки тригонометрических функций в каждой четверти:

Выясним зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Для этого надо знать формулы, которые связывают известную и неизвестную величины. В тригонометрии их называют тригонометрические тождества. Основные из них: это основное тригонометрическое тождество: , зависимость синуса, косинуса, тангенса и котангенса: . Тождества вытекающие из предыдущих:

Устная работа (закрепление теории).

Как осуществляется нумерация четвертей?

В каких четвертях косинус положителен; синус отрицателен; тангенс положителен; котангенс отрицателен?

Что необходимо знать, чтобы определить знак функции?

Какое направление движения точки по окружности считается положительным, а какое отрицательным?

Сформулируйте основное тригонометрическое тождество.

Сформулируйте формулы зависимости косинуса и тангенса, синуса и котангенса, тангенса и котангенса.

Выразите тангенс и котангенс через синус и косинус.

Задания для устной работы.

Определите знак функции: .

Найдите при помощи круга значение функций, объясните ответ:

Найдите при помощи круга значение синуса, косинуса, тангенса, если величина угла равна:

Найдите знак произведения:

а) ;

б);

в).

Пример решения задания на применение тригонометрических формул:

Дано:

Найдите:,,.

Решение.

Так угол лежит в 3 четверти, то

Ответ: 0,6; ;.

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №457, 458, 459.

Проверочная работа

I вариант.

Найдите значение остальных тригонометрических функций, если и .

II вариант.

Найдите значение остальных тригонометрических функций, если и .

Урок 5-6

Тема урока: Тригонометрические тождества

Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin²α+ cos²α =1 и т.д.

Тест на знание формул

Установить соответствие между левой и правой частями формулы

В математике тождество – это равенство, справедливое для любых допустимых значений входящих в него переменных, при которых его правая и левая части имеют смысл.

Способы доказательства тождеств.

Выполнить равносильные преобразования правой (левой) части тождества. Если в итоге получим левую (правую) часть, тогда тождество считается доказанным.

Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.

Из правой части тождества вычитаем левую часть и наоборот. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Примеры доказательства тождеств:

Тригонометрические тождества так же применяются при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений!

Устная работа (закрепление теории).

Какие способы доказательства тождеств вам известны?

Какие формулы при этом используются?

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №465, 466, 468, 470.

Проверочная работа.

Урок 7-8

Тема урока: Формулы сложения

Формулами сложения называются формулы, выражающие через синусы, косинусы и тангенсы углов .

После внимательного рассмотрения можно сделать вывод: если слева стоит косинус, то после знака « = » стоят произведения одноименных функций: и кроме этого знак, стоящий в левой части, противоположен знаку в правой части, т. е. произошла смена знака. Если слева стоит синус, то после знака равно стоят произведения разноименных функций:и , и знак в левой и в правой части одинаковый, т. е. сохраняется.

Примеры применения формул сложения:

- использование формулы слева направо:

cos75°=

= =0

;

- использование формулы справа налево:

;

- использование формулы справа налево, затем слева направо:

+

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №481, 482, 485, 483, 486.

Проверочная работа.

Урок 9-10

Тема урока: Формулы двойного и половинного угла

Вывод формул двойного аргумента:

Из формулы косинуса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу косинуса двойного аргумента:

;

;

.

Из формулы синуса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу синуса двойного аргумента:

;

;

.

Из формулы тангенса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу тангенса двойного аргумента:

Перечислим формулы половинных углов:

;

;

.

Примеры применения формул:

Вычислите, если

Решение:

так как угол находится в третьей четверти, то и найдем его, используя основное тригонометрическое тождество

Вычислите, используя формулы двойного угла:

а)

б)

в)

3. Упростите выражение:

а)

б).

4. Зная, что cos 30^o=вычислить при помощи формулы половинного угла значение 15^o.

Решение:= = 15^о== = .

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №500, 501, 502, 503, 504, 515,516.

Проверочная работа.

Урок 11-12

Тема урока: Формулы приведения

Устная работа (изучение нового материала).

Работа с единичной окружностью:

sin (

tg(tg tg( = - ctg

ctg(2 ctg ctg tg

- Сравнить название функции левой и правой части;

- Знаки левой и правой части;

- Сделать вывод.

Формулы приведения запоминать не обязательно. Для того чтобы записать любую из них, руководствуются правилами:

1. Если под знаком функции содержится сумма ( и ( или (180° и (360° то наименование функций не меняется.

2. Если под знаком функции содержится сумма ( ) или (90° ° ), то наименование функции меняется на родственное, т.е.

3. Знак функции определяется по первоначальной и становится в зависимости от четверти, в которой лежит угол (0 .

Пример:

Обращаем ваше внимание, что решить данный пример можно двумя способами

Примеры применения формул:

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №525, 526, 527, 528, 529.

Проверочная работа.

Урок 13-14

Тема урока: Сумма и разность синусов и косинусов

Примеры применения формул:

Вычислите:

Докажите тождество: .

Левая часть:

л.ч = п.ч.

Тождество доказано.

Показать, что

Решение:

Задания для письменной работы (учебник «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов)

Выполнить: №538, 540, 541.

Урок 15-16

Тема урока: Преобразование тригонометрических выражений

Проверочная работа «Тригонометрические формулы»

Вариант – 1

Прочитайте внимательно задание, подумайте, выберите в предложенных ответах один правильный и соответствующую букву выпишите в таблицу на отдельном листе.

11.α – угол I четверти, найдите ctgα, если sinα = .

12. Чему равна сумма квадратов синуса 68° и косинуса 68°?

13. Напишите выражение тождественно равное единице, деленной на косинус квадратα.

14. Вычислить cos α, если sin α = и

15. Вычислить ctg α, если tg α = 13.

Вариант – 2

Прочитайте внимательно задание, подумайте, выберите в предложенных ответах один правильный и соответствующую букву выпишите в таблицу на отдельном листе.

11.α – угол IV четверти. Найдите tgα , если cosα = .

12. Чему равна сумма квадратов косинуса 49° и синуса 49°?

13. .Напишите выражение тождественно равное единице, деленной на синус квадрат α.

14. Вычислить sin а, если cos α = и .

15. Вычислить tg α, если sin α = 0,8 и .

Практическая часть.

Вычислите значение выражения.

;

;

;

;

;

;

.

Докажите тождество:

;

;

;

;

.

Найти:

.

Вычислите:

;

;

;

;

;

;

.

Упростите выражение:

;

;

;

.

Урок 17-18

Практическая работа по теме «Преобразование тригонометрических выражений»

Теоретический материал:

Таблица часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

Знаки тригонометрических функций:

Практическая часть

Список литературы:

Алимов Ш.А.и др. Математика: алгебра и начала математического анализа.10-11 классы. - М., 2014.

Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. -М., 2014.

Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. - М., 2014.

Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. - М., 2014.

Башмаков М.И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. - М., 2015.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. - М., 2014.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. - М., 2014.

Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. - М., 2013.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. пособие. - М., 2012.

Богомолов Н.В. Математика для ссузов - М. Дрофа, 2015

Богомолов Н.В. Сборник задач по математике - М.: Дрофа, 2015.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/345166-metodicheskoe-posobie-po-teme-formuly-trigono