Методическая разработка урока по алгебре «Бином Ньютона»

Урок по теме "Формула бинома Ньютона".

Цели урока:

Предметные:
– сформировать умение возводить двучлен в натуральную степень;
– умение находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Личностные:
– развитие логического мышления, таких мыслительных операций, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развитие умения выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимание необходимости их проверки;
Метапредметные:
– способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания.

Методы: проблемно-диалогический, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, компьютер, проектор.

Раздаточный материал: “Треугольник Паскаля”, карточки для самостоятельной работы

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

На экране фрагмент фильма “Мастер и Маргарита”

Комментарий к фрагменту.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?

Так что же такое бином Ньютона?

Вопросы к учащимся:

прочитайте выражения: (х +2у)², (а- b)³, (c - d)², (а+1)³, (с+3а)⁴, (х -2)⁵.

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а - 2)³ = а³- 3а² 2 +3а 2² - 2³= а³- 6а²+12а -8.

(c - 0,1d)²= с² - 0,2cd + 0,01d².

(а+2у)³ = а³+ 3а²2у +3а(2у)² +(2у)³= а³+ 6а²у +12ау² +8у³.

(с+а)⁴ = (с+а)² (с+а)² = (с² +2са + а²) (с² +2са +а²) =

= с⁴ + 2ас³ +а²с² + 2ас³ +4а²с² +2а³с +а²с² +2а³с +а⁴ =

= с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

(х -2)⁵ = (х -2)³(х -2)²= (х³- 6х² +12х - 8) (х² - 4х+ 4) =

= х⁵ - 4х⁴ +4х³ - 6х⁴ +24х³- 24х² +12х³- 48х² + 48х - 8х²+32х -32 =

= х⁵ -10х⁴ + 40х³ - 80х² +80х -32. (рис. № 2)

Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?

(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)

В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?

Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.

И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.

3. Введение нового материала.

Но прежде чем рассмотреть саму формулу, вспомним определения сочетания и числа сочетаний, используемые в формуле бином Ньютона.

Определение: Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С , читается С из n по m, вычисляется по формуле:

С =, где n! = 1 2 3 ::. (n-2)(n-1)n (читается n-факториал).

Отметим некоторые свойства числа сочетаний:

С = С ;

С = С = 1;

С = С+ С, где n, r >1 (рис. № 3)

Рассмотрим пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.

Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С ===10.

Таким образом, 10 двузначных чисел можно построить из элементов заданного множества. Вы можете это проверить простым перебором, при небольших значениях n и m, это несложно.

Мы вплотную подошли к количеству подобных слагаемых в разложении степени двучлена на многочлен.

Вернёмся к примеру №5: (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴, что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С , где n - степень двучлена , m - степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с³а или са³ равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С= = =4, что подтверждается вашими вычислениями. Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с²а² : С= = =6, что также верно. Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С = С = 1.

Можно проверить на известных формулах квадратов и кубов, что коэффициенты перед слагаемыми подчиняются той же закономерности.

Теперь обратим внимание на степени первого и второго выражений в одночленах, запишем ещё раз примеры №№1-6, опуская само решение:

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а - 2)³ = а³- 6а²+12а -8.

(c - 0,1d)²= с² - 0,2cd + 0,01d².

(а+2у)³ = а³+ 6а²у +12ау² +8у³.

5. (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

6. (х -2)⁵ = х⁵ - 5 2 х⁴ + 10 2² х³ - 10 2³ х² + 5 2⁴ х -32 =

= х⁵ -10х⁴ + 40х³ - 80х² +80х -32. (рис. № 5)

Что вы заметили?

Объединим ваши замечания в следующие правила:

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С , где n - степень двучлена , m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.

Определение:

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство

(a+b)ⁿ = Сaⁿ+Сa^n-1 b + Сa^n-2 b² +:.+ С a^n-r b^r +:.+ С bⁿ.

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С - биномиальными коэффициентами. (рис. № 7)

Запишем пример № 6, используя бином Ньютона:

(х -2)⁵= С х⁵+ С х⁴(-2)¹ + С х³ (-2)² + С х² (-2)³ +С х¹ (-2)⁴ +С (-2)⁵=

Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С = С =1; С = С = =5; С = С = = =10.)

=х⁵ -5х⁴2+ 10х³2² - 10х²2³ +5х 2⁴-2⁵= х⁵ -10х⁴ + 40х³ - 80х² +80х -32.

Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.

И можем добавить ещё одно правило к правилам.

Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Подведём итоги, что мы знаем о способе разложения степени двучлена в многочлен по формуле бином Ньютона.

Формула бином Ньютона имеет вид:

(a+b)ⁿ = Сaⁿ+Сa^n-1 b + Сa^n-2 b² +:.+ С a^n-r b^r +:.+ С bⁿ.

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С , где n - степень двучлена , m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты - это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?

Свойство С = С+ С , где n, r ?1 (1) осталось не востребованным, именно его используют при построении треугольника Паскаля.

Определение: Треугольник Паскаля - это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона.

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей (свойство (1)).

Треугольник можно продолжать до бесконечности, но на практике чаще составляют таблицу для первых 10 степеней.

У доски ученик записывает формулу.

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662)

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.

Комментарий к презентации:

Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.

Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

4.Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

1. У доски вместе с учителем

№1. ( х +у)⁵= х⁵+ 5х⁴у + 10х³у²+ 10х²у ³+ 5ху⁴+ у⁵

№2 (1 + 2а)⁴= 1⁴+ 4·1³·2а + 6·1²·(2а)²+ 4· 1¹·(2а)³+ (2а)⁴ =

1 + 8а + 24а²+ 32а³+ 16а⁴

№3 (х – у)⁶= (х + (-у))⁶= х⁶+ 6х⁵(-у) + 15х⁴(-у)²+ 20х³(-у)³+

15х²(-у)⁴+ 6х(-у)⁵+ у⁶= х⁶– 6х⁵у +15х⁴у²– 20х³у³ + 15х²у⁴– 6ху⁵+ у⁶.

5. Практическая работа. (с. 332, №1092).

6. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой (рефлексия).

1. ( 1 + 3а)⁴
2. (2а – в)⁵
3. (3в + 1)⁴
4. (х – 2у)⁵

7. Подведение итогов самостоятельной работы.

8. Домашнее задание:

Выучить формулу бином Ньютона.

Выучить формулы числа сочетаний и их свойства.

Представить в виде многочлена:

(х - 1)⁷

(2х - ?)⁴

Свернуть сумму в степень двучлена, если это возможно

81х⁴ - 108х³у + 54х²у² - 12ху³ + у⁴.

32а⁵+40a⁴b +20a³b² +5a²b³ +5/8ab⁴ +1/32b⁵

9.Итог урока. Оценки за урок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/359480-metodicheskaja-razrabotka-uroka-po-algebre-bi