Методическая разработка к практической работе по теме: «Решение задач на вычисление числа перестановок, размещений, сочетаний»

Практическое занятие

Решение задач на вычисление числа перестановок, сочетаний, размещений

Цель работы: закрепить знания и навыки в решении комбинаторных задач

Умение и навыки, которые должны приобрести студенты на занятии: вычислять сочетания, размещения, перестановки.

Формирование компетенций: ОК 1- ОК 9.

Наглядные пособия, оборудование: презентация по теме, проектор, компьютер; методические указания по практической работе, дидактические карточки с заданиями (4 варианта).

Ход работы.

1. Самостоятельно рассмотреть решение типовых примеров, используя основные теоретические сведения.

2.Выполнить расчеты по дидактическим карточкам-заданиям.

3.Составить отчет: оформить решение практических задач в тетради.

Приложение:дидактические карточки с заданиями 4 вариантов.

Основные теоретические сведения

Основные понятия комбинаторики

Определение.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

n- факториаломи пишут

.

Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символомР_n, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского словаpermutation- перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

или с помощью факториала:

0!=1 и 1!=1.

Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом , где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации.

При этом полагают, что n m.

Сочетания.

Определение. Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов поn, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь mиn-натуральные числа, причемnm).

Число сочетаний изm элементов поn обозначаются .

В общем случае число из mэлементов поn равно числу размещений изmэлементов поn, деленному на число перестановок изn элементов:

Правило суммы.
Если элемент a можно  выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента  b, то выбор  “a или b”  можно

сделать  m + n  способами.

Правило произведения.
Если из некоторого множества А элемент  a_i  можно выбрать К_A способами, а элемент b_j  из множества  В – К_B  способами, то совокупность (a_i ; b_j ) можно образовать К_A* К_B  способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем два числа элементов.

Перестановки с повторением.
Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестано­вок, который называется перестановками с повторениями.

Пусть имеется п₁предметов 1-го типа, n₂ предмета 2-го, п_кпред­метов-го типа и при этом п₁+ п₂+...+ п_к = п. Количество разных перестановок предметов

                                

Размещения с повторениями.

Пусть даны элементы а₁  ,а₂ , . . . ,а_n     (а)

Размещением с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая упорядоченная последовательность из k элементов, членами которой являются данные элементы. В размещении с повторениями один и тот же элемент может находиться на нескольких различных местах.

Формула для числа размещений с повторениями.
Каждый элемент может быть выбран  n способами, поэтому :

=,где -обозначение размещений с повторениями .

Примеры типовых расчетов: выполняется всей группой вместе с преподавателем.

Пример 1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

.

Пример 2. Сколько вариантов распределения на практику в три ресторана различного профиля можно составить для пяти студентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

.

Пример 3. Из группы в 25 человек нужно выделить четырех для работы официантами на банкете. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.

Находим по первой формуле

.

Приложение. Дидактические карточки-задания к практической работе.

Вариант 1

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить;

5.Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?

6.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

7.Решить уравнение

Вариант 2

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить;

5.Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?

6.Сколько флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков разного цвета?

7.Решить уравнение

Вариант 3

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить;

5. Сколькими способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30 человек?

6.Решить уравнение

Вариант 4

1.Вычислить

2.Упростить

3.Вычислить

4.Вычислить;

5. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов?

6.Решить уравнение

Оформить отчет.

Литература.

Е.Н. Нелин, О.Е. Долгова «Алгебра и начала анализа» Харьков изд. Мир детства 2008г

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/36221-metodicheskaja-razrabotka-k-prakticheskoj-rab